基于隨機期望值模型的時差定位最優(yōu)布站算法

王旭贏，劉雅奇，鄭燦

（解放軍電子工程學院，安徽 合肥230037）

1 引 言

時差定位系統(tǒng)的定位精度與目標位置以及站點的幾何布局有關(guān)[1]。適當選擇定位站點的位置，可以極大地提高系統(tǒng)對目標的定位精度。因此，有必要對各種定位系統(tǒng)最優(yōu)布站方法、策略進行研究。但目前已有的對時差定位布站的研究，多是根據(jù)理論推導，得到針對個別特殊點的最佳布站策略[2，3]，或是對某些布站方式的優(yōu)劣進行分析比較[4，5]，或者算法復雜，個別情況下難以收斂[6]。雖然得出了一些有關(guān)最優(yōu)布站準則的結(jié)論，但卻不足以解決在各種定位和布站區(qū)域內(nèi)，時差定位站點的最優(yōu)布局問題。

綜上所述，本文針對目前時差定位布站研究中存在的問題，利用隨機期望值模型，對時差定位系統(tǒng)站點的最優(yōu)布局進行研究。其目標是在特定的布站區(qū)域內(nèi)，各站點針對定位目標可能出現(xiàn)的區(qū)域形成最優(yōu)布站，所遵循的原則是定位系統(tǒng)在對定位區(qū)域內(nèi)任意位置目標的定位誤差期望值最小。由此解決了在任意的定位和布站區(qū)域內(nèi)，定位系統(tǒng)的最佳布站問題。

2 時差定位誤差的計算模型

設(shè)布站區(qū)域內(nèi)，時差定位系統(tǒng)布設(shè)了i（i=1，2，…，n）個定位站點，其中站點1為時差定位的中心站點，如圖1所示。

圖中α1，α2，…，αn分別為第i個定位站點到目標點的方向角。在高斯噪聲環(huán)境下，對處于定位區(qū)域內(nèi)任意一點的目標，時差定位系統(tǒng)定位誤差的幾何平均值ˉσ可表示為[7]：

σ為定位系統(tǒng)對到達時間測量誤差對應(yīng)的距離誤差的標準差。β1i為主站和站點i到目標點方向的夾角，θ1i為主站和站點i分別到目標點的方向角的平均值。

3 基于隨機期望值模型的最優(yōu)布站算法

3.1 問題提出

設(shè)時差定位系統(tǒng)的待定位區(qū)域為Ωs，可布站區(qū)域為Ωr。各定位站點布置在（xi，yi），（xi，yi∈Ωr，i=1，2，…，n）處。則通過式（1）、式（2），可以求得定位系統(tǒng)在Ωs內(nèi)任一點處的定位誤差。

然而在實際的定位問題中，目標出現(xiàn)在定位區(qū)域內(nèi)的位置是不確定的。因此，評價一個布站策略的優(yōu)劣，不能只考慮定位區(qū)域內(nèi)某一點處的定位誤差。一種可行的方法是，計算待評估的布站策略下，整個定位區(qū)域Ωs內(nèi)的誤差積分[6]。但該方法計算過程過于復雜，且對于一些特殊點，可能出現(xiàn)誤差無窮大的情況[4]，從而影響算法的收斂。鑒于此，本文提出了基于隨機期望值模型的最優(yōu)布站算法。

考慮到二維的定位問題與三維的定位問題，在概念上并沒有實質(zhì)的差別。因此，為了分析的方便，本文主要對二維問題展開論述。

3.2 問題描述

由于目標出現(xiàn)位置的不確定性，因此，可以將目標坐標ζ（εx，εy），（εx，εy∈Ωs）作為一組隨機變量。則由式（1）可知，目標點處定位誤差的幾何平均值，是由ζ與（xi，yi）共同決定的不確定函數(shù)。可表示為：

通過隨機模擬，我們可以得到該不確定函數(shù)的期望值。則最優(yōu)的布站策略，就是要使得定位系統(tǒng)對定位區(qū)域內(nèi)任意目標的定位誤差期望值最小，即滿足如下的隨機期望值模型：

將上式中的平面坐標換成對應(yīng)的空間坐標形式，就可以轉(zhuǎn)化為空間目標定位的最優(yōu)布站模型。

3.3 模型求解

該隨機期望值模型可通過文獻[7]提出的混合智能算法，結(jié)合隨機模擬、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法求解。具體步驟如下：

STEP1：通過隨機模擬，為不確定函數(shù)U∶（xi，yi）→E[f（ζ，xi，yi）]產(chǎn)生輸入輸出數(shù)據(jù)。以定位區(qū)域為中心在原點，邊長為1的正方形區(qū)域為例。對應(yīng)于定位區(qū)域內(nèi)的任意一點ζ（εx，εy），εx和εy均為服從U（—1，1）分布的隨機變量。通過隨機模擬，產(chǎn)生N組目標點的坐標值，記為ζk=ζ（），（k=1，2，…，N）。則對于一個確定的布站策略（x1，y1，x2，y2，…，xn，yn），當N→∞時，

STEP2：根據(jù)產(chǎn)生的輸入輸出樣本，訓練一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（2n個輸入神經(jīng)元，1個輸出神經(jīng)元）來逼近不確定函數(shù)U∶（xi，yi）→E[f（ζ，xi，yi）]。

STEP4：對染色體進行交叉和變異運算，并根據(jù)式（4）中的約束條件檢驗后代的可行性。

STEP5：通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算每組染色體的目標值。計算結(jié)果對應(yīng)于該布站策略下，定位區(qū)域內(nèi)任意目標的定位誤差的期望值。

STEP6：根據(jù)目標值計算每組染色體的適應(yīng)度，并通過輪盤賭的方式選擇下一代染色體。

STEP7：重復步驟4至步驟7，直到完成給定的循環(huán)次數(shù)。

STEP8：找出最好的染色體作為最優(yōu)布站策略。

4 仿真實驗

為便于同已有的理論推導結(jié)果相對照，本文的仿真實驗，均考慮采用三個定位站點對目標進行定位的情況。其中站點1為主站，站點2、3為副站。

實驗1：布站區(qū)域限制在半徑為5km的圓形區(qū)域內(nèi)，定位區(qū)域Ωs為中心位于原點，邊長為1km的正方形區(qū)域，σ設(shè)為0.15km。種群規(guī)模為50，交叉概率Pc=0.3，變異概率Pm=0.2。隨機模擬3000代，產(chǎn)生2000個訓練樣本，經(jīng)過5000次遺傳迭代后，得到的最佳布站如圖2所示。

由仿真結(jié)果可以推斷，當待定位區(qū)域位于布站區(qū)域的中心，并且布站區(qū)域為圓形時，最佳的布站方式為：定位站點沿著布站區(qū)域的邊界均勻分布。這與文獻[2]、[3]、[6]所推導或仿真得出的結(jié)論基本相符，且滿足文獻[4]提出的時差定位最優(yōu)布站的大部分原則（該情況下，個別原則無法同時滿足）。因此，算法所得結(jié)果應(yīng)接近于該情況下的最優(yōu)解。

實驗2：布站區(qū)域為半徑為5km圓形區(qū)域，定位區(qū)域Ωs為中心位于點（2，2），邊長為1km的正方形區(qū)域。其余仿真參數(shù)不變，得到的最佳布站如圖3所示。

由仿真結(jié)果可以推斷，當待定位區(qū)域位于布站區(qū)域內(nèi)的一側(cè)時，最佳的布站方式為：主站（站點1）位于布站區(qū)域與定位區(qū)域中心的連線與定位區(qū)域邊界的交點處，副站（站點2、3）均勻分布于主站與目標連線的兩側(cè)，三個定位站點均勻分布于靠待定位區(qū)域一側(cè)的半個圓周上。該布站方式能夠基本滿足文獻[4]提出的時差定位最優(yōu)布站的部分原則，亦符合文獻[8]提出的“任意兩個定位站點到目標的夾角盡量的大”的最優(yōu)布站原則。因此，可以將其作為該情況下的最優(yōu)布站策略。

實驗3：布站區(qū)域仍然為半徑為5km圓形區(qū)域，定位區(qū)域Ωs為中心位于點（0，8），長為4km，寬為2km的長方形區(qū)域。其余仿真參數(shù)不變，得到的最佳布站如圖4所示。

由仿真結(jié)果可以推斷，當待定位區(qū)域位于布站區(qū)域以外的一側(cè)時，最佳的布站方式為：主站（站點1）位于布站區(qū)域與定位區(qū)域中心的連線之間，靠近布站區(qū)域的中心的一側(cè)；兩個副站（站點2、3）均勻分布于主站與目標連線兩側(cè)的半個圓周上，三個定位站點呈倒三角形配置。這與文獻[6]提出的“各定位站點布設(shè)在一條直線上”的結(jié)論不符，但考慮到文獻[6]僅是針對“任意兩個定位站點到目標的夾角盡量的大”的最優(yōu)布站原則得出的結(jié)論，且對布站區(qū)域的形狀大小沒有要求。而本文提出的布站策略，不但基本滿足了“任意兩個定位站點到目標的夾角之和盡量的大”，且能較好的滿足文獻[4]提出的最優(yōu)布站原則。此外，將幾種布站方式的定位誤差期望進行計算比較，當主站位于兩副站連線上時，誤差的期望值為0.7966；當主站位于布站區(qū)域上邊界時，誤差期望為0.8279；而本文所得布站方式的定位誤差期望為0.7705，優(yōu)于前兩種布站方法。因此認為本文提出的布站方法更接近系統(tǒng)的最優(yōu)布局。

5 模型拓展

基于隨機期望值模型的時差定位最優(yōu)布站算法，解決了在定位站點數(shù)目一定的情況下，特定的定位和布站區(qū)域內(nèi)的定位站點最優(yōu)布局問題。然而實際的布站問題中，還可能存在一個問題：如何決定區(qū)域內(nèi)定位站點的數(shù)量，使得達到預期定位精度的條件下，付出的設(shè)備代價最小。為此，可以利用隨機期望值模型，計算出不同的站點數(shù)量（X）下，定位誤差的最小期望值（Y）。當誤差滿足精度要求時，對應(yīng)的X即為最佳站點數(shù)量；也可以分別對站點數(shù)目和定位誤差賦予不同的權(quán)重（a＞0，b＞0），根據(jù)站點數(shù)目與定位誤差的對應(yīng)關(guān)系，建立線性函數(shù)f（X，Y）=aX+bY。函數(shù)取最小值時對應(yīng)的X即為最佳布站數(shù)目，X對應(yīng)的布站策略即為最優(yōu)布站策略。

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