算法優(yōu)化要“五問”

　　在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）中輸入關(guān)鍵詞“多樣化”進(jìn)行搜索，其出現(xiàn)多達(dá)19處，其中有8處是直接或間接針對(duì)“算法”提出的。而搜索“算法優(yōu)化”、“最優(yōu)化”、“優(yōu)化”等關(guān)鍵詞，卻是一無所獲。從本人所涉獵的書籍、資料中也可以看出，對(duì)二者闡述的材料的數(shù)量是天壤之別。這說明我們的相關(guān)研究對(duì)算法多樣化是偏愛有加的，卻冷落了算法優(yōu)化。
　　算法多樣化和算法優(yōu)化是一對(duì)“歡喜冤家”：它們一個(gè)重在“多”，是一個(gè)“散”的過程；另一個(gè)重在“優(yōu)”，是一個(gè)“聚”的過程。同時(shí)，它們又是密不可分的，算法優(yōu)化是算法多樣化的繼續(xù)，是算法多樣化的最終歸宿。因?yàn)閷W(xué)生的思維存在著差異性、層次性，有些算法不具有普遍性，有些算法操作繁瑣，有些算法思維層次偏低，這就需要我們的教師對(duì)這些算法進(jìn)行提升。正如葉瀾教授所說：“沒有聚焦的發(fā)散是沒有價(jià)值的，聚焦的目的是為了促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。”但是，我們有些教師唯恐對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化會(huì)影響算法的多樣化，會(huì)制約學(xué)生思維的發(fā)展，會(huì)被聽課者定位于“穿新鞋走老路”，會(huì)和課標(biāo)中的“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化”[1]的觀念相悖。于是，部分教師沒有意識(shí)到算法優(yōu)化的意義，沒有理順優(yōu)化與多樣化的辯證關(guān)系，沒有掌握具體的優(yōu)化策略，不考慮學(xué)生已有的知識(shí)水平和學(xué)生的切身感受，不讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、交流、選擇、體驗(yàn)、再思考、再選擇、最后感悟等幾個(gè)漸進(jìn)的層次而硬性地去優(yōu)化，出現(xiàn)了算法優(yōu)化的表面化、形式化的現(xiàn)象。更有甚者，個(gè)別教師“開門見山”，直接把“最優(yōu)化”的算法呈現(xiàn)給學(xué)生，“親自”幫助學(xué)生在多種算法中找出那些有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)可持續(xù)發(fā)展、接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的算法。本文僅把算法優(yōu)化中五個(gè)常見現(xiàn)象及應(yīng)對(duì)策略呈現(xiàn)給大家，請(qǐng)老師們?cè)谶M(jìn)行算法優(yōu)化之前問問自己，是否思考了這樣幾個(gè)問題。
　　一問：是否關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)？
　　在算法優(yōu)化的過程中，讓每個(gè)學(xué)生掌握一種方法是優(yōu)化的基礎(chǔ)，讓學(xué)生全身心地參與到優(yōu)化過程中來是關(guān)鍵。但是，在實(shí)際的教學(xué)中，我們不難看到，仍有部分學(xué)生總是認(rèn)為自己的算法是經(jīng)過自己獨(dú)立嘗試、探索得來的，是自己勞動(dòng)的“成果”，所以不愿意放棄自己最初的方法。
　　例如：一年級(jí)下冊(cè)的“十幾減9”。
　　在研究13-9=？的時(shí)候，由于教師給學(xué)生留足了探究的時(shí)間，學(xué)生們想出了數(shù)一數(shù)、破十、平十、想加算減和推理共五種方法，下面是一個(gè)教師進(jìn)行算法優(yōu)化的課堂簡錄（由于學(xué)生的回答太多，所以改成了敘述的形式）：
　　教師安排四個(gè)同學(xué)為一學(xué)習(xí)小組，依照次序說一說五種方法的計(jì)算特點(diǎn)。然后指名進(jìn)行全班匯報(bào)。
　　師：我們已經(jīng)研究了這五種方法，你喜歡哪種方法？
　　學(xué)生們的意見很不統(tǒng)一，五種方法都有學(xué)生說喜歡。
　　師：如果讓你重新選擇一種方法計(jì)算，你會(huì)選哪一種？為什么要選這一種？
　　由于方法一需要學(xué)生數(shù)一數(shù)，比較費(fèi)時(shí)；方法五的邏輯性太強(qiáng)，有些孩子不能從實(shí)質(zhì)上進(jìn)行理解；方法四是采用逆向思維來解決問題。所以，這三種方法學(xué)生選擇的較少，而平十法和破十法卻倍受孩子們的青睞，大多數(shù)的孩子都選擇了這兩種算法。
　　五種方法都有學(xué)生選擇，只是選的人數(shù)多與少而已。教師似乎已經(jīng)估計(jì)到會(huì)出現(xiàn)這種情況，于是不緊不慢的又拋出一個(gè)問題。
　　師：用你喜歡的方法再算一題17-9=？
　　評(píng)析：教師此舉旨在通過讓學(xué)生再做一道題目，一是讓部分學(xué)生根據(jù)對(duì)五種方法研究和交流而調(diào)整自己的思路，放棄自己最初的方法而去重新選擇；二是讓部分學(xué)生比較前、后兩種方法，通過兩種方法的對(duì)比，感受到新選擇方法的優(yōu)勢(shì)。但是，學(xué)生是否愿意買老師的“賬”呢？看看學(xué)生的反饋情況就知道了。
　　第二次交流的時(shí)候，已經(jīng)沒有學(xué)生選擇方法一和方法五了，僅有幾個(gè)學(xué)生選擇想加算減的方法，大部分的學(xué)生仍然選擇平十法和破十法。這種情況好像出乎教師的預(yù)料。于是，教師只好再次引導(dǎo)：
　　師：方法二的13-9=10-9+3和方法三的13-9=13-3-6，它們都是幾步計(jì)算？
　　生：兩步。
　　師：而想加算減的方法，只要想9加幾（4）等于13，然后直接寫出13-9=4。你們比較一下，到底是哪種方法方便？
　　學(xué)生不語。
　　老師有些著急，又問了一次。
　　個(gè)別學(xué)生小聲說：先減3再減6，好算。
　　還有的學(xué)生說：先用10減9，好減。
　　對(duì)于學(xué)生的“頑固不化”和“堅(jiān)持到底”，老師只好來“硬”的了。
　　師：我們一定要掌握第四種算法，因?yàn)樗鼘?duì)今后的學(xué)習(xí)很重要。
　　……
　　思考：學(xué)生為什么就是不“入套”、不“中招”呢？建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行建構(gòu)的，這就是說要實(shí)現(xiàn)算法最優(yōu)化的建構(gòu)，教師就要關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)[2]。“想加算減”這種方法對(duì)學(xué)生思維靈活性的訓(xùn)練和后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)都很有幫助，是我們這一節(jié)課優(yōu)化的目標(biāo)，比較省時(shí)、比較快捷，但是這種方法在五種方法中卻是最困難的。因?yàn)椋@種方法不僅需要學(xué)生有一定的推理能力，更需要學(xué)生有非常熟練的20以內(nèi)加法的基礎(chǔ)。換句話說，要讓學(xué)生掌握“想加算減”這種方法，學(xué)生不僅要對(duì)20以內(nèi)的加法達(dá)到脫口而出的熟練程度，還要會(huì)根據(jù)加法算式寫出相應(yīng)的減法算式，會(huì)熟練地求括號(hào)里的未知數(shù)，沒有了這些基礎(chǔ)，“想加算減”的方法就免談。心理學(xué)家奧蘇貝爾在他的代表性論著《教育心理學(xué)：一種認(rèn)知觀》一書的扉頁中寫到：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。”[3]所以，我們?cè)趦?yōu)化算法的時(shí)候一定要思考：優(yōu)化的目標(biāo)距離學(xué)生有多遠(yuǎn)？新知識(shí)的生長點(diǎn)在哪里？新舊知識(shí)的“支架”在何處？怎樣準(zhǔn)確定位學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)等問題。就本節(jié)課而言，教師只有在課前對(duì)學(xué)生的20以內(nèi)加法的熟練程度和求括號(hào)中未知數(shù)的掌握情況進(jìn)行了解，并有針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練和鋪墊，夯實(shí)優(yōu)化的基礎(chǔ)，才能順利完成算法優(yōu)化的目標(biāo)。
　　二問：是否守住了學(xué)生的“底線”？
　　請(qǐng)看課例：教師出示掛圖（一年級(jí)上冊(cè)）。
　　師：我們先來仔細(xì)觀察圖，桃子是怎樣擺的？
　　生：盒子里有9個(gè)，盒子外有4個(gè)。
　　師：要求一共有多少個(gè)桃，該怎樣列式呢？
　　生：9+4=13
　　師：9+4=13，你是怎么想的？
　　生：拿一個(gè)桃子到盒子里，盒子里就有10個(gè)，10個(gè)再加上3個(gè)等于13個(gè)。
　　師：你用的見9找1變成10的方法。找到了10，算起來就很快了。簡單地說，就是“湊十法”。你真棒！其他同學(xué)聽懂了嗎？
　　還沒有等學(xué)生回答，教師就說：那么，我們就用他的方法擺一擺，移一移桃子圖，算算結(jié)果，好嗎？
　　……
　　這種模式在很多的課堂上都是習(xí)以為常的：老師寫出算式或剛提出問題后，只要有學(xué)生舉手，老師就立即讓舉手的孩子來回答，一個(gè)或幾個(gè)優(yōu)秀的學(xué)生與老師產(chǎn)生互動(dòng)完成了教學(xué)任務(wù)。其實(shí)，舉手的僅是一部分學(xué)生，多數(shù)還是優(yōu)等生，還有相當(dāng)多的中等及中等以下的學(xué)生沒有舉手或者還沒有來得及舉手。另外，這些舉手的學(xué)生真的經(jīng)過獨(dú)立思考了嗎？真的經(jīng)過自主探索了嗎？老師沒有讓學(xué)生探索出多種方法，并引導(dǎo)學(xué)生比較各種算法的特點(diǎn)，而是過早地對(duì)算法進(jìn)行了評(píng)價(jià)[4]，這樣的教學(xué)，一是直接導(dǎo)致部分學(xué)生游離于教學(xué)活動(dòng)之外；二是導(dǎo)致學(xué)生嚴(yán)重的“兩極”分化，成績稍差的學(xué)生沒有機(jī)會(huì)品嘗到成功的喜悅；三是忽略了每人至少掌握一種算法的基本要求。
　　每個(gè)學(xué)生至少掌握一種算法，這是算法優(yōu)化的“底線”。因?yàn)椋挥忻總€(gè)同學(xué)都有了自己的算法，才能構(gòu)成算法的多樣化；只有出現(xiàn)算法多樣化的局面，才能進(jìn)行算法的優(yōu)化。鑒于此，教師一定要舍得放手，相信學(xué)生，故意放慢教學(xué)的進(jìn)程。首先，面對(duì)數(shù)學(xué)問題，要給學(xué)生充分的獨(dú)立思考的時(shí)間，并提出要求：每個(gè)同學(xué)至少要想出一種方法，并把這種方法在腦海中用自己的語言說一遍，完成后才可以去思考第二或第三種方法。這樣一來，好的學(xué)生能想出幾種方法，思維得到了全面的展開和激活，實(shí)現(xiàn)了“吃好”的目標(biāo)；中下等的學(xué)生也能有一種方法“保底”，達(dá)到了“吃飽”的標(biāo)準(zhǔn)。其次，在小組交流的時(shí)候，教師要有意識(shí)地讓那些學(xué)習(xí)困難的學(xué)生先發(fā)言，爭取讓每一個(gè)學(xué)生都能把自己的思維過程展示出來。這樣的處理，使每個(gè)孩子都要認(rèn)真思考，都能自主探索，都會(huì)積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來，“學(xué)困生”也能得到充分的展示，實(shí)現(xiàn)了好、中、差學(xué)生“同步走”的全面發(fā)展的目標(biāo)，這才是“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[5]的理念的具體體現(xiàn)。
　　
　　三問：是否為了優(yōu)化而故意多樣化？
　　請(qǐng)看課例：二年級(jí)下冊(cè)的“一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”。
　　老師出示情境圖引導(dǎo)學(xué)生列出算式14×2后，安排學(xué)生自主探究解決的方法，然后組織全班交流。
　　生1：兩個(gè)10是20，兩個(gè)4是8，加起來是28。
　　生2：兩個(gè)14加起來是28，所以14乘2是28。
　　生3：我是看圖的，左面兩個(gè)筐里是20個(gè)，右面筐里是8個(gè)，合起來是28個(gè)。
　　老師意猶未盡，繼續(xù)問：除了乘法、加法、看圖三種方法以外，還有別的解法嗎？
　　等了半天，老師看見沒有學(xué)生舉手，唯恐“冷”了場(chǎng)，又拋出一個(gè)“技術(shù)性含量”很高的問題：剛才的三個(gè)學(xué)生非常聰明，能認(rèn)真開動(dòng)腦筋，想出了屬于自己的解題方法，誰能超過他們？
　　過了一會(huì)，終于有學(xué)生舉手了。
　　生4：14加10等