一種用于彈道導彈助推段攔截的最優制導律

肖增博，雷虎民，葉繼坤，宋 龍，徐劍蕓

（1.空軍工程大學 導彈學院，陜西 三原713800；2.中國空空導彈研究院，河南 洛陽471009）

作為彈道導彈防御系統中不可缺少的一環，助推段防御越來越受到重視.相對于地基、海基助推段攔截以及機載激光器助推段攔截，空基攔截彈助推段攔截的優勢更為明顯[1，2]：攔截速度快、機動性好；發射平臺兼容性強；系統部署區域廣泛；攔截高度較大，效率更高；發展周期短，技術開發成本低.

在助推階段進行攔截，攔截彈不僅要以直接碰撞方式攔截到目標，而且要有足夠的動能以便摧毀目標[3]，因此，精確制導規律的設計是助推段攔截能否實現的關鍵[4].針對空基助推段攔截問題，目前已有相關文獻對彈道形成制導律[5]和最優制導律[6]進行了研究，取得了一定成果.而在制導律設計中引入微分對策理論，可以根據戰技指標要求，構造性能指標泛函，求得最優制導律，并充分考慮目標的機動能力，使目標機動能力靈活運用的潛在作用最小[7].針對彈道導彈助推段攔截的性能要求，采用微分對策理論設計攔截彈制導律無疑是一種更有效的方法.

本文在文獻[5，6]的基礎上，建立了空基攔截彈和彈道目標的線性二次型微分對策模型，通過分解最優控制指令，將攔截彈制導過程分為彈道形成制導段和末制導段，并針對有先驗信息和無先驗信息條件下的攔截特點，分別設計了相應的助推段攔截最優制導律，仿真結果驗證了其有效性.

1 攔截彈和目標相對運動模型

攔截彈與彈道導彈目標的相對運動方程為[6]

式中，rx，ry，rz為目標相對于攔截彈的位置矢量在慣性坐標系Oxyz各軸上的投影分量；vx，vy，vz為目標相對于攔截彈的速度矢量在慣性坐標系各軸上的投影分量，amx，amy，amz為攔截彈加速度矢量在慣性坐標系各軸上的投影分量；atx，aty，atz為目標加速度矢量在慣性坐標系各軸上的投影分量.

將攔截彈彈體動態特性考慮為一階慣性環節，以X＝（rxryrzvxvyvzamxamyamz）T為狀態變量，u＝（amxcamycamzc）T為控制變量（攔截彈制導指令），則系統的狀態方程為

由狀態方程（1）可以看出，在慣性坐標系中3個軸向的狀態方程是相互獨立的，可以分開求解.為使問題分析簡單，本文僅研究攔截彈在Oy軸向的制導指令.以X＝（x1x2x3）＝（ryvyamy）T為狀態變量，u＝amyc為控制變量，系統狀態方程形式不變，所不同的是，為攔截彈時間常數.同文獻[6]相比，式（1）考慮了攔截彈彈體動態特性，使相對運動模型更加合理.

2 線性二次型微分對策問題及其求解

將攔截彈攔截目標問題視為一類二人零和追逃微分對策問題，其對抗模型可由如下系統狀態方程和性能指標函數來表示.

狀態方程為

式中，w1＋w2＝w，w1為目標機動加速度的確定項，w2為目標機動加速度的不確定項.

以終端脫靶量最小和能量最省建立性能指標函數：

式中，t0為攔截初始時刻；tf為終端時刻；Xf＝X（tf），Pf＝P（tf），P為狀態約束矩陣；Q為彈道形成加權矩陣；R為控制加權矩陣；γ為懲罰系數.攔截彈控制的目的是攔截結束時使J取最小可能的值，而目標控制的目的則是使J取最大可能的值.

對于足夠大的γ，該微分對策問題具有鞍點解，其攔截彈最優控制指令u為

式中，P為對稱正定矩陣，滿足微分黎卡提方程：

而θ為如下微分方程的解：

式（4）可轉換為

式中，V＝P－1，ξ＝Vθ.

因此，最優控制u表示為

只考慮黎卡提方程（3）的穩態情況，即假定終止時間tf→∞，系統狀態漸近趨于0，P（t）趨向于常數矩陣，則（t）→O.下面對最優控制u進行分解[8].

假定u1（t）為如下最優控制問題的解：

性能指標函數：

最優控制指令u1為

式中，為如下微分黎卡提方程的解：

假定u2（t）為如下最優控制問題的解：

性能指標函數為

式中，Wf＝Pf－，F＝A－（BR－1BT－γ－2DDT）.故最優控制指令u2為

式中，W為如下黎卡提方程的解：

接下來，定義u3為

則由式（2）表示的最優控制指令u可表示為

3 先驗信息條件下的最優制導律

彈道導彈推力主要由火箭發動機和燃料類型決定，且同一類型導彈助推段推力相對固定，導彈按預定飛行程序飛行，因此通過預警系統對真實彈道與數據庫標稱彈道進行匹配，可使得在對彈道目標跟蹤的同時實現對其類型的識別[9]，從而對彈道目標的飛行狀態做出準確的預測或估計.而彈道目標在探知攔截彈對其進行攔截時，有可能附加軌道機動以實現突防.因此，有必要研究先驗信息條件下的最優制導律，同時克服目標逃逸機動帶來的影響.

3.1 先驗信息條件下的制導律

先驗信息條件下的系統狀態方程為

式中，w1表示正常飛行條件下彈道導彈助推段加速度，即對于攔截彈來說，在整個攔截過程中可精確預測或估計出來；w2為彈道導彈逃逸加速度（如開啟速燃發動機以增大軸向過載、噪聲和不確定性干擾），對于攔截彈來說是不可知的，且

性能指標函數為

該最優控制問題的黎卡提方程為

最優制導指令為如下形式：

利用式（5），最優制導指令可分解為

式中，u1需要如下黎卡提方程的解：

u2需要如下黎卡提方程的解W：

式（9）可轉化為如下的Lyapunov微分方程：

式中，S＝W－1.將式（10）重寫為

對式（11）求解，即可推導得到黎卡提方程（9）的解.

u3需要如下線性時變微分方程的解：

式中，θ＝Pξ，P＝＋W.

在Q1≠0，Q2≠0的情況下，基于最小化性能指標（7）所求得的最優制導指令在很大程度上影響著攔截彈的運動軌跡.因此，可稱該制導律為彈道形成制導律.

3.2 基于控制分解的制導策略

攔截彈在整個攔截過程中，需經歷中制導（載機提供數據鏈指令修正信號）和末制導2個階段.現代空射導彈的發展趨向于在中制導段和末制導段盡可能采用相同或相近的控制律，從而可靠而且順利地完成轉接段.根據最優控制的分解形式，在目標機動的情況下，可采用如下的制導策略：

式中，Tsw為中末制導切換時間，切換規則采用文獻[10]所提的方法.在此策略下，攔截彈末制導段順利地從彈道形成制導段（中制導段）中分離出來.該制導策略具有如下特點：制導指令u1的求解需要式（8）的解，而為常數矩陣，故u1不依賴于剩余飛行時間tgo和目標機動加速度；另一方面，u2和u3的計算需要求解黎卡提方程式（9）、線性微分方程（12），因此，必須對剩余飛行時間tgo和目標機動加速度做出連續估計.增大中制導比例是空射導彈制導技術的主要發展趨勢.在制導律的設計過程中，應適當選擇時間節點Tsw，從而在減少對導引頭性能需求的同時，最小化對脫靶量的影響.

4 無先驗信息條件下的最優制導律

對助推段彈道目標準確建模并進行識別是上述制導律得以實現的基本條件.然而在助推階段，彈道導彈加速度較大，并且變化快，給目標識別與跟蹤帶來困難；攔截反應時間短，彈道導彈助推段持續時間僅為幾min（甚至幾十s），而且攔截彈必須靠近彈道導彈發射點進行攔截.此時，預警系統有可能無法或沒有時間對目標進行識別匹配.因此，有必要研究無先驗信息條件下的制導規律.

仍采用如式（6）、式（7）所示的系統狀態方程和性能指標函數.不同的是，w1和w2分別表示目標機動加速度的估計值、估計誤差.對于攔截彈來說，在整個攔截過程中w1可得，而w2是不可知的，故w2使性能指標J最大化.

此時，最優制導指令u為

式中，

可以看出，最優制導指令u需要目標機動加速度的估計值w1.另外，u不僅對目標加速度估計誤差做出補償，而且對未知的目標加速度趨勢做出補償.

為便于工程應用，假設濾波器對目標狀態的估計誤差已達到穩態，那么在此后的任意時刻tk可使：

故而

在無目標機動先驗信息的條件下，需要制導律對目標機動具有魯棒性.在攔截過程中，彈道形成系數Q1和Q2影響著攔截彈和目標的相對距離和相對速度，選擇較大的彈道形成系數可提高攔截彈的快速跟蹤能力，增強對目標機動的魯棒性；但是，這將會增大攔截彈的控制能量.因此，將彈道形成系數選取為

式中，Qf1、Qf2為彈道形成系數的終值，且τ1、τ2為常數.

該制導律具有如下優點：消除初始航向角誤差對制導性能的影響；不需要額外的控制能量消耗；具有較強的魯棒性，尤其是在攔截末端，考慮到控制指令延遲，攔截彈沒有足夠的時間對目標機動做出反應.

根據如下近似，可得到式（13）、式（14）的實時解：

同樣，可對無先驗信息條件下的最優制導指令u進行控制分解，在此不再贅述.由于彈道形成制導段不需要目標加速度信息，所以2種信息條件下的最優制導指令表達式相同.而在末制導段，通過對估計誤差的補償，該制導策略可顯著提高攔截彈的制導性能.

5 仿真算例

為驗證所設計制導律的正確性和有效性，參考某型空空導彈數據進行仿真驗證.仿真中用到的彈道目標為某一級中近程彈道導彈[11]，其助推段的垂直平面飛行軌跡及加速度特性如圖1所示.圖中，atx1、aty1分別為彈道導彈在彈體坐標系O1x1y1z1上的軸向、側向加速度.

圖1 彈道導彈助推段飛行軌跡及加速度特性曲線

假定載機初始位置坐標為（0，0，0），以勻速600m/s進行巡航.攔截彈在距離目標15km時進行中末制導指令切換.

仿真情形1：假定彈道導彈發射位置坐標為（48.245km，－10km，8.507km），載機初始航跡傾角和航跡偏角分別為5.7°與5°.彈道導彈一經發射便被預警系統探測到，識別系統經30s后確定彈道目標類型，同時進行數據匹配并發射攔截彈，此時宜采用先驗信息條件下的最優制導規律，制導參數σ1＝10 000，σ2＝0，γ＝1 000，Q1＝1，Q2＝0.攔截彈初始彈道傾角和彈道偏角分別為－0.4°與8.9°.仿真結果如圖2、圖3所示.圖中，ε、β分別為俯仰、偏航通道的視線角速率.

仿真情形2：假定彈道導彈發射位置坐標為（38.142km，－10km，6.725km），載機初始航跡傾角和航跡偏角分別為14.5°與5°.彈道導彈在發射35s后被預警系統探測到，此時必須立即發射攔截彈，識別系統已沒有時間判定目標類型，故宜采用無先驗信息條件下的最優制導規律，制導參數σ1＝100 000，σ2＝0，γ＝25，Qf1＝Qf2＝100 000，τ1＝τ2＝0.25.攔截彈初始彈道傾角和彈道偏角分別為9°與12.8°.應用卡爾曼濾波對目標狀態進行估計[10]，且取tk＝49s.仿真結果如圖4、圖5所示.

圖2 有先驗信息條件下的攔截彈攔截軌跡

圖3 有先驗信息條件下的視線角速率變化

圖4 無先驗信息條件下的攔截彈攔截軌跡

圖5 無先驗信息條件下的視線角速率變化

由仿真過程和結果可知：

①有先驗信息的情況下，攔截彈脫靶量為0.034m；無先驗信息的條件下，攔截彈脫靶量為0.059m.在2種制導方式下，均達到了以直接碰撞方式攔截目標的目的.

②在本文制導律導引下，攔截彈彈道在起始時刻較為彎曲，在制導末端較為平直，這對于減小攔截彈的脫靶量具有重要意義.

③彈目視線角速率趨近于0，可以確保完成高精度的目標攔截.在對初始航向角誤差做出修正之后，偏航通道的視線角速率曲線要比俯仰通道平緩，這是由于彈道目標在助推段快速爬升的緣故.

④在仿真情形2中，盡管濾波器對目標加速度的估計誤差達到穩態后就停止了工作，但攔截彈仍擊中目標，可見該制導律對目標機動變化及濾波器估計誤差具有較強的魯棒性.

6 結束語

本文針對彈道導彈助推段飛行中加速度大、攔截反應時間短的特點，分別設計了攔截彈在有先驗信息條件下和無先驗信息條件下的最優制導律，并將攔截彈制導過程分為彈道形成制導段和末制導段.有先驗信息條件下的制導律充分考慮了目標的逃逸機動能力，并使其潛在作用最小；無先驗信息條件下的制導律充分考慮了目標機動加速度的估計誤差，并使其潛在作用最小.仿真結果表明，所提制導律實現了直接碰撞殺傷目標，具有較強的魯棒性.研究成果對發展空基攔截彈攔截助推段彈道導彈的制導技術具有一定的理論指導和實用參考價值.

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