光聲耦合方程組的近似解*

李華星， 林 機

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

光波在布拉格光柵中傳播時，因其具有較大的群速度色散和非線性效應而可以形成孤立子．Eggleton等［1］和Taverner等［2］分別在實驗中發現了布拉格孤子和帶隙孤子，其中后者是布拉格孤子頻譜在光子帶隙內時的特殊情況;而在理論上，文獻［3］首先提出了帶隙孤子的概念;de-Sterke等［4］給出了光波在布拉格光柵中傳播所遵循的耦合方程組，給出了相應的帶隙孤子解，并分析了其性質．目前，布拉格光柵中帶隙孤子的傳播和穩定性也受到人們的廣泛關注［5-6］．此外，由于布拉格光柵的色散效應，帶隙孤子的速度可以遠小于光速，在此基礎上，學者們［7-9］深入分析了帶隙孤子抑制光速的原因．

近幾年來，光聲相互作用引起人們廣泛的關注［10-12］．考慮電致伸縮的情況下［13-16］，在布拉格光柵中光波帶隙孤子可以與聲波耦合，從而形成一種新的帶隙孤子——光聲孤立子．光聲孤立子的概念最早是由Tasgal等［17］提出的，并給出了光波和聲波在布拉格光柵中傳播所遵循的耦合方程組，在電致伸縮對介質密度的影響下，發現孤子的速度可以減小到接近聲速．可見，光聲孤立子也可以抑制光傳播的速度．然而，Tasgal等只是在特殊情況下給出了單光聲孤立子解析解，并且用數值方法給出了孤子的裂變圖像，并沒有給出更多的解析解．目前對此方程的解析解研究也很少，原因是方程不可積，一般的孤子理論方法難以運用此方程，尋找一般情況解是很困難的．文獻［18］運用多重尺度方法分析了玻色-愛因斯坦凝聚中的暗孤子解及其碰撞，這種方法思路簡單，過程簡潔，而且把復雜的耦合方程組轉化成已經有解或容易求解的簡單方程．因此，本文運用多重尺度方法簡化在布拉格光柵中的光聲耦合方程組，并得到了方程的近似解，如單孤子解、二孤子解，并分析了解的性質．

1 多重尺度約化和非線性薛定諤方程

在布拉格光柵中，光聲耦合方程組有如下形式:

其中:下標表示對時間變量t和空間變量z的求導;k'0=dk/dω(ω=ω0)表示光波的群速度;κ是布拉格反射率;κ*是κ的復共軛;c代表光速;i表示虛數單位;χχ和χs分別表示交叉相位調制和自相位調制系數;A代表波導的有效區域;λ和χes分別表示由能量密度和波矢變化引起的電致伸縮系數;βs是聲速;Γ為聲波的粘滯系數;u=u(z，t)和v=v(z，t)表示反向傳輸的光波包絡函數，w=w(z，t)表示聲波區域介質的密度波動．

首先，運用多重尺度方法對方程組的光場量和聲場量漸近展開為:

其中:u(j)，v(j)，w(j)是多尺度變量(z，t，ξ= ε(z-cst)，τ =ε2t)的函數;ε 為無窮小參量．然后，把這些未知函數代入方程式(1)～式(3)，令各階ε的系數為零，在第1階(j=1)時，可得到:

由式(7)和式(8)可以給出:

和線性色散關系

式(10)～式(12)中:F是多尺度變量ξ=ε(z-cst);τ=ε2t的函數;k和ω分別表示光波的波數和載波的中心頻率．并且式(10)、式(11)滿足式(9)．在第2階(j=2)，有:

由此可以給出:

其代表波包的群速度．而且u(j)和v(j)(j=1，2)滿足方程(15)．在第3階(j=3)，可給出:

由式(19)、式(20)得出:

式(23)中:B，C，D，F是與方程(1)～(3)中參數有關的常數．

然后，由u(j)，v(j)和式(21)可以得到

因此，式(23)可以化簡為

然后，作變換把式(26)還原成關于z，t的方程，設G=εF和作變換

由ξ和τ的定義，式(26)可化為

這就是標準的非線性薛定諤方程，是一個完全可積方程，因此，可以通過這樣的近似簡化，給出光聲耦合方程組的近似解．

2 孤子解

式(27)的單孤子解為［19］

孤子解由如下參數表征:cs代表孤子的速度;A1決定孤子的寬度和振幅;A3與孤子的寬度有關．而且，上文給出了A1和A3的具體表達式．對于單孤子解的圖像，演化比較簡單，這里不予給出．當βs=0．2，且有以下參數取值時:k=0．25，k'0=κ=1，由式(18)得到光孤子的速度cs=0．27，容易看出光波的速度與聲速很接近，可見光聲孤立子的相互作用可以產生抑制光速的效果．

同樣地，可得出光聲耦合方程組的二孤子碰撞的解［20］為:

其中:

圖1給出了光聲耦合方程組的二孤子碰撞的圖像，具體參數取值如下:

可以看出，二孤子穩定地傳播，碰撞后其形狀和速度不發生變化．

3 結論

運用多重尺度方法研究了光聲耦合方程組，將其約化為標準的非線性薛定諤方程．利用非線性薛定諤方程的解，得到了原方程組的單孤子解、二孤子解，并且借助計算機描述了孤子解的圖像．根據孤子速度的表達式，看到光聲孤立子也可以抑制光傳播的速度．人們普遍認為，由于在頻率等參數上有很大差別，光聲相互作用是非常微弱的，然而，由以上分析可以清楚地看到光波和聲波的相互作用．但是，如果想更深入地理解光聲作用的內在機制，必須更好地理解電致伸縮效應所起的作用．

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