錯題同樣值得研究

●(丹陽市教育局教研室 江蘇丹陽 212300)

錯題同樣值得研究

●王先進(丹陽市教育局教研室 江蘇丹陽 212300)

在高三數學考試中有這樣一個題目：

1 3種解法竟然是同一結果

這里n-m=5,從而

解得

解法2圖示法.若公差取得最大值，則區間內的最小項和最大項分別無限接近區間的2個端點(如圖1)，此時區間內含有5d，即

解得

若公差取得最小值，則區間內的最小項和最大項分別離2個端點最遠(1個d)，或者說最小項的前一項與最大項的后一項分別落在區間的端點處(如圖2)，此時區間內含有7d，即

解得

綜上所述，

圖1

圖2

解法3設落在區間內的第1項為an,則最后一項為an+5，由題意得

解得

3種不同的解法，得出同一個結果，似乎應該沒有什么問題了.

2 一個反例輕松推翻了結論

該題引起了一定的討論，源于一位教師提供的反例：

由

即

解得

2≤n≤8.

共有7項在該區間內，說明該范圍不能滿足題意.為什么會出現這樣的情況？筆者進行了一些思考.

3 這個錯誤答案是如何形成的

取值范圍，顧名思義，是取得到的值的集合.自然是不包括取不到的值，但也應該包括所有能取到的值，即不能多，也不能少.由本題的題意，不難理解要求的取值范圍應該是前面條件的充分必要條件.

從解法1看，不等式組應該刻畫的是充分必要條件，但以后的各步都只能說是充分而不必要的了，即有可能擴大了范圍.

從解法2看，取最小值時，若將每項左移一點，則完全有可能出現7項在區間內，如圖3所示.

圖3

看來真正的范圍應該是答案的一個子集，上述反例也說明了這一點，同時也說明原答案是錯誤的.

如圖3所示，左移一點還是右移一點與a1的值有關，而從上述的解題過程看與a1無關，這是令人難以信服的.

4 若a1是具體的值，答案是什么

作為原題的一種特殊情形，不妨先考慮以下的題目：

該問題的解答沒有想象的簡單，其思路是:先用d來表示最小項am和最大項an,再用“n-m=5”列出關于d的方程.難點在于由范圍來確定項數時涉及到取整.至于是否有其他簡潔解法不得而知，筆者做了多種嘗試，未果.解決該問題的思路如下：

(1)用d表示最小項am.

即

(2)用d表示最大項an.

由an<8,an+1≥8可得

以上[x]表示的x整數部分，x≥0.

(3)列出方程.

(4)解方程.

[18x]-[3x]=6.

由取整函數的性質,知

18x-1<[18x]≤18x,

-3x≤-[3x]<1-3x，

相加得

因此

即

6≤[18x]≤8,[3x]=1，

當且僅當[18x]=7,[3x]=1時，方程(1)成立.從而

7≤18x<8,1≤3x<2，

得

故

5 對這個題目的修正建議

上述解題過程中使用了取整函數.雖然取整函數的性質并不難，筆者也是在處理該問題時臨時歸納出來的，但這已經超出了一般中學生的學習范圍，而且考試時往往不可能也不允許有很多時間去做摸索探究.考慮到中學生知識與能力的具體情況，筆者建議作如下簡化修正：

例3 已知等差數列{an}的首項a1=-1，若該數列恰有6項落在區間(-1，8)內，則公差d的取值范圍為________．

這樣首項與區間左端點恰好重合，落在區間內最小的一項就無需考慮，肯定是a2了，只要a7<8,a8≥8即可求出d的取值范圍.這種思路的實質是，對于“恰有”、“有且只有”的某類問題，可以通過相鄰2項的范圍來刻畫，而此思路同樣可以遷移到其他題目，如：

例4 已知f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，若方程f(x)=0在區間[0,π]上有且只有3個解，則實數ω的取值范圍是________．