7維穩定耗散LV系統性質初探*

張建鋼

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

Lotka-Volterra系統(LV系統)是指下面的常微分方程組:

式(1)中:xi表示第i個物種的種群密度;aij表示種間作用系數;λi是與環境相關的參數．這類系統廣泛存在于物理、力學、化學、工程及社會經濟等領域．

由于方程的動力學性質與作用矩陣A=(aij)n×n的代數性質密切相關，因此，根據矩陣A的特點，通常將LV系統分為3類:互利合作型(或相互競爭型)、保守型及耗散型．

前兩類系統已被大量研究，耗散型系統尤其是穩定耗散系統的研究則相對較少．文獻［1］對3維穩定耗散系統的充要條件作了分析;文獻［2］對3維實耗散矩陣的充要條件作了詳盡的探討．一般性判斷一個矩陣是否為穩定耗散有相當的難度，通過分類限定條件分析穩定耗散矩陣A的條件不失為一種有效的方法．例如，文獻［3］用圖表示LV系統，不同的作用矩陣可以唯一地對應一個圖，對作用矩陣A所表示的圖G(A)進行分類是合理的．鑒于此，文獻［4］進一步討論了穩定耗散矩陣的判定問題，并提出了最大穩定耗散圖的概念，對5維系統進行了拓撲分類及動力學研究．文獻［5］對4維穩定耗散系統的代數條件進行了充分研究;文獻［6］對6維最大穩定耗散系統作了拓撲分類及動力學研究．本文對7維穩定耗散系統進行拓撲分類，結合耗散圖的特點，按大類分析了系統最大穩定耗散的代數條件，并選擇2類系統進行動力學性質剖析．

1 預備知識

為便于討論，先介紹一些基本概念．

定義1［3］若存在正定對角陣D＞0，使得AD+DAT是半負定的，則稱矩陣A是耗散的．

注1 定義1中的AD+DAT可由DA+ATD替代．2種定義是等價的［7］．

定義2［3］若矩陣A與?A中的元素滿足?ajk=0?ajk=0，則稱?A為A的一個擾動．

若作用矩陣是耗散的(穩定耗散的)，則稱對應的LV系統(1)是耗散的(穩定耗散的)．

文獻［3］按這樣的規則引進作用矩陣A的圖形表示G(A):G(A)共有n個頂點，若aij≠0或aji≠0(i≠j)，則頂點i和j之間有邊相連;若aii=0，則頂點i用?表示;若aii≠0，則頂點i用·表示．

定義4［4］設G(A)為作用矩陣A的表示圖，若A是穩定耗散的，但A^不是穩定耗散的(A^是指G(A)添加任意一條或幾條邊得到的圖所對應的任意一個矩陣)，則稱G(A)為最大穩定耗散圖．

對于耗散的矩陣，不難驗證aii≤0，(i=1，2，…，n)．關于穩定耗散矩陣，有下面結論:

命題2［7］若A為穩定耗散矩陣，i與j為G(A)相鄰的2個點，則aiiajj＞aijaji．

命題3［7］若A為穩定耗散矩陣，則G(A)中的每個圈至少有一個滿足aii＜0，ajj＜0的強連接［i，j］．

命題 4［4］若 ajj＜0(j=1，2，…，n)，則 A∈SD當且僅當存在 D=diag(d1，d2，…，dn)＞0，使得 DA ＜0．

命題5［4］若所有的aii=0，或某個akk＜0，且對所有i≠k有aii=0，則A∈SD當且僅當:1)G(A)是無圈的;2)aij≠0?aijaji＜0．

命題6［4］若不止一個 aii＜0，不失一般性，假設 aii＜0(i≤k)及 ajj=0(j＞ k)，M=(aij)(1≤i，j≤示G(A)中刪除同時滿足i≤k和j≤k的連接［i，j］后所得的圖，則A∈SD當且僅是無圈的;2)?diag(d1，d2，…，dn)＞0，使得D0M ＜0，diaij+djaji=0對一切i＞k或j＞k成立．其中，D0=diag(d1，d2，…，dk)．

2 主要結果

2．1 7維最大穩定耗散圖的分類

根據穩定耗散矩陣的上述性質及最大穩定耗散圖的定義，經過篩選可得定理1(鑒于篇幅所限，不再給出相應的圖)．

定理1 對所有7×7穩定耗散矩陣，正好對應229種不同拓撲結構的最大穩定耗散圖．

2．2 穩定耗散矩陣的代數條件

結合定理1的分類結果，下面分4大類討論矩陣成為穩定耗散的充要條件．

第1大類，不含黑點或只含1個黑點的圖(共59種)．運用命題4，易得定理2．

定理2 在所有7維最大穩定耗散圖中，對不含黑點或只含1個黑點的圖G(A)，對應的作用矩陣是穩定耗散的充要條件是:?i≠j，aij≠0?aijaji＜0．

第2大類，只含2個黑點的圖(共79種)．此處僅以圖1為例給出結論，針對其他情形，除下標及形式稍加變化外，結論都與此相類似．

圖1 7維最大穩定耗散圖中僅含2個黑點的例圖

定理3 對圖1所示的只含2個黑點的圖G(A)對應的作用矩陣A是穩定耗散的充要條件是:

3)當 a12a21=0時，有

當式(2)或式(3)滿足時，都有

又由于d1a11＜0，于是xDAxT≤0恒成立，也即有x(DA+ATD)xT=2xDAxT≤0恒成立．因此，A為耗散矩陣．對A任意充分小的擾動?A同樣滿足定理3中的3個條件，于是?A也為耗散矩陣，因此A∈SD．

必要性 由圖1可知，a11≠0，a22≠0，a33=a44=… =a77=0;同時，根據 A是耗散的知，a11≤0，a22≤0，因此 a11＜0，a22＜0．由于 A∈SD，故由命題 2 可得 a13a31＜0，…，a54a45＜0．因此，1)成立．由于 A是耗散的，故可找到 D=diag(d1，d2，…，d7)＞0，使得對?x∈R7，有 xDAxT≤0，即

于是，令 x=(0，0，0，x4，1，0，0)，得(d4a45+d5a54)x4≤0 對一切 x4都成立．此時，d4a45+d5a54=0．再分別令 x=(0，0，0，0，x5，1，0)，x=(0，0，0，0，0，x6，1)，x=(1，0，0，0，0，0，x7)，x=(1，0，x3，0，0，0，0)，x=(0，1，x3，0，0，0，0)，得 d5a56+d6a65=0，d6a67+d7a76=0，d1a17+d7a71=0，d2a23+d3a32=0，d1a13+d3a31=0．因此，

第3大類，只含3個黑點的圖(共58種)．此處僅以圖2為例給出結論，針對其他情形，除下標及形式稍加變化外，結論都與此相類似．

圖2 7維最大穩定耗散圖中僅含3個黑點的例圖

定理4 對圖2所示的只含3個黑點的圖G(A)，對應的作用矩陣A是穩定耗散的充要條件是:

必要性 由圖2及命題2，易證1)成立．根據命題6，?D=diag(d1，d2…，d7)＞0，使得 D0M ＜0，diaij+djaji=0 對一切 i＞3 或 j＞3 成立．其中 D0=diag(d1，d2，d3)．于是

注2 只含4，5，6個黑點的情形共有32種拓撲結構，這些系統都有與定理4類似的結論．

第4大類，全為黑點的圖(共1種)．

定理5 在所有7維穩定耗散圖中，對全為黑點的圖G(A)，對應的作用矩陣A是穩定耗散的充要條件是:

1)aii＜0，i=1，2，…，7;

2)?D=diag(d1，d2，…，d7)＞0，使得 D*A*＜0，D*B*＜0，其中 D*，A*，B*分別為將 D，A，B 刪除最后一行與最后一列后所得到的矩陣，B=A-1．

證明 結合命題4及文獻［7］中的定理2，容易證得本結論．

2．3 穩定耗散矩陣的動力學性質

下面討論7維穩定耗散系統的動力學性質．由于種類太多，本文僅討論全白點圖的情況，如圖3所示，將它們所對應的LV系統分別標記為S(1)，S(2)，…，S(11)．

圖3 7維最大穩定耗散圖(全白點情形)

為此，假定系統有正平衡點q=(q1，q2，…，q7)，于是系統(1)可表述為

由于圖3中的各個圖的頂點均為白點，故aii=0(i=1，2，…，7)．又由于圖3具備樹型結構，故運用定理1及文獻［8］的命題2．1可知它們對應的系統也是保守系統．因此，存在D=diag(d1，d2，…，d7)＞AD為反對稱矩陣．本文假設系統已經作了上述尺度變換．

針對以上系統，選擇S(11)，S(9)進行研究．

定理6 系統S(11)存在1個過點q的2維不變子流形，它被系統的周期軌充滿;系統S(9)存在2個過點q的2維不變子流形，每個子流形被系統的周期軌充滿．

證明 設作用矩陣A為反對稱矩陣．系統S(11)的方程為

平衡點q處的線性化矩陣為

經計算得特征值為:

因為a21i＞0，qi＞0，所以λ6，λ7為一對共軛純虛根．由Lyapunov次中心穩定性定理可知，系統 S(11)存在過q的2維不變子流形，它被系統的周期軌充滿．

系統S(9)的方程為

平衡點q處的線性化矩陣為

經計算得特征值為:

其中:

因此λ4，λ5為一對共軛純虛根，λ6，λ7為一對共軛純虛根．由Lyapunov次中心穩定性定理可知，系統S(9)存在2個過q的2維不變子流形，每個子流形被系統的周期軌充滿．

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