實物復(fù)合期權(quán)模型在采礦權(quán)定價中的應(yīng)用

王華強，劉黎明

（首都經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)，北京100070）

在評估實務(wù)中，采礦權(quán)的估價方法主要是采用貼現(xiàn)現(xiàn)金流法。該方法的評估原理，是選取某一適當(dāng)?shù)恼郜F(xiàn)率對未來預(yù)期現(xiàn)金流進行折現(xiàn)。Fisher提出的這種貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法，由于簡單實用而在實務(wù)中被廣泛使用，但是它的缺點很明顯，尤其是面對不確定性高的采礦權(quán)。礦產(chǎn)品的價格具有隨機波動特點，所以無法準(zhǔn)確預(yù)測未來的現(xiàn)金流。另一方面，在長達(dá)幾年甚至十幾年的開采期內(nèi)，選擇一個準(zhǔn)確的貼現(xiàn)率是很困難的。這種靜態(tài)的評估方法，沒有考慮在礦產(chǎn)開采過程中的不確定性。

隨著期權(quán)定價理論在實物資產(chǎn)領(lǐng)域的應(yīng)用，實物期權(quán)理論逐漸形成。在國外，學(xué)者已經(jīng)將實物期權(quán)應(yīng)用到礦山整體價值評估［1］、近海石油租賃合約定價［2］、森林資源投資［3］等領(lǐng)域，但是這些研究中，沒有采礦權(quán)的估價。國內(nèi)學(xué)者自20世紀(jì)90年代開始，逐漸將實物期權(quán)用于定價方面的應(yīng)用研究［4－8］，其領(lǐng)域涉及：自然資源評估、環(huán)境項目投資、礦業(yè)權(quán)評估、礦產(chǎn)資源投資策略等。雖然國內(nèi)學(xué)者將期權(quán)定價理論應(yīng)用在礦產(chǎn)權(quán)方面，但應(yīng)用中存在一些不足，主要表現(xiàn)在：僅僅將實物資產(chǎn)中的各項參數(shù)直接或稍加修正應(yīng)用到B－S模型；將礦產(chǎn)權(quán)價值與礦產(chǎn)資源收益的概念等同；不考慮礦產(chǎn)生產(chǎn)的時滯性；不加條件的直接使用期權(quán)的可加性等。

鄒紹輝等［8］提出，礦產(chǎn)企業(yè)最終獲得的收益應(yīng)當(dāng)補償其礦產(chǎn)投資資本的機會成本。雖然采礦權(quán)持有者具有開采礦產(chǎn)資源并出售礦產(chǎn)品的權(quán)利，但是并不能獲得全部收益，而是應(yīng)付出一部分以采礦權(quán)為名義的收益。因此，在采礦權(quán)的期權(quán)模型中，標(biāo)的資產(chǎn)是礦產(chǎn)品的凈收益，敲定價格是投資的機會成本。盡管鄒紹輝等指出礦產(chǎn)資源采礦權(quán)是一個多期多階段的復(fù)合看漲期權(quán)，但是在文獻中的期權(quán)模型并非嚴(yán)格的復(fù)合期權(quán)模型。另外，機會成本反應(yīng)了投資的最大收益。在理性市場條件下，敲定價格不應(yīng)是機會成本而應(yīng)是預(yù)期收益。本文旨在分析采礦權(quán)的復(fù)合期權(quán)屬性，建立采礦權(quán)定價的復(fù)合期權(quán)模型，并實證分析，為采礦權(quán)投資決策提供依據(jù)。

1 采礦權(quán)建模

復(fù)合期權(quán)的研究起源于Black和Scholes在期權(quán)定價方面的開創(chuàng)性工作。他們將股票視為寫在公司價值上的期權(quán)，若公司價值可視為寫在公司債券上的期權(quán)，則股票便是寫在公司債券上的復(fù)合期權(quán)［9］。Geske把公司股票看作寫在公司資產(chǎn)價值上的歐式看漲期權(quán)，再在歐式看漲期權(quán)上建模為復(fù)合期權(quán)，并導(dǎo)出了簡單復(fù)合歐式期權(quán)模型封閉形式的解［10］。Geske給出的簡單復(fù)合期權(quán)定價的一般公式，成為復(fù)合期權(quán)發(fā)展的基礎(chǔ)。復(fù)合期權(quán)本質(zhì)上是一系列權(quán)利的嵌套，適合描述涉及序列決策問題。在實踐中，礦產(chǎn)企業(yè)按年度決定是否執(zhí)行采礦權(quán)，如果選擇執(zhí)行采礦權(quán)，將主要進行兩步投資：第一，開采階段，在這一階段需要投入資金，完成人力資源籌備、礦石開采等工作，此時投入資金稱之為開采成本；第二，選礦階段，在這一階段需要投入資金，對第一階段的礦石進行冶煉，最終獲得礦產(chǎn)品并出售，此階段投入資金稱之為選礦成本，兩次投資總和為總投資。

采礦權(quán)持有者在采礦權(quán)起始日擁有一種期權(quán)，能夠在某開采日投資開采，稱為開采期權(quán)。如果持有者決定投資開采，便又購買到一種看漲期權(quán)，該期權(quán)使得采礦權(quán)持有者擁有在選礦階段結(jié)束后，出售礦產(chǎn)品并獲利的權(quán)利，稱為選礦期權(quán)。對于選礦的期權(quán)，礦產(chǎn)企業(yè)在開采時刻擁有一種是否進行礦石冶煉的權(quán)利，而非義務(wù)。因此，選礦期權(quán)就是一份以礦產(chǎn)資源價值，即礦產(chǎn)品銷售的凈收益為標(biāo)的資產(chǎn)，以選礦資金的預(yù)期收益為敲定價格的看漲期權(quán)。對于開采期權(quán)，礦產(chǎn)企業(yè)在采礦權(quán)起始時刻，擁有一種在某時刻是否進行礦石開采的權(quán)利，而非義務(wù)。因此，開采期權(quán)是一份以選礦期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)，以采礦資金的預(yù)期收益為敲定價格的看漲期權(quán)。這樣，采礦權(quán)是一份在看漲期權(quán)的基礎(chǔ)上，又擁有一份看漲期權(quán)的期權(quán)。因此，采礦權(quán)持有者擁有的不是簡單的歐式看漲期權(quán)，而是一份兩期復(fù)合期權(quán)。

首先對模型的符號進行設(shè)定：

P為年度礦產(chǎn)品的價值；C和I為對應(yīng)開采成本和選礦成本；S為礦產(chǎn)品收益，S＝P－I；采礦權(quán)期限為n年，年度時刻為Ti，Ti＝0，1，2，3，…，n；Vi、為Ti時刻的采礦權(quán)價值；Ti時刻的開采成本的預(yù)期收益為K1，開采的產(chǎn)品總成本的預(yù)期收益為K2，K1＝C×α，K2＝I×α，其中α為預(yù)期收益比例。

為了建立采礦權(quán)的定價模型，本文需要對礦產(chǎn)企業(yè)的經(jīng)營狀況進行假設(shè)，具體內(nèi)容如下：

假設(shè)1：年初支付開采成本，年末支付選礦成本，且其預(yù)期收益比例為常數(shù)；由此假設(shè)可知，企業(yè)一旦執(zhí)行開采期權(quán)，進入采礦階段，獲得的選礦期權(quán)的期限為一年。

假設(shè)2：最終行權(quán)日不超過采礦權(quán)期滿日。

假設(shè)3：開采和選礦成本以現(xiàn)有技術(shù)水平為基準(zhǔn)，即投資成本不變。

假設(shè)4：礦產(chǎn)品凈收益S的分布服從幾何布朗運動。

假設(shè)5：無風(fēng)險利率r為常數(shù)。

據(jù)前文分析，每年的采礦權(quán)可以看作是復(fù)合期權(quán)，所以采礦權(quán)的價格是按年度系列計算的復(fù)合期權(quán)價格的總和。下文首先以開開采時刻為Ti為例，計算該時刻復(fù)合期權(quán)的價格，然后求總和得到采礦權(quán)的價值。

又，在t＝Ti時刻相應(yīng)的終止條件為：

因此，在區(qū)域Ω1上的期權(quán)定價公式：

由此，可得到開采時刻為Ti的復(fù)合期權(quán)價格：

其中

參數(shù)a1i中S＊是滿足方程：

其中

M（a，b；ρ）表示二維累計正態(tài)分布函數(shù)：M（a，b；ρ）＝p｛X≤a，Y ≤b｝

這里X ～N（0，1）、Y ～N（0，1）都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Cov（X，Y）＝ρ，（0＜ρ＜1）。

由上述分析可知，某一年的采礦權(quán)價格，可以由簡單復(fù)合期權(quán)模型得到，那么整個期限采礦權(quán)價格，即為逐年的復(fù)合期權(quán)價格之和：

相關(guān)參數(shù)同上。

2 實證研究

2.1 參數(shù)計算

實例：廣實會計師事務(wù)所有限公司為云南達(dá)亞有色金屬有限公司獅子山銅礦采礦權(quán)進行評估。其主要參數(shù)總結(jié)如表1所示。

因為評估計算期銅精礦產(chǎn)量共30351．23t，且礦產(chǎn)的服務(wù)年限為9．52年，所以可以得到銅精礦的生產(chǎn)規(guī)模為3188．15t／a。又有銅精礦的不含稅價格，可得年度礦產(chǎn)品的價值為124018345．82元；因為評估計算期銅礦石產(chǎn)量共491萬t，且礦產(chǎn)的服務(wù)年限為9．52年，所以可以得到銅礦石的生產(chǎn)規(guī)模為515756．30t／a。又有單位總成本費用，可得獅子山銅礦年生產(chǎn)總成本為98277363．45元。所以，礦產(chǎn)資源年收益為25740982．37元。按照礦產(chǎn)生產(chǎn)的實際情況，銅精礦的生產(chǎn)過程包括采礦過程和選礦過程。根據(jù)礦產(chǎn)生產(chǎn)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，一般可以認(rèn)為，地下開采成本與選礦成本比例為2∶1。因此，獅子山銅礦的年開采成本為65518242．30元，相應(yīng)選礦成本為32759121．15元。

本文選取了證監(jiān)會行業(yè)分類中有色金屬礦采選業(yè)的歷年銷售毛利率，以行業(yè)的平均毛利率來表示投資預(yù)期收益比率，將其平均值23．61%作為投資預(yù)期收益比率。無風(fēng)險收益可由十年期2009國債27（019927）的年利率3．68%來代替。根據(jù)銅價歷史數(shù)據(jù)，本文計算得到年波動率為0．29714。期權(quán)定價參數(shù)總結(jié)如表2所示。

表1 評估參數(shù)表

表2 期權(quán)定價參數(shù)表

2.2 定價實證結(jié)果

在采礦權(quán)期期初，采礦權(quán)持有者具有一年的基建時間。因此，第一個復(fù)合期權(quán)是2010年9月30日的，此刻距離評估基準(zhǔn)日是1年，距離采礦權(quán)到期日有9．5年。依此類推，將在此后每年9月30日遇到一個復(fù)合期權(quán)，直到2019年9月30日。2019年9月30日為采礦權(quán)期限內(nèi)最后一個復(fù)合期權(quán)，其成熟期為2020年3月31日。由上述推導(dǎo)的采礦權(quán)定價公式，首先應(yīng)該確定協(xié)方差、臨界礦產(chǎn)資源收益值，以及其他累計分布函數(shù)的參數(shù)值，然后代入公式中計算結(jié)果。在計算中，由于本文選例的特殊性，礦山服務(wù)年限是9．52年，所以在計算最后半年的復(fù)合期權(quán)時，標(biāo)的資產(chǎn)和敲定價格都相應(yīng)減半。二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計分布函數(shù)M（a1i，b1i；ρi）和 M（a2i，b2i；ρi），表3中分別以 M1和M2代替。本文通過數(shù)學(xué)軟件Matlab計算復(fù)合期權(quán)的各參數(shù)值，所得結(jié)果如表3所示。

表3 常數(shù)波動率復(fù)合期權(quán)評估表

由表3得到采礦權(quán)的價值約為4216．61萬元，相對于貼現(xiàn)現(xiàn)金流評估值為2228．81萬元，復(fù)合期權(quán)模型得到的采礦權(quán)的價值高于貼現(xiàn)現(xiàn)金流法得到的采礦權(quán)價格。如前所述，實物期權(quán)思想認(rèn)為，不確定性增加了礦產(chǎn)資源投資的價值。復(fù)合期權(quán)模型考慮了未來信息的價值、礦產(chǎn)企業(yè)經(jīng)營活動的靈活性，并且認(rèn)為這些因素是有價值的。而貼現(xiàn)現(xiàn)金流評估認(rèn)為，未來信息價值固定，假定了企業(yè)的經(jīng)營活動一成不變，并否定了不確定性的價值。所以，在復(fù)合期權(quán)模型中采礦權(quán)的價值，高于在貼現(xiàn)現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型中。

貼現(xiàn)現(xiàn)金流法認(rèn)為，企業(yè)有著固定的利潤和成本，不考慮時間的價值，這種不科學(xué)的方法不能作為投資決策依據(jù)。復(fù)合期權(quán)定價方法，綜合考慮到這些不確定性，得到的采礦權(quán)的價值高于市場上的評估價格，即市場存在負(fù)溢價。這說明市場的采礦權(quán)價格存在著價值低估。那么，對于一家預(yù)期收益率為行業(yè)平均毛利率23．61%的企業(yè)，該采礦權(quán)存在價值投資的空間。

3 總結(jié)

在采礦權(quán)評估實務(wù)中，貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法對采礦權(quán)的估計，往往需要對未來有一定的預(yù)期和嚴(yán)格的假設(shè)，不能考慮和處理礦產(chǎn)開采面臨的不確定性和管理柔性。由于這種方法缺少不確定的價值，造成估價不夠準(zhǔn)確。近期文獻利用期權(quán)對采礦權(quán)的定價研究，集中在簡單期權(quán)上，不能充分考慮到礦產(chǎn)企業(yè)開采的實際情況，對采礦權(quán)的評估不夠準(zhǔn)確。本文基于復(fù)合期權(quán)理論，將采礦權(quán)看作是一系列年度的復(fù)合看漲期權(quán)的總和。在一定的假設(shè)下，推導(dǎo)出基于復(fù)合期權(quán)的采礦權(quán)定價公式，并實證分析，發(fā)現(xiàn)復(fù)合期權(quán)模型估值更加符合實際。復(fù)合期權(quán)定價方法得到的采礦權(quán)的價值，高于市場的評估價格，即負(fù)溢價，這說明市場的采礦權(quán)價格存在價值低估，采礦權(quán)具有投資價值。

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