簡談數學解題教學中的追問藝術

●(浙江師范大學2010級教育碩士 浙江金華 321004)●(新城中學 江蘇無錫 214111)

簡談數學解題教學中的追問藝術

●章薇薇(浙江師范大學2010級教育碩士 浙江金華 321004)●浦敘德(新城中學 江蘇無錫 214111)

提問是使用最普遍、最古老的教學方法之一，它是古希臘教育家蘇格拉底著名的“產婆術”之核心.新課程認為，課堂教學是教師、學生、文本之間的對話過程，提問與回答是對話交流的主要途徑.布魯納認為教學過程是一種持續(xù)不斷地提出問題和解決問題的活動，思維永遠是從問題開始的.當課堂提問后學生出現無法解決或回答不及本質時，教師應該根據學生答問所表現出來的問題再一次進行提問，這就是追問，顯然，巧妙地運用追問可以解決學生認知和能力的不足.在數學課堂中，解題教學歷來是重中之重，從某種程度上講，它的成功就是數學課堂教學效能提高的有力保障.在解題教學中，巧妙的追問能促進學生進一步深入的思考與研究，問出問題源頭、問出過程方法、問出數學本質.下面就數學解題教學中如何使用追問藝術談一些看法,供讀者參考.

1 云深不知處——投石問路巧追問

課堂提問應圍繞著教學目標展開，解題教學中的數學題目必須在知識的重點、難點處設置，通過數學題目的解決過程來幫助學生掃清知識障礙，澄清模糊認識，提升思維水平.但在重點難點處設置的題目往往又不是每個學生都能輕易解決的.如果學生面對題目時，不能展開思考或根本無從下手，那么此時教師應通過投石問路巧追問，給思維不暢者以疏導，令其打開思路.

案例1小麗利用影長測量學校旗桿的高度.由于旗桿靠近一個建筑物,在某一時刻旗桿影子中的一部分映在建筑物的墻上.小麗測得旗桿AB在地面上的影長BC為40 m，在墻上的影長CD為4 m，同時又測得豎立于地面的0.5 m長的標桿影長為1 m，如圖1所示,請幫助小麗求出旗桿的高度.

圖1

圖2

面對這個題，大部分學生不知所措.

師(提問)：這里的物高AB有影長嗎？

生1：有，線段CB是AB的影長.

生2：不對，BC與CD都是AB的影長.

師(追問)：那是不是BC+CD的長度就是AB的影長呢？

此處正是學生難以理解和處理的地方.讓學生進行適當的討論，有助于學生對該題本質的理解.

生3：CD+BC的長度不應該是AB的影長.如果AB足夠短的話，它的影子就應該是BC，而正因為AB較長，所以一段影子在地上，一段在墻上.此時我們可以把墻上的影子CD看成新的物高，畫出它的影長,即延長線段AD與線段BC交于點H，則HC為CD的影長(如圖2)(得解法1，略).

生4：如圖2，此時線段HB就是AB的影長(得解法2，略).

師(追問)：線段CB能否看成某個物體的影子？

生5：過點D作DG∥BC，則DG是AG的影長(如圖3)(得解法3，略).

圖3

圖4

生6：過點C作CF∥AD，則CB是BF的影長(如圖4)(得解法4，略).

上述追問采用了順向式追問,即順著學生的思維追問,發(fā)現其思考的不足或錯誤后再次發(fā)問,引導學生深入思考，走上正確的思維軌道.

圖5

上述追問采用了順勢遷移式追問,即學生對基本問題掌握其數學本質后,順勢拋出類似的新問題，以此來激發(fā)學生更深層、更全面、更多元的思考,從而實現超越預設教學目標，完成思維的飛躍.

評注當學生思緒堵塞時，“投石”可以助其疏通思路；當學生思維欠缺深度時，“投石”可以給予適當的點撥；當學生思考沒有方向時，“投石”可以給予引導與銜接.本案例中，通過教師投石問路巧追問，讓學生從不同角度、不同方向、不同層次去思考問題，求同存異，使學生機智靈活地一題多解或多解一題，進而找到獨特、巧妙的最佳方法，領悟問題的本質，課堂教學進入“課已終，題猶存，意更深”的意境.

2 潤物細無聲——去偽存真細追問

學生在解決數學題目的過程中難免會出現差錯，作為教師不能簡單粗暴地用一個“錯”字打斷學生的回答，然后越俎代庖地說出正確答案，而應充分利用錯誤資源中的有效信息，進行去偽存真細追問，在學生思維斷層處進行正確思維的銜接，引導學生弄清產生錯誤的原因，并把握時機讓學生揣摩正確的糾錯方法，使之成為“美麗的錯誤，不小的收獲”.

案例2判斷：直線a上一點P到圓心O的距離等于半徑R，則直線a與圓O相切.

生1：正確.因為它與切線的一個判定方法“與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”一致.

師(追問)：“直線與圓心的距離等于半徑”是什么意思？

意在讓學生區(qū)分點與點之間的距離與點到線之間的距離.

生2：解釋這里的距離是點到直線的距離.

師(追問)：直線a上一點P到圓心O的距離等于半徑R，是不是就直線與圓心的距離等于半徑的意思？

此時學生的認知矛盾已得到化解.

師(追問)：你能畫出符合題意的反例示意圖嗎？

意在讓學生能更深一步地找到自己錯誤的原因，從而掃除思維障礙.

評注在學生回答出錯處、思維斷層處進行追根溯源的追問，有利于促進知識的正遷移，進而讓學生重新構建完整的知識體系，更深層次認識知識的本質所在.本案例中，教師以設問為抓手，抓住學生的認知沖突，通過去偽存真細追問，讓學生認清相切是直線與圓的位置關系中的一種，通過點到直線距離的刻畫，完成形數轉換，其本質就是圓心到直線的距離等于圓的半徑，使課堂教學達到“隨問潛入思，潤生細無聲”的效果.

3 一覽眾山小——水到渠成妙追問

愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”.在解題教學過程中，教師應鼓勵學生多角度思考問題，發(fā)表自己獨特的思考與見解，教師應本著以人為本的理念，珍惜學生的異想天開，善待學生的驚人發(fā)現，并巧妙地利用追問引導學生從“設陷”與“避陷”中走出困境，獲得真知.

圖6

案例3如圖6，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D,AC交⊙O于點E,∠EBA=45°.求證:CE·AB=2BD2.

采用實地勘測、線路調查、地形測量等方法，結合GPS技術的應用，對地形地貌變化、水系調整、植被破壞面積、損壞水土保持設施數量、水土流失面積等進行監(jiān)測。

該題意在考查學生線段的倍半關系的解決方法.先將2BD轉化成BC,并用三角形相似知識解決本題.

師(追問):本題還可以得到哪些正確結論?

學生探究得出以下結論：

(1)角度方面的結論:∠EBC=22.5°,∠ECB=67.5°,∠AEB=90°等;

(2)線段方面的結論:AE=BE,DE=BD=CD，AD⊥BC等;

有學生受到結論(3)的啟示,提出了結論:AE=2DE.

師(追問)：AE=2DE成立嗎？你是怎么做出來的？

學生：若AE=2DE，則AE=BC=BE，而在直角△BCE中，BC≠BE.

學生通過“反證法”得出這個猜測是錯誤的.

這里采用的是逆向式追問,即逆著學生的思維或知識發(fā)生的過程追問,對學生已作出的正確回答給予肯定性評價后,反過來問理由,是對思考和理解過程的追問.

評注如果教師的解題教學始終停留在解完就結束問題的層面上，那么題海戰(zhàn)術就永遠不會消失.教師應充分利用學生獲得的現有資源和思維成果及時進行總結、反思、拓展、延伸，使問題的價值獲得最大化.本案例中，學生的思維是縝密的，思考是嚴謹的，但通過水到渠成妙追問，促使學生進一步交流與思考、類比與質疑、補充與完善，進而提出更深層面的規(guī)律與更廣的結論.師生在表達和傾聽、提問和追問中，收獲的是“會當凌絕頂，一覽眾山小”的自信.

4 更上一層樓——意外拓展奇追問

葉瀾曾經說過：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定的路線而沒有激情的行程.”是的，課堂教學是動態(tài)生成的過程，解題教學也不例外，隨時會出現“意外”.如果我們能機智地為學生打破預設，并用睿智的追問，拓展學生思維，延伸思維空間，定會讓解題教學中的“節(jié)外生枝”綻放出異彩.

案例4如圖7，在菱形ABCD中，∠B=60°，點E，F分別從點B，D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC，DC向點C運動，給出結論：(1)AE=AF；(2)∠CEF=∠CFE；(3)當點E，F分別為BC，DC的中點時，△AEF是等邊三角形；(4)當點E，F分別為BC，DC的中點時，△AEF的面積最大.請判斷上述4個結論的真假.

圖7

圖8

在解決了前面3個問題后，學生解決最后一問.

圖9

圖10

生2：這么做太麻煩了！如圖9，設菱形邊長為1，當E，F還沒有動時，

師(追問)：我們用數量的大小關系說明了當點E，F分別為BC，EC的中點時，△AEF的面積不是最大值.如果不用數量說明，那么還可以從哪些方面入手呢？

顯然，如果沒有及時而有效的追問，課堂中不曾預約的精彩是不會不期而至的.

評注解決一個有價值的數學問題往往是多途徑的，而學生認識問題的角度也是多元的，他們會利用自己現有的顯性知識和默會知識按自己的思考方式去解決問題，教師要做的就是正確的引導，使問題更趨向本質.本案例中，教師圍繞問題從常規(guī)方法入手，先引導學生研究通法，但并沒有淺嘗輒止，而是充分利用課堂中的節(jié)外生枝，因勢利導，通過意外拓展奇追問，從數到形層層抽絲剝繭，直至問題完美解決，課堂教學中呈現出“欲窮千里目，更上一層樓”的奇異之景.

可見，數學課堂教學中的追問是激活學生思維的點燃器,是引導學生走向理性的助長器,是課堂預設生成的催化器，是教學智慧形成的推進器.我們應在數學課堂教學中熟練掌握和運用追問，提高數學課堂教學的效能.同時，我們還應思考如何把教師的“課堂追問”轉化為學生的“自我追問”,讓學生在自我追問中不斷反思，自主成長.只有這樣，教學才會充滿生機和活力，課堂才會實現教師和學生的同步發(fā)展.

[1] 浦敘德.淺談數學課堂教學中的生成性追問及時機[J].中國數學教育(初中版)，2011(5)：2-4.

[2] 邵瀟野.初中數學課堂提問的優(yōu)化策略[J].中學數學教學參考(下半月·初中)，2007(7)：9-11.

[3] 溫建紅.數學課堂教學中的變式性提問與引申性提問[J].中學數學教學參考(中旬·初中)，2010(1)：17-19.