一類超線性離散薛定諤系統的基態解*

周陽鋒， 沈自飛

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

本文研究離散薛定諤系統

基態解的存在性，即使得系統(1)相應的能量泛函取得最小值的解．式(1)中:-Δun=un+1+un-1-2un是一維空間的離散拉普拉斯算子;給定的序列{εn}關于n是k-周期的．研究系統(1)的動機來自于下面的向量值非線性薛定諤方程:

從而對向量值非線性薛定諤方程的研究轉換成對方程

的研究，這是一個哈密爾頓型的離散薛定諤系統．考慮

的情形，其中

對離散薛定諤系統的研究引起了不少數學家的興趣，因為它為很多物理問題提供了一個很好的數學模型［1-2］．文獻［3］得到了系統(1)在Ambrosetti-Rabinowitz條件下有無窮多解的結論．

本文主要考慮不含Ambrosetti-Rabinowitz條件時離散系統(1)基態解的存在性問題．假設εn，f，g滿足如下條件:

(V0)εn關于n是k-周期的，且0在-Δ+εn的譜間隙中;

(H1)f(n，s)，g(n，s)關于 s∈R 連續，關于 n 是 k-周期的;

(H2)存在 C ＞0，p，q∈(2，+∞)，使得|f(n，s)|≤C(1+|s|p-1)，|g(n，s)|≤C(1+|s|q-1);

(H3)當|s|趨于 0 時，關于 n 一致有 f(n，s)=o(|s|)，g(n，s)=o(|s|);

本文的主要結果是:

定理1 在(V0)和(H1)～(H5)條件下，系統(1)至少有1個基態解．

1 變分框架

在希爾伯特空間E=l2×l2上考慮泛函

式(3)中:(·，·)是普通的 l2內積;A=-Δ + εn;z={zn}={un，vn}∈l2×l2．

為了方便，記l2:=l2×l2，相應地記ls:=ls×ls，s∈(2，+∞)．E 中范數記作‖·‖，顯然 Φ(z)是一個在E中定義良好的C1-泛函，系統(1)可以看成泛函Φ相應的Euler-Lagrange方程．

引理 1［3］若{εn}關于 n 是 k-周期的，即 εn+k= εn，則

1)A是有界自伴算子;

2)σ(A)=σe(A)?R(-a，a);

3)σ(A)關于0對稱，即σ(A)∩(-∞，0)=-σ(A)∩(0，+∞)．

由引理1可知E有如下的正交分解:

其中，E+(E-)是A在E中正(負)譜空間．從而(Az，z)=‖z+‖2-‖z-‖2，泛函(3)可寫成

式(4)中

設希爾伯特空間E有正交分解E=N+⊕N-，其中N?E是E的一個閉的可分子空間．設z=v+w∈E=N⊕N⊥，滿足 v∈N，w∈N⊥．定義|z|2w=|v|2w+‖w‖2．特別地，若 zn=vn+wn有界，zn在|·|w中弱收斂到z，則vn在N中弱收斂到v，wn在E中強收斂到w．記Br(E)={z∈E|‖z‖≤r}，Sr(E)={z∈E|‖z‖ =r};令 E=E+⊕E-，z0∈E+滿足‖z0‖ =1，N=Br(E+)⊕E-;設 M:={z=sz0+z-| ‖z‖≤r，s＞0}滿足 s0z0∈M，s0＞0;令 Q:={z=sz0+z+|z+∈N⊥，‖z0‖ =s0，s ＞0};Γ:={h|h:［0，1］×M→E}是|·|w-連續的，h(0，z)=z，Φ(h(s，z))≤Φ(z)，?z∈M．任意(s0，z0)∈［0，1］×M，存在|·|w-鄰域U(s0，z0)，使得{z-h(t，z)|(t，z)∈U(s0，z0)∩(［0，1］× M)?Efin}．其中，Efin是指 E 的有限維子空間．文獻［4］給出的定理在本文的證明中起著重要作用．

引理2［4］記 Φλ(z):=I(z)-λJ(z)∈C1，z∈E，?λ∈［1，2］，假設:

1)J(z)≥0;

2)若‖z‖→∞，則I(z)→∞或J(z)→∞;

3)Φλ是|·|w-上半連續的，Φ'λ在E上是弱序列連續的，且Φλ將有界集映為有界集;

則對幾乎所有 λ∈［1，2］，存在{zn}，使得

其中

2 定理1的證明

考慮

理2 中的條件1)和2)成立．若關于|·|w范數 zm→z，Φλ(zm)≥a，則 z+m→z+，z-m?z-，從而 zm，n→zn對幾乎所有n∈Z成立．由Fatou引理得Φλ(z)≥a，這意味著Φλ是|·|w-上半連續的．由文獻［4］得Φ'λ在E上弱序列連續且Φλ將有界集映為有界集．為了應用引理2，只需驗證引理2中的條件4)成立即可．

引理3 在條件(V0)和(H1)～(H5)下，有如下結論成立:

1)存在 ρ＞0，使得 κ:=inf Φλ(S■(E+))＞0;

2)對任意給定的 z0∈B1(E+)，存在 R ＞ ρ＞ 0，使得 sup Φλ(?M)≤0．

證明 1)不失一般性，不妨假設p＜q．由(H2)知，對任意ε＞0，存在Cε＞0，使得

從而對任意z∈E+，有

這就導出了矛盾，從而1)成立．

由F(n，s)＞0，G(n，s)＞0和 Fatou引理得

這與式(6)矛盾．從而假設不成立．引理3證畢．

應用引理2，可得到如下引理:

引理4 在條件(V0)和(H1)～(H5)下，對幾乎所有λ∈［1，2］，存在序列{zm}?E，使得

引理5 設條件(V0)和(H1)～(H5)成立，{zm}是(PS)-序列，則下列2個結論中必有1個成立:

1)‖zm‖→0;

2)存在 δ＞0，am∈Z，使得|zm，am|≥δ對 m∈Z 都成立．

證明 由引理4知{zm}在E上有界．假設2)不成立，則對任意 η ＞0，n∈Z，|zm，n|＜η．由H?lder不等式得

由ε的任意性得

從而

因此1)成立．引理5證畢．

引理6 在條件(V0)和(H1)～(H5)下，對幾乎所有 λ∈［1，2］，存在 zλ，使得

證明 因為{zm}有界，所以{z+m}有界．由引理5知如下兩者必有1個成立:

2)存在δ＞0和am∈Z，使得|z+m，am|≥δ對任意m ∈Z成立．

如果‖z+m‖→0，那么對任意 s∈(2，+∞)，在 ls中有 z+m→0．因為對任意 ε ＞0，存在 Cε＞0，使得|f(n，s)|≤ε|s|+Cε|s|p-1，|g(n，s)|≤ε|s|+Cε|s|p-1，所以由 H?lder不等式得

從而

這意味著zλ是個弱解．由(H5)得

應用Fatou引理，得到

引理6證畢．

引理7 設 u，v，s∈R，s≥ -1 且 w:=su+v≠0，則對 n∈Z，有

證明 類似于文獻［5］，故略．

引理8 設zλ是由引理6得到的臨界點，則對任意w∈Σ:={szλ+ζ|s≥ -1，ζ=(u，v)∈E-}，w≠0，有 Φλ(zλ+w)＜ Φλ(zλ)．

證明 把Φλ寫成如下形式:

因為(Φ'

λ(zλ)，ζ)=0，所以

引理8證畢．

引理9 在條件(V0)和(H1)～(H5)下，存在λm→1和序列{zλm}，使得

當r足夠大時，可由此式導出矛盾，從而{am}可以選取為有界序列．由Fatou引理得到

從而當m→+∞時，

這就導出了矛盾，從而可得引理9成立．

引理10 在條件(V0)和(H1)～(H5)下，對 λm→1和序列{zλm}，有

證明 對于 ζ滿足‖ζ‖≤1，因為{zλm}有界，所以

從而可得引理10成立．

定理1的證明 因為{zλm}有界，所以下面兩者必有1個成立:

1)‖zλm‖→0;

類似可得

所以Φ(z)=C＞0，即z是系統(1)的基態解．定理1證畢．

［1］Ablowitz M，Prinari B，Trubatch A．Discrete and continuous nonlinear Schr?dinger system［M］．Cambridge:Cambridge University Press，2004:1-5．

［2］Bruno G，Pankov A，Tverdokhleb Y．On almost-periodic operators in the spaces of sequences［J］．Acta Appl Math，2001，65(3):153-167．

［3］Yang Minbo，Zhao Fukun，Ding Yanheng．Infinitely many stationary solutions of discrete vector nonlinear Schr?dinger equation with symmetry［J］．Nonl Anal，2010，215(12):4230-4238．

［4］Schechter M，Zou W．Weak linking theorems and Schr?dinger equations with critical Sobolev exponent［J］．ESAIM Control Optim Calc Var，2003，37(9):601-619．

［5］Szulkin A，Weth T．Ground state solutions for some indefinite problems［J］．J Funct Anal，2009，257(12):3802-3822．