巨災(zāi)債券的精算定價模型評析

謝世清

(北京大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,北京 100871)

巨災(zāi)債券,通常簡稱CAT bonds,是一種保險連接證券 (insurance linked securities),其付息或者還本與巨災(zāi)事件發(fā)生與否相連,即只有當(dāng)巨災(zāi)發(fā)生且造成損失滿足觸發(fā)條件時,債券投資者才會損失利息或本金。作為一種把保險風(fēng)險轉(zhuǎn)移到資本市場的新型投資工具,巨災(zāi)債券兼具金融產(chǎn)品和保險產(chǎn)品的特性,因此其定價較普通公司債券要復(fù)雜得多。巨災(zāi)債券的定價既是巨災(zāi)債券的核心技術(shù)與難題,也是其得以成功發(fā)行的關(guān)鍵。

目前國內(nèi)對巨災(zāi)債券的理論定價模型研究較少,僅有少數(shù)學(xué)者對此進(jìn)行了初步嘗試。田玲、向飛 (2006)[1]比較分析了風(fēng)險定價框架下的LFC模型、Wang兩因素模型和Christofides模型。陸珩(2006)[2]嘗試了在不完全市場框架下基于代表性代理模型的巨災(zāi)債券定價模型。田玲、張岳(2008)[3]討論了巨災(zāi)債券定價的影響因素和闡述了基于債券合成的巨災(zāi)債券定價方法。本文旨在從保險精算定價的角度對巨災(zāi)債券的四個主要理論定價模型進(jìn)行系統(tǒng)評析。

一、Kreps模型

傳統(tǒng)的保險精算定價模型一般首先收集客觀的損失數(shù)據(jù),然后計算出期望損失 E(L) (Expected Loss),再加上風(fēng)險承擔(dān)RL(Risk Load)以及各類費用支出 E(Expenses),則可以計算出巨災(zāi)債券的價格P(Premium),即

其中的關(guān)鍵是如何計算出風(fēng)險承擔(dān)。通常采用標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險附加原則,即風(fēng)險承擔(dān)RL=風(fēng)險附加乘數(shù)λ＊損失標(biāo)準(zhǔn)差σ。如果不考慮費用支出 (E=0),價格P可簡化為:

Kreps(1999)[4]從再保險合同定價的投資等價原理出發(fā),考察了一年期單次支付的再保險合同的定價問題。設(shè)保險的初始價格為P,風(fēng)險附加為RL,rf為無風(fēng)險國債利率,A為再保險公司未收到保費時的初始資產(chǎn),F為再保險公司的初始投資額,即F=P+A,期望損失為E(L),則再保險合約的價格可以表示為:

假設(shè)目標(biāo)投資收益率為y,則根據(jù)投資等價原理,其現(xiàn)金流期望必須滿足如下等式:

從上面兩式中可以進(jìn)一步求解得出風(fēng)險附加為:

此外,對現(xiàn)金流期望等式取方差有:Aσy=σL,代入上式中可知:

將以上風(fēng)險附加的表達(dá)式代入再保險合約的價格中可得:

Kreps模型的優(yōu)勢首先在于清晰地說明了風(fēng)險附加部分是利率、目標(biāo)收益率等因素在內(nèi)的函數(shù),其次,Kreps模型提出了標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險附加的保險精算定價方法,從而為以后的四種主要巨災(zāi)債券理論定價模型奠定了基礎(chǔ)。但該模型存在著兩大缺陷:其一、不能有效反映巨災(zāi)損失分布的重尾特征;其二、無法計算各細(xì)分風(fēng)險層次交易價格。正是由于這些缺點,保險界不得不在標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險附加模型基礎(chǔ)上尋求新的替代模型。

二、LFC模型

LFC模型是由美國Lane Financial公司總裁Morton Lane根據(jù)對巨災(zāi)債券市場價格的經(jīng)驗觀察所提出來的 (Lane,1998)[5]。該模型認(rèn)為巨災(zāi)債券的價格由巨災(zāi)期望損失加上期望超額收益兩部分組成。第一、巨災(zāi)期望損失E(L),即巨災(zāi)損失強度的概率加權(quán)平均值E(L)=ΣipiLi;第二、期望超額收益 (Expected Excess Return,EER)用以衡量由于巨災(zāi)的重尾性質(zhì)所產(chǎn)生的風(fēng)險溢價。這樣,巨災(zāi)債券價格可表示為:

Lane(1999)[6]假設(shè)巨災(zāi)損失發(fā)生概率,即第一美元損失概率為 PFL (Probability of First-dollar Loss),條件期望損失幅度CEL(Conditional Expected Loss)為E(L)/PFL,則期望超額收益 (EER)可以表示為PFL和CEL的函數(shù),即EER=f(PFL,CEL)。

Lane(1998)認(rèn)為可以用Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)來估算EER,則有:

上述風(fēng)險承擔(dān)EER計算公式是Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)在巨災(zāi)風(fēng)險定價中的應(yīng)用。如同生產(chǎn)函數(shù)刻畫了生產(chǎn)時對勞動力和資本之間的權(quán)衡關(guān)系一樣,該式也體現(xiàn)了投資者在巨災(zāi)損失頻率和損失程度之間的權(quán)衡關(guān)系,即給定相等可能損失性,投資者將偏好更低的損失程度;另一方面,在損失程度相等的情況下,投資者將偏好更低的損失頻率。

值得注意的是,α,β,γ是需要根據(jù)市場數(shù)據(jù)來估計確定的三個參數(shù)。Lane(2000)[7]運用1999年發(fā)行的16只巨災(zāi)債券的數(shù)據(jù),經(jīng)過回歸分析可得到上述參數(shù)的估計值α=49.46%,β=57.41%, γ=55%。一旦確定好這些參數(shù),即可較容易地計算出巨災(zāi)債券的價格。作為一個實證模型,LFC模型利用已發(fā)行的債券的相關(guān)經(jīng)驗數(shù)據(jù),預(yù)測未來進(jìn)入市場的債券價格的參考范圍。但其缺點也是明顯的:第一、未能有效地反映債券二級市場實際價格的周期性變化;第二、也未能吸收巨災(zāi)債券標(biāo)的風(fēng)險的季節(jié)性變化。

三、Wang轉(zhuǎn)換模型

Wang轉(zhuǎn)化模型基于通過觀測到的實際巨災(zāi)債券的價格對原始巨災(zāi)債券分布進(jìn)行調(diào)整,以獲得更加準(zhǔn)確的巨災(zāi)風(fēng)險分布函數(shù) (Wang,1995)[8]。設(shè)S(x)=Pr{X>x}為理論巨災(zāi)風(fēng)險的生存函數(shù),即巨災(zāi)損失X超過x的發(fā)生概率,故整個巨災(zāi)的期望損失為E[X]=(x)dx。巨災(zāi)再保險一般采取將巨災(zāi)風(fēng)險分割成不同層次,x(a,a+h)表示風(fēng)險層次為 (a,a+h]的巨災(zāi)風(fēng)險,相應(yīng)的賠付函數(shù)為:

那么,對應(yīng)于該巨災(zāi)風(fēng)險層次的期望損失可表達(dá)為:

當(dāng)h較小時,巨災(zāi)債券理論價格E[X(a,a+h]≌S(a) ×h近似成立。令實際觀測到的巨災(zāi)債券價格為E＊[X],則S＊(a) ≌E＊[X]。由于實際價格中加入了風(fēng)險溢價,即有

(a,a+h](a,a+h]S＊(a)>S(a),我們可以將實際債券價格看作是調(diào)整后生存函數(shù)的精算值。

令S＊(x)為變換后的巨災(zāi)風(fēng)險生存函數(shù),即S＊(x) =g(S(x)),其中g(shù)(0) =0,g(1) =1。Wang(1995)提出的比例風(fēng)險轉(zhuǎn)換 (proportional hazards transform,PH)具有如下形式,即S＊(x) = (S(x))1-λ,0≤λ≤1。

由于衡量風(fēng)險厭惡水平的夏普比率能較好地模擬正態(tài)分布的巨災(zāi)風(fēng)險,Wang(2002)[9]將夏普比率測度從正態(tài)分布資產(chǎn)推廣到更加普遍的一種形式,即常用的比例風(fēng)險轉(zhuǎn)換。經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的巨災(zāi)風(fēng)險生存函數(shù)如下所示:

綜上所述,不難推導(dǎo)出Wang轉(zhuǎn)換模型下的巨災(zāi)債券定價公式為:

Wang轉(zhuǎn)換模型的最大優(yōu)點在于將風(fēng)險溢價加入到期望損失中,并允許價格隨著市場特征,如個人風(fēng)險厭惡水平ρ變化而改變,從而更好地反映實際巨災(zāi)風(fēng)險的概率分布。必須注意,Wang轉(zhuǎn)換模型假設(shè)風(fēng)險的概率分布是已知確定的,而事實上人們總是通過有限的經(jīng)驗數(shù)據(jù)估計概率分布,這樣總是存在參數(shù)不確定性問題。后來發(fā)展的Wang兩因素模型將對這一問題進(jìn)行修正。

四、Christofides模型

Christofides模型基于Wang提出的比例風(fēng)險轉(zhuǎn)換模型,通過兩次近似處理推導(dǎo)出更為簡潔高效的巨災(zāi)債券理論價格。圖1代表了一個典型巨災(zāi)債券的生存函數(shù)與附加個人風(fēng)險厭惡水平的比例風(fēng)險Wang轉(zhuǎn)換后的函數(shù)曲線。其中生存函數(shù)曲線S(x)下方面積為巨災(zāi)債券的期望損失E(L),比例風(fēng)險轉(zhuǎn)換曲線S＊(x)= (S(x)1/ρ,ρ≥1與生存函數(shù)曲線S(x)之間的面積差為巨災(zāi)債券價格中的風(fēng)險承擔(dān),或者是期望超額收益EER。

圖1 生存函數(shù)曲線與考慮到風(fēng)險厭惡水平后的Wang轉(zhuǎn)換曲線

首先,Christofides(2004)[10]把生存函數(shù)S(x)作了第一次近似處理,即用簡單的指數(shù)衰減函數(shù)來刻畫生存函數(shù)分布:S(x)=αe-βx,其中α,β為需要估算的參數(shù)。從生存函數(shù)中我們可以發(fā)現(xiàn):(1)第一美元損失概率PFL為S(0)=αe-β×0=α;(2)本金耗盡概率是S(1)=αe-β;那么,沒有考慮風(fēng)險厭惡水平ρ的期望損失E(L)可計算為:

根據(jù)第一美元損失概率PFL和期望損失E(L),我們可以對巨災(zāi)風(fēng)險的分布進(jìn)行近似擬合估算。由于估算出來的指數(shù)生存函數(shù)可能與本金耗盡率不相吻合,因此可利用已發(fā)行的巨災(zāi)債券的經(jīng)驗數(shù)據(jù)估計出風(fēng)險厭惡水平ρ,從而更好地模擬出巨災(zāi)風(fēng)險分布。在對上述α,β,ρ參數(shù)進(jìn)行估算的基礎(chǔ)上,Christofides模型下巨災(zāi)債券價格可表示為:

第二,在β較小時,Christofides對上式進(jìn)行第二次近似處理可得:

此外,考慮到期望損失E(L)可表達(dá)為第一美元損失概率PFL和條件期望損失幅度CEL的乘積,則巨災(zāi)債券的價格還可表述為:

Christofides模型的最大優(yōu)點在于其對Wang轉(zhuǎn)換模型下計算表達(dá)式進(jìn)行了數(shù)學(xué)技術(shù)上的簡化處理,使定價計算更為簡單高效,且不會對原有Wang轉(zhuǎn)換模型定價的精確性造成實質(zhì)性損害。其不足之處在于與Wang轉(zhuǎn)換模型一樣,沒有考慮參數(shù)不確定性問題。

五、Wang兩因素模型

Wang轉(zhuǎn)換模型從概率變換上對巨災(zāi)債券定價模型進(jìn)行了調(diào)整,而Wang兩因素模型則是在Wang轉(zhuǎn)換模型的基礎(chǔ)上,對參數(shù)不確定性作了進(jìn)一步改進(jìn) (Wang,2002)[11]。Wang轉(zhuǎn)換模型假設(shè)資產(chǎn)的收益服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,與現(xiàn)實中巨災(zāi)風(fēng)險的“重尾”特征不符。因此,Wang(2004)[12]用k自由度的學(xué)生t分布來替代標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布以更好地描述未知參數(shù)的重尾特征。對參數(shù)不確定性進(jìn)行調(diào)整后的分布密度函數(shù)如下:

Lane(2000)、Christofides(2004)和Wang(2004)分別對1999年的16只巨災(zāi)債券的交易數(shù)據(jù)進(jìn)行了實證研究。其分析思路大體一致,都是先獲取市場整體定價水平下的參數(shù)估計值,再代入原有數(shù)據(jù)得到模型價格。Wang(2004)利用Wang兩因素模型對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行研究確定出最優(yōu)參數(shù)為λ=0.453,k=5,并發(fā)現(xiàn)LFC模型、Christofides模型和Wang兩因素模型與實際發(fā)行價格標(biāo)準(zhǔn)誤差平方分別約為0.41%、0.44%和0.22%。因此,Wang兩因素模型較LFC模型和Christofides模型都更加精確。

考慮上述參數(shù)的不確定性,并經(jīng)Wang概率分布轉(zhuǎn)換后的兩因素模型的生存函數(shù)為:

其中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),Ψ (.)為t分布,λ為價格市場風(fēng)險或者夏普比率。

那么,對于風(fēng)險層次為 [a,a+h]Wang兩因素模型下的巨災(zāi)債券定價可表達(dá)為:

六、四種精算定價模型的比較分析

作為巨災(zāi)債券四種常用定價模型,LFC模型、Wang轉(zhuǎn)換模型、Christofides模型和Wang兩因素模型,都沿用了傳統(tǒng)保險精算的定價思路,運用計量方法估算影響價格的重要因素來定價。不難看出,它們在發(fā)展上也具有一定的內(nèi)在邏輯延續(xù)性,是一個不斷總結(jié)經(jīng)驗和逐步加以改進(jìn)的過程。表1對這四個模型的共同點和不同點進(jìn)行了比較分析。

先看共同點:第一,四個模型都是基于傳統(tǒng)保險精算定價原理,將巨災(zāi)債券價格分為巨災(zāi)期望損失和風(fēng)險附加兩部分,都基于Kreps模型所提出的標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險附加的保險精算定價方法。所不同的是,LFC模型直接計算風(fēng)險溢價,而后三者通過概率變換直接實現(xiàn)了風(fēng)險溢價向風(fēng)險調(diào)整溢價的轉(zhuǎn)換,風(fēng)險附加部分被隱藏在了計算公式之中。

第二,都不同程度地考慮了巨災(zāi)分布的重尾特征,并試圖通過各自的風(fēng)險度量指標(biāo)進(jìn)行描述。四個模型都認(rèn)為傳統(tǒng)的風(fēng)險度量指標(biāo)夏普比率或標(biāo)準(zhǔn)差難以適應(yīng)于非對稱的巨災(zāi)保險風(fēng)險,因此需要引入相應(yīng)的、新的風(fēng)險度量指標(biāo)進(jìn)行修正。

表1 四種精算定價模型的比較分析

再看不同點:第一,模型性質(zhì)不同。LFC模型屬于實證模型,來自于對巨災(zāi)債券市場的直接觀察與提煉,并沒有從理論的角度加以推導(dǎo)模型變量之間的函數(shù)關(guān)系。后面三個模型屬于理論模型,主要基于Wang對資本風(fēng)險和保險風(fēng)險統(tǒng)一定價的理論研究,以及Christofides關(guān)于系統(tǒng)性風(fēng)險和非系統(tǒng)性風(fēng)險的理論定價研究。

第二,風(fēng)險度量指標(biāo)不同。LFC模型用條件期望損失來度量偏斜分布的巨災(zāi)風(fēng)險;Wang轉(zhuǎn)換模型和Christofides模型則著重考察市場上的風(fēng)險厭惡水平;Wang兩因素模型主要通過對參數(shù)不確定性和概率變化來刻畫巨災(zāi)風(fēng)險。

第三,風(fēng)險細(xì)分層次價格可否計算。LFC模型無法計算巨災(zāi)風(fēng)險細(xì)分層次上的債券價格,后三者均可以計算,只是技術(shù)實現(xiàn)復(fù)雜程度有所不同。具體而言,Christofides模型較Wang轉(zhuǎn)換模型和Wang兩因素模型計算更為簡單,只需要考慮風(fēng)險厭惡系數(shù)。

第四,精確程度不同。總體而言,Wang兩因素模型在精確程度上要優(yōu)于Wang轉(zhuǎn)換模型; Wang轉(zhuǎn)換模型要優(yōu)于Christofides模型;Christofides模型則優(yōu)于LFC模型。

第五,存在缺陷不同。LFC模型的主要缺陷在于面臨著市場周期性變化和風(fēng)險的季節(jié)性變化; Wang轉(zhuǎn)換模型中風(fēng)險厭惡水平難以計算;Christofides模型缺乏對參數(shù)不確定性因素的考慮;Wang兩因素模型則面臨著各參數(shù)的估算和巨災(zāi)概率分布變換在技術(shù)實現(xiàn)上更加復(fù)雜。

七、結(jié) 語

自漢諾威再保險1994年首次成功發(fā)行巨災(zāi)債券以來,巨災(zāi)債券發(fā)展迅速,現(xiàn)已成為巨災(zāi)保險市場上最為活躍,接受程度最高的巨災(zāi)保險連接證券,并對傳統(tǒng)的再保險進(jìn)行了有力補充。巨災(zāi)債券的迅速發(fā)展離不開其定價模型的不斷改進(jìn)。在傳統(tǒng)再保險的Kreps期望-方差定價理論基礎(chǔ)上,巨災(zāi)債券的定價模型發(fā)展出四個常用精算定價模型:LFC模型、Wang轉(zhuǎn)換模型、Christofides模型和Wang兩因素模型。

通過對上述四個主要精算定價模型的回顧與分析,本文發(fā)現(xiàn),巨災(zāi)債券定價模型的發(fā)展實質(zhì)上是在傳統(tǒng)債券定價理論的基礎(chǔ)上,不斷引入自然風(fēng)險特征以及市場特征的一個逐步完善過程。雖然其定價模型尚存在一定的缺陷,但日趨成熟的巨災(zāi)債券市場也間接說明了巨災(zāi)債券精算定價模型的合理性。如何進(jìn)一步合理描述巨災(zāi)風(fēng)險的特性、參數(shù)的不確定性以及市場不完全等特征將是未來巨災(zāi)債券定價模型發(fā)展的主要方向。

[1]田玲,向飛.基于風(fēng)險定價框架的巨災(zāi)債券定價模型比較研究[J].武漢大學(xué)學(xué)報,2006,(2).

[3]田玲,張岳.巨災(zāi)風(fēng)險債券定價研究的進(jìn)展評述[J].武漢大學(xué)學(xué)報,2008,(5).

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