一種Terminal滑模制導(dǎo)規(guī)律研究

張 旭，雷虎民，曾 華，朱良志

（1.空軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈學(xué)院，陜西 三原713800；2.中國(guó)人民解放軍94211部隊(duì)，河南 商丘476000）

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，彈道導(dǎo)彈、空間飛行器等空中目標(biāo)的機(jī)動(dòng)突防能力越來越強(qiáng)，對(duì)各國(guó)安全構(gòu)成了嚴(yán)重的威脅[1，2].基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律因其設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、易于工程實(shí)現(xiàn)，同時(shí)具有對(duì)外界干擾和系統(tǒng)不確定性的魯棒性，成為制導(dǎo)律研究的熱點(diǎn).但是，目前大多數(shù)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律一般選用線性滑模面，無論如何，狀態(tài)跟蹤誤差都不會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，不能很好地適用于動(dòng)能攔截器“趨零脫靶量”精確制導(dǎo)能力的要求[3]，因此，迫切需要研究使視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0的高精度制導(dǎo)律.

近年來，為了解決視線角速率快速收斂到0的問題，一些學(xué)者提出了Terminal滑?？刂撇呗訹4，5]，即在滑動(dòng)超平面的設(shè)計(jì)中引入了非線性函數(shù)，構(gòu)造非線性Terminal滑模面，使得在滑模面上跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0.

文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種基于零控?cái)r截的EKV末段制導(dǎo)律，在對(duì)常規(guī)彈道類目標(biāo)進(jìn)行逆軌攔截時(shí)能夠取得較好的效果，但是對(duì)于大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，其所設(shè)計(jì)的擴(kuò)展比例導(dǎo)引律就會(huì)產(chǎn)生很大的脫靶量.文獻(xiàn)[7]提出了制導(dǎo)系統(tǒng)有限時(shí)間收斂的充分條件和一種形式簡(jiǎn)潔的有限時(shí)間收斂變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引規(guī)律，但是該導(dǎo)引律只能保證視線角速率在末制導(dǎo)結(jié)束前收斂到0，不能使視線角速率在末制導(dǎo)開始后短時(shí)間內(nèi)收斂到0.

針對(duì)高速度、大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，本文將Terminal滑?？刂撇呗砸氲街茖?dǎo)律設(shè)計(jì)中，通過構(gòu)造非線性滑模超平面，設(shè)計(jì)了一種能夠使視線角速率在末制導(dǎo)開始后短時(shí)間內(nèi)收斂到0的高性能制導(dǎo)律，并與比例導(dǎo)引法、經(jīng)典變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律、全局Terminal滑模制導(dǎo)律進(jìn)行了詳細(xì)的分析比較，說明了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的優(yōu)越性能.

1 導(dǎo)引段的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

攔截器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)如圖1所示，圖中，IxI、IyI、IzI為平行于慣性參考坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸方向；T為目標(biāo)，IT為視線，r為導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)距離，IxLyLzL為視線坐標(biāo)系，θL為視線傾角，φL為視線偏角，θI和φI分別為攔截器的彈道傾角和彈道偏角，θT和φT分別為目標(biāo)的彈道傾角和彈道偏角.

圖1 攔截器－目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

為了研究導(dǎo)引規(guī)律，末制導(dǎo)過程中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以解耦成縱向平面IxLyL內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和側(cè)向平面IxLzL內(nèi)的運(yùn)動(dòng).在某一時(shí)間區(qū)間 Δt內(nèi)，ΔxL、ΔyL、ΔzL分別為xL、yL、zL的增量.

本文主要針對(duì)動(dòng)能攔截器縱向平面內(nèi)的制導(dǎo)律進(jìn)行研究，故給出縱向平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.設(shè)在Δt內(nèi)，視線傾角的增量為ΔθL，則

式中，r（t）為動(dòng)能攔截器與目標(biāo)在縱向平面內(nèi)的相對(duì)距離，ΔyL（t）為 Δt時(shí)間內(nèi)IyL方向上的相對(duì)位移.若時(shí)間區(qū)間Δt足夠小，則ΔθL（t）是一個(gè)很小的量.因此有：

將式（2）對(duì)時(shí)間t進(jìn)行微分，可得：

把 ΔyL（t）＝r（t）ΔθL（t）代入式（3），可得：

把式（4）等號(hào)兩邊對(duì)時(shí)間t再微分一次，可得：

式中，

aIy（t）和aTy（t）分別為動(dòng)能攔截器和目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度在IyL方向上的分量.

為了便于設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，取狀態(tài)變量x1＝ΔθL（t），，那么由式（7）可得縱向平面內(nèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程為

干擾量為

設(shè)D（t）為干擾量的界，則｜δf（t）｜≤D（t）.

2 基于Terminal滑模的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 非線性滑模超平面設(shè)計(jì)

設(shè)期望狀態(tài)Xd＝（x1dx2d）T＝（x1d1d）T，通過設(shè)計(jì)Terminal滑模控制律，使系統(tǒng)狀態(tài)X＝（x1x2）T在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望狀態(tài)Xd的跟蹤.

定義誤差向量為

式中，e＝x1－x1d.由于在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過程中，期望ΔθL（t）和（t）趨向于0，故選取Xd＝（0 0）T，則

非線性滑模面方程設(shè)計(jì)為

式中，C＝（C1C2），C1、C2為正的常數(shù)；W（t）＝CP（t），P（t）＝ （p（t）（t））T，p（t）滿足如下假設(shè)：p（t）：R＋→R，p（t）∈Cn[0，∞），p（t）、（t）∈L∞.對(duì)于某個(gè)常數(shù)T＞0，p（t）是在時(shí)間段[0，T]上有界的，并且p（0）＝e（0）（0）＝（0）.Cn[0，∞）表示定義在[0，∞）上的所有二階可微連續(xù)函數(shù).

選取非線性函數(shù)p（t）為

式中，參數(shù)ajl可通過上述假設(shè)中的條件獲得.

2.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

式（12）對(duì)t求微分，可得：

將式（8）、式（11）代入式（14），可得：

設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

令u＝aIy，對(duì)上式進(jìn)行微分，可得：

為使式（17）的取值小于0，可將制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

式中，K為正的常數(shù).

將式（18）代入，可得：

從而證明了所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的.

根據(jù)p（t）滿足的條件和 Terminal滑模面方程（12），可得：

即系統(tǒng)的初始狀態(tài)已經(jīng)在滑模面上了，消除了滑模控制的到達(dá)階段，確保閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和魯棒性.

在末制導(dǎo)過程中（t）變化不大，故（t）≈0；且在實(shí)際應(yīng)用中，干擾δf（t）可能無法得到，考慮變結(jié)構(gòu)控制的魯棒性，在式（18）中將干擾項(xiàng)略去；令，從而得到簡(jiǎn)化的制導(dǎo)律為

由于系統(tǒng)具有全局魯棒性，即S（X，t）＝0或E（t）＝P（t）.故通過選擇 Terminal滑模面中的函數(shù)P（t）＝（00）T，實(shí)現(xiàn)E（t）＝（00）T，從而保證跟蹤誤差在有限時(shí)間T內(nèi)收斂至0.

2.3 基于準(zhǔn)滑?？刂频腡erminal滑模制導(dǎo)設(shè)律計(jì)

抖振問題是影響滑動(dòng)模態(tài)控制廣泛應(yīng)用的主要障礙，引起抖振的根本原因在于開關(guān)函數(shù)的不連續(xù)性，為此本文將繼電特性連續(xù)化的方法引入到制導(dǎo)律設(shè)計(jì)當(dāng)中，即在邊界層外采用正常的滑?？刂?，在邊界層內(nèi)采用連續(xù)狀態(tài)反饋控制，從而避免或削弱抖振的影響，實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制.

在式（22）中，用連續(xù)函數(shù)Θ（S）代替符號(hào)函數(shù)sgn（S）.Θ（S）的表達(dá)式為

2.4 非線性函數(shù)p（t）及其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式推導(dǎo)

根據(jù)式（13），p（t）可寫為

式中，δ0、δ1為很小的正數(shù).

由式（22）和式（23）可得縱向平面內(nèi)的Terminal滑模制導(dǎo)律為

p（t）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可通過對(duì)式（25）分別求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得到.

根據(jù)p（t）滿足的條件，可知，當(dāng)t＝T時(shí)，p（t）＝0；將其代入式（25），經(jīng)化簡(jiǎn)，可得：

由于e（0）、（0）、（0）不恒為0，則p（T）＝0成立的必要條件為

同理，由t＝T時(shí)（t）＝0，得（t）＝0的必要條件為

解方程組（27）～方程組（29）可得p（t）的系數(shù)矩陣，將其代入式（13），可得p（t）的表達(dá)式為

3 仿真結(jié)果分析

以動(dòng)能攔截器大氣層外攔截為例，兩飛行器在慣性坐標(biāo)系下進(jìn)入末制導(dǎo)時(shí)的狀態(tài)參數(shù)：攔截器的位置為（0，9.5km），初始彈道傾角為0.034 9rad，速度為2 000m/s；目標(biāo)的位置為（35km，10km），初始彈道傾角為3.141 6rad，速度為2 500m/s.

在本文的空間攔截實(shí)例仿真中，導(dǎo)彈的最大允許過載為3g，不考慮攔截器的控制系統(tǒng)延遲；導(dǎo)引頭的采樣周期和指令形成周期在開始攔截時(shí)為10ms，當(dāng)攔截器和目標(biāo)的距離小于300m時(shí)，改為1ms，這樣既保證了仿真速度，又保證了攔截精度；攔截器的制導(dǎo)盲區(qū)設(shè)置為100 m，即當(dāng)攔截器與目標(biāo)的距離小于該距離時(shí)，軌控發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)，制導(dǎo)指令為0，攔截器依靠慣性向目標(biāo)飛去；目標(biāo)為逃避攔截做沿著飛行彈道法向的正弦加速機(jī)動(dòng)：

式中，aTmax為目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)加速度.TVSG的參數(shù)取值為C＝（5 1）T，K＝2，δ0＝0.01，δ1＝2.0，T＝0.1s.

在仿真中還將Terminal滑模制導(dǎo)律（TVSG）的仿真結(jié)果與真比例導(dǎo)引（TPN）、經(jīng)典滑模制導(dǎo)律（CVSG）、全局 Terminal滑模制導(dǎo)律（GTVSG）進(jìn)行比較.

其中，TPN的形式為

式中，導(dǎo)引系數(shù)N＝3.

CVSG的形式如下：

式中，k＝2，ε＝10，δ＝0.001.

GTVSG 的形式[8]如下：

式中，α0＝2，β0＝0.1，p0＝7，q0＝5，p＝11，q＝9，

考慮攔截過程中動(dòng)能攔截器為一階慣性環(huán)節(jié)，即

式中，aIy為攔截彈指令加速度，aI為攔截彈加速度，τ＝0.01s，s為拉氏變換中的因子.

在攔截器飛行過程中的脫靶量用Δ表示，消耗的能量使用如下公式進(jìn)行解算：

式中，t0為攔截器發(fā)射初始時(shí)刻，tf為攔截結(jié)束時(shí)刻.

仿真結(jié)果主要如圖2～圖5、表1～表3所示.其中，圖2～圖5是aTmax＝2g情況下的仿真結(jié)果，表1～表3為4種制導(dǎo)律在目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度分別為g、2g、3g時(shí)的仿真結(jié)果.

圖2 彈道軌跡

圖3 視線角速率隨時(shí)間的變化曲線

圖4 視線角速率局部放大圖

圖5 指令加速度隨時(shí)間的變化曲線

表1 aTmax＝g時(shí)的不同制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能

表2 aTmax＝2g時(shí)的不同制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能

表3 aTmax＝3g時(shí)的不同制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能

由圖2及表2可知，當(dāng)aTmax＝2g時(shí)，4種制導(dǎo)律均命中目標(biāo)，其中TPN和CVSG的脫靶量較大；同時(shí)，TPN和CVSG 2種制導(dǎo)律的彈道軌跡明顯高于2種Terminal滑模制導(dǎo)律，這主要是由于TPN和CVSG不能使視線角速率快速收斂到0造成的.

圖3、圖4是4種制導(dǎo)律的視線角速率變化曲線及其局部放大圖.由圖3可知，TPN的視線角速率在攔截末端迅速發(fā)散，這也是導(dǎo)致其脫靶較大的主要原因.由圖4的局部放大圖可以看出，在整個(gè)末制導(dǎo)過程中，TVSG和GTVSG的視線角速率在末制導(dǎo)剛開始就收斂到0并且一直保持不變，直到最后一刻才稍稍增大；而TPN和CVSG從t＝1s時(shí)就開始增大，直至最后發(fā)散；同時(shí)，TVSG的視線角速率比GTVSG能更有效地收斂到0，這是因?yàn)镚TVSG中缺少與視線角速率收斂時(shí)間相關(guān)的參數(shù)，而TVSG中的非線性函數(shù)p（t）包含這個(gè)參數(shù)，故可以通過對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)來改善視線角速率的趨零特性.Terminal滑模的另外一個(gè)重要特點(diǎn)就是在導(dǎo)引的開始階段指令加速度比較大，之后變得比較小且變化平緩.由圖5可知，在前1.8s，TVSG與GTVSG指令加速度較大且趨于飽和，其原因是系統(tǒng)為了使滑模面迅速收斂到0，必須使用較大的控制量.這種制導(dǎo)律的優(yōu)點(diǎn)是在末制導(dǎo)的初始段，它能夠充分利用攔截器的機(jī)動(dòng)能力，使制導(dǎo)律的滑模面快速收斂到0，之后制導(dǎo)指令變得較小，有利于攔截器以較小的脫靶量命中目標(biāo)；從圖5還可知，TPN的指令加速度在最后0.15s達(dá)到了飽和，CVSG在最后0.13s也達(dá)到了飽和，從而引起了較大的脫靶量.

雖然Terminal滑模在導(dǎo)引初始段制導(dǎo)指令比較大，但其消耗的總能量卻比TPN和CVSG少得多.其中TPN和CVSG消耗的能量最多，分別為1 396.040m2/s3和1 281.066m2/s3，而 GTVSG 比較少，為763.465 6m2/s3，TVSG 消耗的能量最少，為751.537 8m2/s3.

由表1～表3可以看出，隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的不斷增大，TPN、CVSG先后出現(xiàn)了脫靶，而GTVSG和TVSG則始終能夠以較小的脫靶量命中目標(biāo)；不僅如此，隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的不斷增大，4種制導(dǎo)律的攔截時(shí)間和能量消耗也有所增加，但GTVSG和TVSG一直保持在比較低的狀態(tài).然而，無論目標(biāo)以何種加速度逃逸，TVSG總能夠以最小的脫靶量、最少的攔截時(shí)間和能量消耗命中目標(biāo).

4 結(jié)束語

本文針對(duì)動(dòng)能攔截器攔截空間高速度、大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的問題，結(jié)合其可用過載小、燃料受限、對(duì)脫靶量要求高等特點(diǎn)，基于Terminal滑?？刂撇呗?，構(gòu)造Terminal滑模超平面，設(shè)計(jì)了縱向平面內(nèi)的Terminal滑模制導(dǎo)律.該制導(dǎo)律可以使視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)趨向于0，從而保證了其較小的脫靶量、攔截時(shí)間、能量消耗和魯棒性.通過與比例導(dǎo)引法和經(jīng)典變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比，說明Terminal滑模制導(dǎo)律的優(yōu)越特性；由于全局Terminal滑模制導(dǎo)律與本文所設(shè)計(jì)的Terminal制導(dǎo)律均是基于有限時(shí)間收斂的思想，因此，二者在制導(dǎo)性能上有一些相似之處，但是通過仿真分析可以發(fā)現(xiàn)，本文所設(shè)計(jì)的Terminal滑模制導(dǎo)律具有更好的制導(dǎo)性能.

由于在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)忽略了攔截器姿態(tài)控制系統(tǒng)的誤差和延遲、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)的推力特性以及制導(dǎo)信息的獲取等因素，因此，在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)考慮攔截器的姿軌控特性以及制導(dǎo)信息的獲取方法將是下一步研究的主要方向.

[1]康興無，陳剛.天對(duì)地精確攻擊武器末段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J].固體火箭技術(shù)，2009，32（1）：11－14.KANG Xing－wu，CHEN Gang.A terminal guidance law design applied to space－to－surface precision attack weapons[J].Journal of Solid Rocket Technology，2009，32（1）：11－14.（in Chinese）

[2]趙吉松，谷良賢，龔春林.高超聲速跳躍－滑翔彈道方案設(shè)計(jì)及優(yōu)化[J].固體火箭技術(shù)，2009，32（2）：123－126.ZHAO Ji－song，GU Liang－xian，GONG Chun－lin.Design and optimization of hypersonic skip－glide trajectory[J].Journal of Solid Rocket Technology，2009，32（2）：123－126.（in Chinese）

[3]ZHOU D，SUN S，TEO H L.Guidance laws with finite time convergence[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32（5）：1 838－1 846.

[4]FANG Y，YU X H.Non－singular terminal sliding mode control of rigid manipulators[J].Automatica，2002，38：2 159－2 167.

[5]YU S H，YU X H，MAN Z H.Robust global terminal sliding mode control of SISO nolinear uncertain system[C].Proceedings of 39th IEEE Conference on Decision and Control.Sydney，Australia：IEEE，2000：2 198－2 203.

[6]馮杰，鮮勇，劉順成，等.基于零控?cái)r截的EKV末段攔截彈道仿真[J].飛行力學(xué)，2010，28（2）：75－81.FENG Jie，XIAN Yong，LIU Shun－cheng，et al.Trajectory simulation of EKV terminal phase interception based on zero effort[J].Flight Dynamics，2010，28（2）：75－81.（in Chinese）

[7]孫勝，周荻.有限時(shí)間收斂變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[J].宇航學(xué)報(bào)，2008，29（4）：1 258－1 262.SUN Sheng，ZHOU Di.A finite time convergent variable structure guidance law[J].Journal of Astronautics，2008，29（4）：1 258－1 262.（in Chinese）

[8]湯一華，陳士櫓，徐敏，等.基于Terminal滑模的動(dòng)能攔截器末制導(dǎo)律研究[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，8（2）：22－25.TANG Yi－h(huán)ua，CHEN Shi－lu，XU Min，et al.Terminal guidance law of kinetic interceptor based on terminal sliding mode[J].Journal of Air Force Engineering University，2007，8（2）：22－25.（in Chinese）