施加電場的單量子阱中束縛態的能級*

文 軍

(渭南師范學院物理與電子工程系，陜西渭南 714000)

0 引言

在半導體物理研究的基礎上，1969年Esaki和Tsu［1］提出了超晶格量子阱(superlattice quantumwell)的概念．他們設想用2種晶格常數相近的半導體材料A和B交替地生長周期性結構的多層薄膜，且薄膜層厚度的周期小于電子的平均自由程，這種由人工設計的交替生長的多層薄膜稱為超晶格．超晶格中，電子沿多層膜生長方向在大尺度范圍出現了新的量子化運動現象稱為超晶格量子阱．超晶格量子阱現象的發現和概念的提出以及材料生長技術工藝的創新，開辟了人工設計與制作晶體結構的新途徑，改變了半導體器件的設計思想．由此設計制作的一代新型半導體器件，其線度接近了電子或其他粒子量子化運動的微觀尺度，具有用常規器件所不具備的優異特性，顯示出許多全新的物理圖像，使半導體光電材料的設計和制造從“雜質工程”發展到“能帶工程”．

超晶格能帶形成的根本原因是周期性量子阱相互作用的結果．不同的半導體材料具有不同的能帶結構，當它們組成超晶格時，在2種晶體材料的交界處就出現了能帶失調現象．2種不同能帶結構材料的禁帶、導帶、價帶的交錯，當電子處于材料A的價帶或導帶中時，在材料的生長方向上，材料B的能隙(禁帶)就形成了一個勢壘．2個相鄰勢壘之間是材料A的勢阱，2個相鄰勢阱之間是材料B的勢壘，具體見圖1．這種“勢壘-勢阱”結構是超晶格能帶結構的本質特性，由于超晶格能帶結構的復雜性，人們采用理想化模型，如拋物型勢阱、三角勢阱、雙三角勢阱、正切平方勢阱等，分別討論和模擬計算了超晶格量子阱的能級結構、透射率、折射率等問題，得到能夠近似說明超晶格量子阱的光電特性的結果［2-9］．文獻［8］討論了電場作用下半拋物量子阱中束縛態的能級結構，發現隨著電場強度的增大，束縛態的能量幾乎線性地下降，相鄰能級間隔則減小．文獻［9］指出量子阱中的能級在電場作用下發生了移動．本文采用理想方勢阱模型，在有效質量近似下，研究了施加電場作用的超晶格中單量子阱束縛態的能級結構和電子態密度，得到了單量子阱體系的本征能量與本征函數的表達式，表明處于電場中的超晶格量子阱能級向低能方向移動，施加電場不影響超晶格量子阱子能帶的電子態密度．

1 未加電場超晶格量子阱能級

圖1 超晶格的結構

超晶格量子阱中的載流子在二維空間中自由運動，在量子阱生長方向上的運動受到限制．采用有效質量近似，將晶格周期勢對電子的作用歸并到電子質量中去［10］，導帶底附近的電子(或價帶頂的空穴)滿足單粒子阱薛定諤方程

式(1)中:m*是電子(空穴)的有效質量;U(z)是超晶格生長方向(z方向)的有效勢．電子(空穴)在x-y平面內自由運動，在z方向受到有效勢U(z)的束縛．電子(空穴)在x-y平面內的運動模擬為理想界面，則電子(空穴)波函數Ψ(r)為

Ψ(r)代入式(1)，得到電子(空穴)在x-y平面和z方向運動滿足的薛定諤方程:

電子的運動在x-y平面內為平面波，電子的總能量連續，在波矢空間的等能量曲線是一個圓．

由于摻雜不同(摻雜超晶格)或組分不同(組分超晶格)，超晶格能帶邊畸變，形成拋物形或直角形量子阱．只要超晶格量子阱的勢壘層足夠厚，量子阱之間的相互作用可以忽略，就可以把超晶格視為單量子阱的周期重復，超晶格的整體行為可視為單個量子阱的線性疊加，而多量子阱的問題就退化為單量子阱的問題．組成超晶格量子阱的2種材料的禁帶寬度不同，材料B的禁帶大于材料A的禁帶，在兩材料交界處能帶突變，稱為帶階(band offset)，材料A兩側導帶帶階的勢壘高度就是量子阱的阱深．例如典型的AlxGa1－xAs(材料 B)-GaAs(材料 A)-AlxGa1－xAs(材料 B)量子阱的導帶帶階為300 mV左右［11］．對于單量子阱，由于勢阱兩邊的勢壘遠高于阱中電子的能量E，電子將完全被束約在阱中，量子阱理想化為無限深勢阱［12］．組分超晶格的有效勢U(z)取拋物形勢阱模型，摻雜超晶格有效勢U(z)取無限深勢阱模型．這里以摻雜超晶格模型為例討論，有效勢U(z)取無限深勢阱．

解式(4)得到電子(空穴)在單量子阱中的波函數和能級

式(7)～式(8)中，Lz為勢阱寬度，超晶格量子阱生長方向能級不連續．

2 電場作用下超晶格量子阱的能級

沿量子阱生長方向施加電場F，量子阱的勢能表示為

電子(空穴)在x-y平面內仍為自由運動，沿超晶格生長方向的薛定諤方程為

在文獻［8］的討論中，施加的電場為107V/cm量級;文獻［9］研究了電場作用下耦合量子阱和超晶格中的電子態，電場強度大于105V/cm時為強電場作用;文獻［12］認為量子阱中激子在強于105V/cm的外電場作用下不會被電離，量子阱依然具有強的限制作用．以此為判據，當外加電場強度小于105V/cm時，外電場視為弱電場，否則為強電場．

2．1 弱電場作用

弱電場中，eFz視為微擾，無微擾時的波函數和能級由式(7)、式(8)表示．弱電場微擾作用下，能量和波函數一級修正為:

式(12)中，

將式(7)代入式(11)，求能量一級修正

式(7)代入式(12)，求得波函數一級修正

由此得

超晶格量子阱的所有能級都具有相同的一級修正量值，在弱電場F作用下，能級線性地向低勢能方向移動．

2．2 強電場作用

超晶格量子阱生長方向施加較強的電場F，電勢eFz已不能視為微擾，沿超晶格生長方向的薛定諤方程仍為式(10)，在動量表象中，式(10)的第1式表示為

式(18)中，φ(p)是動量表象中的波函數．式(18)的解為

式(19)中，A是歸一化常數．通過表象變換，將式(19)變到坐標表象，有

式(20)中，右邊是以γ為變量的Airy函數，C是歸一化常數，其中:

圖2是Airy函數的圖像，由圖2可以看出，當γ＜0時，A(－γ)呈衰減振蕩．當 γ0= － 2．338，γ1= － 4．087，γ2= － 5．520，γ3=－6．787，γ4= － 7．944，…等值時，Airy 函數的值為零［13］．波函數的邊界條件是Φ(γ)|z=0=0，即

由式(22)得到電子的本征能量為

式(26)中，γn是Airy函數的零點．由于施加較強的電場，相鄰量子阱間的相互作用可看成微擾，隨外加電場增大，量子阱能級非線性地向低能方向移動．

3 超晶格中電子態密度

圖2 Airy函數

超晶格中電子在x-y平面內自由運動，在k空間的等能量曲線是一個圓，計及電子的自旋，在x-y平面內單位面積上允許存在的態密度是常數，即

電子的總能量為

式(28)中，Ezn是由式(16)或式(26)決定的量子阱生長方向的量子化能量．量子化能量構成了一系列子能帶(微帶)，各個子能帶中電子的態密度相同．第n個子能帶的電子數為

式(29)中，f(E)是電子的費米分布．將式(27)代入式(29)，得

式(30)中:EF是費米能:k是玻爾茲曼常數．對于所有子能帶，超晶格量子阱中電子數為

電荷分布為

式(33)中，Φn(z)是和量子化能級對應的波函數．

4 結論

實際的超晶格量子阱是周期性有限深勢阱．為了使討論問題簡單，采用了單量子阱近似和有效質量近似，把直角形量子阱視為無限深勢阱，求得施加電場作用的超晶格量子阱的本征能量與本征函數．在弱電場作用下，超晶格量子阱的所有能級都具有相同的一級修正量值，電子能級向勢能低的方向移動．在強電場作用下，相鄰量子阱間的相互作用能可看成微擾，超晶格量子阱的量子化能級非線性地向低能方向移動．文獻［8-9］表明超晶格量子阱的能級在外電場作用下能級向低能方向移動，這和本文討論的結果基本一致，表明施加電場作用對超晶格量子阱能級的影響，使超晶格能級發生移動，進而影響超晶格量子化能級子能帶(微帶)大小，而不影響超晶格子能帶的電子態密度，電場在量子化能級基礎上產生了附加能量．

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