發揮圖形語言在數學教學中的作用

　　在數學中，圖形語言也像文字語言那樣具有記錄作用，而且比文字語言更形象，有利于形象記憶，更有利于探索解題途徑，還可以交流思想。正如笛卡爾曾說過的：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此，用這種方式來表達事物是非常有益的。”所以，在數學課堂教學中，可以充分發揮圖形語言的作用，讓學生在抽象的數學學習過程中獲得美的享受，從而提高學生數學學習的興趣，激發學生探索數學的積極性；通過對圖形多角度、全方位的觀察與思考，以培養學生的觀察、分析和認知能力，提高數學教學的有效性。
　　一、圖形語言的教學價值
　　1.激發學習興趣
　　教學實踐表明，不少學生之所以視數學學習為苦役，為畏途，主要原因在于缺乏對數學的興趣。事實上，在數學課堂教學中，一種巧妙解題方法、一個奇巧的構圖往往可以激發學生的學習熱情，培養學生的數學興趣。
　　例1．求方程x+y+z+w=7有多少個正整數解。
　　分析與解：這個不定方程若用純代數方法進行討論，則不勝其煩。現構想7個相同的球，放在4只盒子中，顯然每只盒子不空的一種放法對應著方程的一個解，因此方程解的個數即為球放法的總數，而其放法又等價于在7個并排橫放的小球之間插入3條豎線，第一條左側的小球裝入第一只盒子，第一、第二條之間的小球裝入第二只盒子，余類推。因為7個球之間有6個區間，所以共有C63種裝法，故原方程共有20個正整數解。
　　通過例題的講解與評析，不僅讓學生掌握了這類問題的解法，而且讓學生體會了數學思維的精巧，探索數學奧秘的激情也油然而生。
　　2.理解數學概念
　　中學生思維正處于形象思維向抽象思維的過渡階段，對于某些較抽象的概念，還離不開具體事物的支撐。因此，在數學課堂教學中，借助于圖形語言可以使抽象的概念直觀地展示在學生面前，幫助學生從本質上真正理解掌握數學概念、定義等。例如，“集合”這一小節基本概念多，容易引起混淆。教學時可以借助于韋恩圖，充分利用韋恩圖具有的語言轉換、邏輯分析和推理功能，幫助學生加深概念和性質的理解。
　　3.促進形象記憶
　　圖形語言是一種視覺語言，與符號語言一樣都是數學語言。它不僅具有符號語言準確、嚴密、簡明的特點，還具有直觀、形象、容量大，便于觀察、記憶和聯想等優點。因此利用圖形語言進行記憶具有符號語言所不能及的優越性。例如，在對數函數的教學過程中，借助于多媒體從具體的幾個圖像中讓學生觀察、探索共性，自主歸納出其函數性質。由此學生只要記住了對數函數y=logax（a>0，a≠1）圖像，同時也就記住了對數函數的所有性質。這樣學生學起來就會感到很輕松而且記憶也很深刻。
　　4.建立數學模型
　　數學是在實際應用的需求中產生的，要解決實際問題就必需建立數學模型。顧泠沅先生提出了實現數學化的三個階段，即實物操作、表象操作和符號操作。借助表象操作這個中介實現了從動手操作到算式表示的過渡，越過了形式化的難關。因此用圖形語言來描述數學事實或現實情境的數量關系，有利于學生弄清數學問題的含義，便于學生找到解決數學問題的策略及數學模型。例如，著名的哥尼斯堡七橋問題，歐拉將它抽象為如圖1所示的圖形模型，將問題轉化為一筆劃問題。又如在探求二次函數在不同區間上的最值時，可以借助二次函數的圖像，歸納一般規律，形成解題經驗，建立數學模型。
　　5.培養思維能力
　　幾何圖形是數學思維活動的基礎，可以使抽象思維具體化，把思維活動變成可操作的數學演算；使復雜思路簡潔化，讓思維活動快捷可行；使靜態思維動態化，讓思維活動清晰明了。因此在教學中要著重培養學生從幾何直觀上分析問題的意識，指導學生掌握觀察圖形的思維方式，從而發展學生的思維。
　　分析與解：此例題若用純代數的方法解則顯得難以下手，如果能注意到M的表達式的幾何特征，即兩點間距離的平
　　6.提高解題能力
　　美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。”這就表明，解題時若能挖掘問題的幾何意義，配以圖形，就能取得以簡馭繁的效果。
　　二、加強圖形語言教學的途徑
　　1.重視教師的示范作用
　　俗話說言傳不如身教，在數學課堂教學中，作為起主導作用的數學老師，首先要有意識地滲透用圖形語言解題的理念，及時地展示圖形語言的優越性，體現圖形語言的價值所在，長此以往，就會給學生以潛移默化的影響，讓學生嘗試圖形語言解題的方法，體驗圖形語言解題的成功感，形成用圖形語言求解的意識。因此重視教師的示范作用是培養學生用圖形語言學習數學知識、理解數學概念、提高解題能力的重要前提。
　　2.挖掘數式的幾何意義
　　在數學課堂教學中，教師及時挖掘數學表達式的幾何意義，幫助學生形成空間概念，有助于學生聯想到圖形語（x，y）到定點（3，-4）的距離，也可以看作是直角邊分別為（x-3），（y+4）的直角三角形的斜邊的長。因此充分挖掘數式的幾何意義是培養學生用圖形語言學習數學知識、理解數學概念、提高解題能力的知識基礎。
　　3.培養學生的畫圖意識
　　教學實踐表明，大部分學生在解題過程中，缺少畫圖的意識，例如，在集合教學中，求兩個數集的交集時，盡管教師在例題中已經示范了用韋恩圖和數軸求交集，課后作業時學生還是沒有畫圖解題的意識。因此，培養學生畫圖的意識，指導學生學會畫圖是培養學生用圖形語言學習數學知識、理解數學概念、提高解題能力的根本保證。
　　4.加強語言的相互轉換
　　數學語言包括符號語言、圖形語言和文字語言。進行數學語言的互譯訓練，不僅有利于學生掌握數學知識，理解數學本質；而且有利于學生產生好的念頭，培養分析問題的能力，提高解決問題的能力；更有利于學生數學知識的融會貫通，激發學生的創新能力。因此，加強數學語言的互譯是培養學生用圖形語言學習數學知識、理解數學概念、提高解題能力的有效途經。
　　5.提高學生的構圖能力
　　對于一個數學問題，如果“題設”和“結論”中的數量關系有特定的幾何意義或以某種方式能與幾何圖形建立聯系，則可構造有關圖形，把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，充分運用幾何圖形形象直觀、簡單明了的優點，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，從而獲得簡便易行的解題思路。
　　例4．計算19961997×19971996-19961996×19971997．
　　分析與解：這是一道純數字計算題，如果注意到其幾何意義，則有意外收獲。如圖4所示，構造長方形ABCD和ECHF，則算式即為兩個小長方形ABHG和EDGF面積之差，
　　∴原式=S長方形ABHG-S長方形EDGF=19971996×1-19961996×1=10000
　　通常情況下，可以從概念內涵、公式定理、數式結構等方面多角度類比聯想，挖掘其幾何意義，構建幾何圖形或函數圖像，實現問題的等價轉化。因此，提高學生構圖的能力是培養學生用圖形語言學習數學知識、理解數學概念、提高解題能力的關鍵環節。
　　三、運用圖形語言應注意的幾個問題
　　1.注意圖形的準確性
　　我們知道，確當、合理的圖形不僅是正確解題的基礎，而且往往也是產生數學直覺的前提。因此構造的圖形必須準確地反映題目條件中包含的位置關系與數量關系，否則，不準確的圖形構造可能導致解題失誤。
　　例5．一組對邊相等，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？
　　錯解：滿足上述條件的是平行四邊形。如圖5所示，已知：AD=CB， ∠A=∠C。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。（證明略）
　　
　　解析：滿足上述條件的四邊形不是平行四邊形。如圖6所示，作等腰三角形ABC，AB=AC，在BC上取一點E，使BE>EC，且作ED=AC。連結AD，可得△AEC≌△EAD。所以∠D=∠C=∠B。在四邊形ABED中，有AB=ED，∠B=∠D，但四邊形ABCD不是平行四邊形。
　　2.注意圖形的完整性
　　由數學問題構造的圖形還應具有完整性和普遍性，例如某函數的圖像一般只能作出其一部分，不能也沒有必要全部作出，但與問題有關的部分必須完整作出。又如一種問題有多種圖形，則符合要求的各種圖形必須完整畫出，然后逐一討論，更不能以特殊圖形代替一般圖形，必須防止犯以偏概全、以特殊代替一般的邏輯錯誤。
　　例6．方程x2=2x的解的個數為（）
　　A.0B.1C.2D.3
　　錯解：在同一坐標系內做出函數y=x2和y=2x圖像，如圖7所示，有兩個交點，選C。
　　解析：實際上由于函數y=x2及y=2x（x>0）及兩曲線的曲率不同，整體考慮y軸右側的圖像應有兩個交點（2，4）和（4，16），再加上x<0時的一個交點，故應有三個交點。正確答案應為D。
　　3.注意圖形的簡潔性
　　一個問題可用多種方法構造不同圖形時，則應選擇最簡單的圖形。例如在求解三角不等式或不等式組時，可構造數軸、三角函數圖像、單位圓等多種形式，應根據問題特點，選擇最簡圖形。又如在立體圖形中，為分析圖形方便，可將圖形適當剖拆，分解，便于問題解決。
　　以上兩種方法，雖同為圖形語言解題，但比較發現，第二種方法的圖像更簡潔，更便于學生操作，因此，有時，我們可以對表達式作同解變形，選擇比較容易畫出的、自己熟悉的、更簡潔的圖形來解題。
　　總之，圖形語言是現實世界與數學的最佳結合點。“一幅圖勝過千言萬語”，它能夠使學生理解和掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想，有助于學生清晰地表達、有條理地思考，會用數學的思考方式解決問題、認識世界。正如波利亞在《怎樣解題》中提及的“畫張圖，引入適當的符號”。在解決問題時，可以從已知條件中的數字特征、代數式的特點、特定的數量關系等方面充分挖掘幾何意義，引導學生借助于圖形語言直觀解答，從而激發學生的學習興趣，發展學生的思維能力，培養學生的創新意識。
　　參考文獻
　　[1] 張廣祥．圖形在數學思維中的作用．數學教學通訊，2002（8）．
　　[2] 何軍．淺談圖形語言在解題中的巧用．數學通報，2008（7）．
　　[3] 蔡惠萍．幾何圖形在代數解題中的應用．數學通報，2004（3）．
　　（責任編輯劉永慶）
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”