轉換思維角

　　摘 要： 逆向思維法是指為實現某一創新或解決某一因常規思路難以解決的問題，而采取反向思維尋求解決問題的方法。逆向思維是數學思維的一個重要組成部分，是進行思維訓練的載體。在初中數學課堂教學中注重并加強學生從正向思維轉向逆向思維的培養，能有效地提高學生思維能力和創新意識。本文作者從數學命題（概念、公式、定理）的教學中不斷發展學生的逆向思維，在“逆向變式”習題訓練中強化學生的逆向思維，在數學運算教學中促進學生的逆向思維，在幾何命題證明的教學中教會學生逆向思維等方面，闡述了課堂教學中如何加強數學逆向思維能力的培養。
　　關鍵詞: 初中數學 課堂教學 逆向思維 培養
　　
　　數學是思維的科學，其中逆向思維又是數學思維的一個重要組成部分，也是進行思維訓練的載體.培養學生逆向思維過程也是培養學生思維敏捷性的過程.初中數學課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，習慣于順向學習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神.因此，在課堂教學中有意識地加強逆向思維的訓練，可改變學生思維結構，培養學生思維的敏捷性、深刻性，從而提高分析問題和解決問題的能力.我從以下幾個方面淺談初中數學課堂教學中如何加強逆向思維的培養.
　　一、在課堂數學命題教學中不斷發展學生的逆向思維
　　數學命題是數學知識的主體，數學命題的教學是數學教學的一個重要組成部分。數學命題包括定義、公式、公理、定理、法則等，數學命題教學的基本任務是使學生認清命題的題設與結論.如果把命題的題設與結論交換，那么所得到的命題就是它的逆命題，但一個正確命題的逆命題不一定正確，在課堂教學中可根據具體的教學內容進行正逆向思維訓練，幫助學生正確地理解與運用命題來解決問題。
　　（一）運用定義來進行逆向思維訓練.
　　作為定義的數學命題，其條件與結論是等價的，可互相推出，即定義可以正用，也可以逆用.
　　例：“互為余角”的定義教學中，可采用以下形式：
　　∵∠A+∠B=90°
　　∴∠A、∠B互為余角（正向思維）
　　∵∠A、∠B互為余角
　　∴∠A+∠B＝90°（逆向思維）
　　如“方程的解”這一概念，它就包含了以下兩方面的特征：“凡使方程左右兩邊的值相等的未知數的值，就是方程的解”與“方程的解就是使方程左右兩邊的值相等的未知數的值”.
　　例：（1）a、b是方程x+3x-7=0的兩個根，求a+b的值.
　　（2）已知a≠b，且a+3a-7=0，b+3b-7=0，求a+b的值.
　　解：（1）∵a+b=-3，ab=-7，∴a+b=（a+b）-2ab=23
　　（2）由方程根的定義知，a、b是方程x+3x-7=0的兩根，∴a+b=-3，ab=7，∴a+b=（a+b）-2ab=23.
　　這兩題運用一元二次方程根與系數的關系不難求得，但就其思維過程來說:（1）是逆用定義，（2）是正用定義.
　　（二）運用公式進行逆向思維訓練.
　　數學中的許多公式、法則都可以用等式表示，等式具有雙向性，既可以用左邊的式子替換右邊的式子，又可以用右邊的式子替換左邊的式子。在代數中公式的逆向應用比比皆是，但大多學生只會從左到右順用公式，對于逆用，尤其是利用變形的公式不習慣.因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以給學生一個完整、立體的印象，開拓思維空間.事實上，如果能夠靈活地逆用這些公式，解題時就能得心應手，左右逢源.
　　例：冪的運算性質a?a=a，（a）=a，（ab）=ab，a÷a=a這幾個公式，如果能夠反向運用它們，就能達到簡化運算的目的.
　　（1）若a=2，a=7，則a?a=2×7=14
　　（2）已知3=6，9=2，則3=（3）÷（3）=6÷2=9
　　（3）（）?（1.5）=（）×（）×（）=（）×（×）=
　　這樣不但培養了學生的逆向思維，而且使學生對所學知識有一個完整的印象，避免學生所學知識的呆板和單一化.
　　例：平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b從左到右屬于整式的乘法，從右到左屬于因式分解.
　　計算：2010-2009
　　解：2010-2009=（2010+2009）（2010-2009）=4019
　　逆向運用平方差公式（因式分解），不僅提高了運算的速度，而且準確率高，使問題簡單化.
　　（三）運用定理進行逆向思維訓練.
　　數學中的定理有的不可逆，如“對頂角相等”，其逆命題“相等的兩個角是對頂角”就是假命題.但許多定理的逆定理也是成立的.例如，平行線的性質定理與判定定理，勾股定理及其逆定理，平行四邊形的性質及判定定理，等腰三角形的性質及判定定理，等等.在教學中，對某些重要定理的可逆性進行探討，有利于加深對知識的理解，也有助于逆向思維能力的提高.
　　例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°.求四邊形ABCD的面積.
　　解：聯結BD
　　在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=5cm
　　∵BD=5cm，CD=12cm，BC=13cm
　　∴BD+CD=25+144=169=BC
　　∴△BDC為直角三角形
　　∴S=S+S=6+30=36
　　本題運用了勾股定理與它的逆定理，這兩個互逆的定理體現了數形之間的聯系，在課堂教學中應作為典型例題進行分析講解.
　　二、在課堂中利用“逆向變式”訓練強化學生的逆向思維
　　“逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目似曾相識的新題型．
　　例：不解方程，請判斷方程2x-6x+3=0的根的情況.可變式為：已知關于x的方程2x-6x+k=0，當k取何值時，方程有兩個不相等的實數根？經常進行這些有針對性的“逆向變式”訓練，創設問題情境，對逆向思維的形成起著很大作用．
　　例：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求證：AC=AD?AB.
　　對于此題，我們可以反過來，在△ABC中，CD⊥AB于D，且AC=AD?AB，求證：∠ACB=90°.
　　三、教學中通過各種數學運算的訓練不斷地促進學生的逆向思維
　　數學中的各種運算總是正逆交替成對出現的，而且可以相互轉化．如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方，等等．加強正逆運算的轉化訓練，不但可以簡化思維過程，準確理解各種運算的實質，還可培養學生的逆向思維.
　　例：計算+++…+
　　分析：由結構特征發現每一個分數可逆用分數的加、減運算法則分裂為兩個分數的差.
　　=-，=-，…，=-
　　解：原式=1-+-+-+…+-
　　 =1-=
　　四、在幾何命題的證明教學中教會學生逆向思維
　　數學的基本方法是教學的重點內容，其中的幾個重要方法：如逆推分析法、反證法等都可看做是培養學生逆向思維的主要途徑.
　　（一）加強分析法教學，培養學生的逆向思維.
　　分析法是一種執果索因的逆向思維方法，其推理方向是由結論到題設，論證中步步尋求使其成立的充分條件，如此逐步歸結到已知或已成立的事實，命題便獲證.該方法分析問題時要求學生養成“要證什么，需證什么”的思維方向，用它可以縮短已知和未知間的距離，便于尋找解題的途徑.在數學證明中，按邏輯推理順序和要求來說，應從題設條件出發，根據已知的定理和事實逐步推得要證明的結論.但從解題策略的角度來看，除了簡單的情形，這種方法并非上策.因為在一定的已知條件下，由已知的概念、定理和法則出發，可以推出的結論往往很多，要從中找到我們所需要的結論，往往很難，而且還易節外生枝，誤入歧路。若反其道行之，從要證明的結論出發，往回追溯題設條件，一般情況下，都比較容易找到通往題設條件的途徑，再反過來依此途徑便可完成一個由條件到結論的相應證明.這就是建立在逆向思維原則上的分析法的精神實質.
　　例：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的圓O交BC于D.求證：BD=CD.
　　分析：本題可由結論來尋找條件，由于AB=AC，若BD=CD，由等腰三角形的性質（等腰三角形的三線合一），可知道AD就是△ABC底邊上的高或頂角的平分線，從而考慮聯結AD，由條件AC為⊙O直徑即可證明.
　　例:已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于O點，過點B作BE∥CD交CA的延長線于點E.求證：OC=OA?OE.
　　分析：OC=OA?OE?坩=?坩=，=?坩△BOC∽△DOA，△BOE∽△DOC?坩AD∥BC，CD∥BE.
　　（二）加強反證法教學，培養學生的逆向思維.
　　反證法是一種假設結論的反面成立，在已知條件和“否定結論”這個新條件下，通過推理得出與題設、公理、定理矛盾的結論，從而斷定假設不成立，原命題的結論一定正確的證明方法.很多直接證明很困難的題目，用反證法可以得到很好的解決.適當地運用反證法，既能提高解題的靈活性，又能培養思維的活躍性，促進思維的發展.
　　例：求證：兩條直線相交只有一個交點.
　　已知：兩條相交直線L與L，求證：L與L只有一個交點.
　　分析：想從已知條件“兩條相交直線L與L”出發，經過推理，得出結論“它們只有一個交點”是很困難的，因此可以考慮用反證法.
　　證明：假設L與L不止一個交點，不妨設L與L有兩個交點A和B，因為兩點確定一條直線，即經過點A和B的直線只有一條，與已知兩條直線相矛盾.所以兩條直線相交只有一個交點.
　　綜上所述，在初中數學教學中，根據不同的教學內容有目的、有計劃地對學生實施逆向思維訓練，逐步培養和發展學生的逆向思維能力，掌握解題的技巧，能使學生輕松應對數學學習，學習能力也會逐步提高.
　　
　　參考文獻：
　　［1］羅吉爾，馮奧赫.創造學思想錄.
　　［2］顧繼玲，章飛.初中數學新課程教學法.開明出版社，2003.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文