基于機會約束規劃的雷達網部署模型

劉方正，祁建清

(解放軍電子工程學院，安徽 合肥230037)

1 引言

現有雷達網布站選址工作主要是以經驗為基礎進行的［5］。文獻［6］對于不同的雷達組網方案計算區域內未發現目標概率的上界，在從上界集合中選擇最小值作為最優方案。文獻［7］通過分析雷達組網過程及相關性能指標，給出了雷達組網問題的數學規劃方法。

目前大多數雷達網部署工作都是基于經驗或確定性模型的，然而客觀環境中存在諸多的不確定因素。本文考慮了雷達組網過程中的不確定條件，如雷達的生存概率、發現概率、部署費用等，分別給出了雷達數量估計和部署的隨機機會約束規劃，并應用智能混合算法求解隨機機會約束規劃，為工程實踐中的雷達部署提供了理論依據。

2 雷達網選址數學規劃模型

2.1 隨機機會約束規劃

當數學規劃問題中含有隨機變量時，目標函數和約束條件已不能按通常意義理解，必須為之提出一套新的規劃理論并尋求相應的算法。機會約束規劃有Charnes和Cooper［8］提出的第二類隨機規劃，其顯著特點是隨機約束條件至少以一定的置信水平成立。

機會約束規劃提出之后，許多研究者對其進行了研究，其中文獻［9，10］給出了極大化目標函數值的樂觀值的機會約束規劃，其形式如下:

式(1)中，x是決策向量，ξ是隨機向量，f(x，ξ)是目標函數，gj(x，ξ)(j=1，2，…，p)是隨機約束函數，α和β是預先給定的置信水平。

2.2 確定雷達數量的隨機機會約束規劃模型

在雷達組網部署中，對于給定的區域，根據區域面積及不同類型雷達的參數，首先需要估計所需雷達的數量。假設某作戰區域D(面積為S)中，需要部署m種類型的雷達，其中第i種雷達的作用半徑為ri，所需數量為xi。

由于雷達可能遭受發輻射武器的攻擊、電力影響、裝備故障等一系列因素的影響，故需考慮其生存概率，并假設第i種雷達的生存概率為隨機變量Pξi。根據上述假設，可以得到下列比例數:

2.2 各血清學標記物濃度及MoM值比較 比較兩組各孕周指標發現，兩組AFP和uE3濃度隨著孕周的增加而呈上升趨勢，free-βHCG濃度則隨孕周的增加而下降，見表1。但為了消除孕齡對孕母血清標記物水平的影響，故將血清標記物濃度轉化為中位數倍數進行比較，兩組free-βHCG MoM值差異有統計學意義（P＜0.05），見表2。

式(2)中，γi為第i種雷達覆蓋作戰區域的比例。

不考慮在區域D邊界上的面積損失，則雷達覆蓋作戰區域D的比例為:

2.3 雷達部署的隨機機會約束規劃模型

對于給定的區域，要根據其地理位置以及需要監測的目標的航跡等特點來選擇雷達站地址［6］。區域地理特點及雷達組網用途的不同，就有不同的選址方式，本文重點不在于此，不作過多探討。本文著重研究的是從備選雷達站位置中確定出最優的雷達組網結構。

設在區域D中備選的雷達站位置為n個，第j(j=1，2，…，n)個位置的坐標為(xj，yj)，有m種類型的雷達，其中第i種雷達的作用半徑為ri，生存概率為Pξi，對特定目標的發現概率為隨機變量Pηi。由于各種雷達的部署費用受材料、運輸、保障等一系列因素的影響，故設第i種雷達部署在位置(xj，yj)的費用為隨機變量Cτij。

則區域D中(x，y)處的發現概率為:

3 混合智能算法

傳統求解機會約束規劃的方法是將機會約束分別轉化成確定的等價形式，然后對等價的確定模型進行求解。但是，這類方法只適用于一些特殊的情形。文獻［10］，將隨機模擬、神經元網絡和遺傳算法結合在一起，設計出了混合智能算法求解一般的機會約束規劃模型。模型的主要步驟如下:

(1)用隨機模擬技術分別為規劃P1、P2的不確定函數產生輸入輸出數據;

(2)根據產生的輸入輸出數據分別訓練對應的神經元網絡net1、net2來逼近不確定函數U1、U2;

(3)建立對應的遺傳算法模型，分別初始化大小為pop_size1、pop_size2的種群，并利用訓練好的神經元網絡net1、net2檢驗染色體的可行性;

(4)通過交叉和變異操作更新染色體，并利用訓練好的神經元網絡檢驗子代染色體的可行性;

(5)利用訓練好的神經元網絡net1、net2分別計算對應染色體的目標值;

(6)根據目標值計算每個染色體的適應度;

(7)通過旋轉賭輪選擇染色體;

(8)重復步驟4到步驟7直到完成給定的循環次數;

(9)給出最好的染色體作為最優解。

4 算 例

給定作戰區域D(面積S=16)為一正方形，假設按照雷達站選址原則已經選定了9個點(1，1)、(1，2)、(2，1)、(1，3)、(3，1)、(2，2)、(2，3)、(3，2)、(3，3)。需要兩種類型的雷達，雷達1的作用半徑為2，生存概率Pξ1～U［0.5，1］，對特定目標的發現概率Pη1～U［0.8，1］，部署在第j點即坐標(xj，yj)的費用Cτ1j～exp(3+xj+yj);雷達2的作用半徑為1.5，生存概率Pξ2～U［0.6，1］，對特定目標的發現概率Pη2～U［0.7，1］，部署在第j點即坐標(xj，yj)的費用Cτ2j～exp(2+xj+yj)。規劃P1的機會約束的置信度α為0.9，覆蓋比例不小于0.9，規劃P2的機會約束的置信度α為0.9，β為0.8，對區域內任一點的特定目標的發現概率不小于0.8。

(1)求解規劃P1，估算所需雷達數目。根據參數設置，可得:

利用隨機模擬技術(10000次循環模擬)，為規劃P1產生500組輸入輸出數據，再執行混合智能算法(種群大小為30，交叉率為0.4，變異率為0.1，迭代次數為100)，得到最優解:()=(3，1)。

(2)求解規劃P2，選擇出最優布站點。根據規劃P1的求解，可得規劃P2如下:

利用隨機模擬技術(10000次循環模擬)，為規劃P2產生3000組輸入輸出數據，再執行混合智能算法(種群大小為30，交叉率為0.5，變異率為0.2，迭代次數為500)，得到兩型雷達的最優部署位置a14，a16，a18，a26，部署費用目標值為46.0287。

5 總結

目前在考慮雷達網的選址、布站時，大多采用人工作業的主觀方法或采用常規的環形部署、線性部署等方法。人工作業的主觀方法主要依靠經驗，而經驗需要大量的實踐積累且往往不可靠;常規的環形部署、線性部署等方法在考慮部署問題時往往沒有考慮地理、經濟等因素的影響，選出來的站點往往并不能布站。本文采用了基于機會約束規劃的雷達網部署模型，考慮了實際布站中的多方面不確定因素，引入了多個隨機變量建立隨機規劃，并應用混合智能算法得到隨機機會約束條件下的最優雷達網結構。

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9 LIU B.Uncertain Programming［M］.New York:Wiley，1999.

10 劉寶碇，趙瑞清，王綱.不確定規劃及應用［M］.北京:清華大學出版社，2006.