新形勢下如何搞好高職微積分的教與學

　　摘 要： 本文作者分析了目前高職院校數學課教學的現狀，并就如何搞好微積分的教與學提出了幾方面的設想。
　　關鍵詞： 高職 數學課 現狀 微積分 教與學
　　
　　一、目前高職院校數學課教學的現狀
　　首先，隨著全國各大高校紛紛擴大招生規模，學生入學的門檻都不同程度地降低，各高職院校的招生更是排在梯隊之尾，錄取的學生大多是因各種原因上不了本科，或者干脆就是成績不如人意，只好上高職院校，和同學比起來，心里上有一種失落感，從而使得他們對待學習有種本能的敷衍和不主動的情緒，對待數學學習也不例外。
　　其次，數學課本身的特點注定它不會是學生的最愛。數學是深奧和枯燥的，學習數學的目的在于培養學生嚴謹的思維能力、快速準確的計算能力和縝密的推理判斷能力，而這些能力的培養都離不開堅持不懈的學習。而這正是目前大多高職院校學生所欠缺的。
　　再次，數學課是目前高職院校所有課程系統中極重要而又不斷被削減的課程，處境尷尬。
　　一方面，現在各個高職院校普遍更加重視培養學生的各種動手能力，要求考取更多的等級證書，為了保證其他課程相對充裕的課時，只能在基礎課上動腦筋，數學課時也因此不斷地被削減。另一方面，許多專業課，尤其是機械類、電氣類和工程類等專業，又需要更多的數學知識，許多專業課教師抱怨學生數學知識欠缺，而數學課是一門系統性非常強的課程，只能循環漸進，不能建空中樓閣。而系統的講授需要有更多的課時來保證。這就形成了一個兩難的局面。
　　最后，目前各高職院校普遍更加重視專業課師資的建設，對基礎課教師的培養則不是那么迫切，對數學教師更是如此。以我所了解的湘西北幾所高職院校為例：一方面， 每個班級每學期的課時少，但班級的數量大，教師人手少，每個教師所帶的班級多，教師負擔極重，平均每個教師每星期的課時大多有10─20節。趕寫教案，批改作業就占去了大部分時間和精力，根本無力深鉆教材，創新思維，沒有機會和外界交流，更是鮮有充電深造的機會，幾年一貫制。這也是造成本課程枯燥乏味的一個重要原因。
　　二、如何搞好高職微積分的教與學
　　高職教育介于本科教育和中專教育之間，生源不同，要求不同，教學方法也應相應地調整。
　　根據教育部最新制定的《高職高專教育高等數學課程教學基本要求》，高職院校的數學課程要培養學生良好的推理判斷能力、準確的計算能力和一定的自學能力，要求“聯系實際，深化概念，加強計算，靈活應用，邏輯論證，勇于創新，提高素質。”要充分做到以應用為目的，以必需夠用為度。參照這個要求，對于目前高職院校中學生的特殊情況和師資及課程的特點，如何更好地開展數學教學，搞好微積分的教與學呢?本文有如下幾方面的設想。
　　（一）追本溯源，弄清微積分的起源和大致發展的過程。
　　微積分是高等數學的一個重要分支，主要是研究函數的微分、積分，以及有關概念和應用，是建立在實數、函數和極限的基礎上的。極限和微積分的概念可以追溯到古代，到了十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數學家都參加過準備的工作，分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，理論基礎是不牢固的。直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數理論，這門學科才得以嚴密化。
　　促使微積分產生的因素，歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題;第二類問題是求曲線的切線的問題;第三類問題是求函數的最大值和最小值問題;第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力等。
　　微積分包括微分學和積分學。微分學的主要內容有極限理論、導數、微分等；積分學的主要內容有定積分、不定積分等。
　　（二）介紹理論，突出重點。
　　詳實介紹各理論，注意突出重點內容，切實教會學生如何求極限，如何求導數微分，如何求積ZaOpnNf2/uQOmkUwp8LFvw==分。根據大綱要求，對高職學生，只需要把微積分的基本概念、基本定理交待清楚，無需過多關注理論的推導和證明，重點在于如何利用這些理論和公式法則來解決問題。以下分三個方面來論述。
　　1.極限理論應當厘清的問題和方法
　　介紹有關極限的理論之后，可以總結求極限的方法大致有幾種：觀察法，利用無窮小的性質和無窮小的替換，利用兩個重要極限，利用洛比達法則，換元法等。
　　例1.求極限：
　　解：1+=1+?搖?1+?搖=e
　　2.導數和微分應當理解的概念和典型題目的典型做法
　　（1）在介紹完導數的來源和定義之后，向學生交待清楚:從代數學的角度來看，導數是個極限值，是個常數，即:=f′（x）==；而從幾何學的角度來看，導數是曲線C在定點x的切線的斜率，即:f′（x）=k=tanα其中α是切線的傾角。
　　（2）要求學生熟練掌握求導數求微分的法則與公式，即導數四則運算法則，復合函數求導法則，反函數求導法則，隱函數求導法則，參數方程求導和高階導的求法。
　　（3）熟練掌握這些公式和法則，是學好微積分的關鍵和基礎，要求學生對這些基本的公式和法則先要理解、認識、熟記，再多做練習，在實踐中加以領會，積累解題經驗和技巧。
　　例2.求由方程ysinx-cos（x-y）=0所確定的函數y=f（x）的導數.
　　解:兩邊先對x求導，再解方程，則:
　　（ysinx）′=［cos（x-y）］′?圯y′＝.
　　例3.設y=ecos2x，求dy.
　　解:利用微分形式不變性，則:
　　dy=d（ecos2x）=ed（cos2x）+cos2xd（e）
　　 =-2sin2x?edx-3cos2x?edx
　　 =-e（2sin2x+3cos2x）dx
　　3.積分概念的理解和計算
　　（1）積分包括不定積分和定積分兩部分，要讓學生明確：不定積分起源于已知導函數求原函數之類的問題，換句話說不定積就是解決求原函數的問題；而定積分起源于計算曲邊梯形的面積、變力作功、曲線的長、物體的體積，等等之類的問題；不定積分和定積分是完全不同的概念，把它們有機聯系起來的，是Newton—Leibniz公式，即：?蘩f（x）dx=［?蘩f（x）］=F（b）-F（a）。其中F（x）是f（x）的一個原函數。
　　（2）求不定積分的方法主要有直接用公式法（不定積分公式可以從求導公式反推得到，本文略），第一類換元積分法（湊微分法）和第二類換元法積分（包括三角代換法），分部積分法。要讓學生明確何時用何種方法，有時可能要幾種方法綜合運用。
　　例4.求?蘩（4x+5）dx.
　　解:?蘩（4x+5）dx?蘩（4x+5）d（4x+5）=?（4x+5）+C。
　　例5.求?蘩dx.
　　解:令=t?圯x=?圯dx=-dt，
　　原式=-2?蘩dx=-2?蘩1+dt=-2t-ln+C.
　　（3）定積分最初起源于平面圖形面積的計算，在介紹完定積分的概念和性質之后，可以總結定積分的求法大致如下：按定義求、按幾何意義求、按Newton—Leibniz公式求、用換元法和分部積分法求。當然，前兩種方法有時過于繁煩，我們重點要求學生掌握后面三種方法。
　　例6.求?蘩dx。
　　解:原式=?蘩d（1+e）ln（1+e）|=1
　　（三）學習理論，了解微積分的初步應用。
　　1.導數的應用
　　（1）研究函數的性質，作函數的圖像。函數的性質包括單調性，極值，最值，凹凸性，拐點，漸近線，最終作出函數比較精確的圖形。這是一個重點內容。
　　（2）利用導數求函數的極限。即利用洛比達法則求極限，這也是學生必須掌握的。
　　（3）導數在經濟數學的簡單應用。這一點在經濟類專業中要重點介紹。
　　2.微分的應用
　　主要介紹微分在近似計算中的應用。一方面利用Δy≈dy計算函數改變量的近似值，一方面利用f（x+Δx）≈f（x）+f′（x）Δx或f（x）≈f（0）+f′（0）?x，［x→0］時，計算函數的近似值。
　　3.積分的應用
　　主要介紹定積分的應用，包括:
　　（1）利用定積分計算平面圖形的面積;
　　（2）利用定積分計算幾何體的體積;
　　（3）利用定積分計算平面曲線的長;
　　（4）利用定積分計算某些物理量，比如液體的壓力，變力作的功，物體的引力，幾何體重心的測定和質量的計算等。
　　三、結語
　　高職學生是個特殊群體，基礎比較差，接受能力相對較弱，這就要求教師因材施教，有針對性地擬定授課計劃，既要保證學生能夠接受，又要保證在以后的工作和進一步的學習中夠用，這是高職教育中的新課題，有待進一步認真研究。
　　
　　參考文獻：
　　［1］復旦大學等.高等數學［M］.高教出版社，1988.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”