關于r次可加補數的一些復合函數的均值性質*

金 晶， 朱偉義

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

定義［10］設r≥2為任意給定的正整數．一完全r次冪的最小非負整數，則稱可加補數，即

1 預備知識

首先給出一些主要結果證明中需要用到的引理．

引理1［1］設k為給定的正整數，則對任意的實數x＞1，有漸近公式

引理5 設h(n)為非負的算術函數，且h(0)=0，給定正整數r≥2，則對任意實數x≥1，有漸近公式

其中:

引理5證畢．

2 主要結果

定理1 設k為給定的正整數，則給定正整數r≥2，對任意實數x≥2，有漸近公式

證明 對任意的實數x≥2，設M為一個固定的正整數，且滿足

因為

因此，

所以，結合式(5)和式(6)可得

由式(4)和式(7)可得

定理2 設k為給定的正整數，則給定正整數r≥2，對任意實數x≥2，有漸近公式

證明 類似于定理1的證明，根據ar(n)和V(n)的定義及引理5，并利用估計式V(n)?nε(ε為任一固定的正數)，得

由式(8)和式(10)可得

定理3 給定正整數r≥2，對任意實數x≥1，有漸近公式

結合式(6)和式(12)可得

由式(11)和式(13)易知

定理3證畢．

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