一類代數無理不等式的深度探究

●(咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 陜西咸陽 712000)

一類代數無理不等式的深度探究

●安振平(咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 陜西咸陽 712000)

筆者曾在《數學通報》2003年第5期的問題欄目提出并證明了如下無理不等式：

問題1已知x,y為正實數，且n≥2(n∈N)，求證：

這是涉及2個正實數的無理不等式，且是開平方的情形.一種思考是:對開立方的情形如何呢？通過觀察、嘗試與探究，得到

問題2已知x,y為正實數，求證：

進一步的深度思考是：對開n次方的情形呢？關注分母里第2項的系數，容易得出

問題3已知x,y為正實數，且n≥2(n∈N)，求證：

于是

變形得

即

也就是

同理

兩式相加，得

接下來的思考是，交換分母里系數2n-1的位置，會有類似的不等式嗎？通過試驗n=2，3等特殊值，筆者提出如下猜想：

問題4已知x,y為正實數，且n≥2(n∈N)，證明或否定：

需要提及的是，筆者在文獻[1]里就曾得出：

已知：a>0,b>0，求證

至于不等式(4)的證明，留給讀者去思考.

(本文獲得咸陽師范學院重點科研課題(08XSYK110)項目支持.)

[1] 安振平.一個數學問題的研究性學習[J].中學數學教學參考，2003(6)：43-44.

[2] 安振平，陳寶安.在閱讀理解與思考變化中學習數學[J].數學通報，2008(7)：60-61.

[3] 羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2008.