對杯中球問題的探究與推廣

●(華中師范大學數學與統計學學院 湖北武漢 430079)

對杯中球問題的探究與推廣

●李俊杰(華中師范大學數學與統計學學院 湖北武漢 430079)

圖1

在拋物線形高腳杯中放進球形物體，當球的半徑不同時，球可以碰到杯底，也可以卡在杯口上，這就是杯中球問題[1]，其數學模型如圖1所示.

杯中球問題實質上是一個最短距離問題：在拋物線內部，求拋物線對稱軸上的點到拋物線的最短距離.

性質1[1]設拋物線方程為y2=2px(p>0)，點M(m,0)(m>0).

(1)當0

文獻[1]以開口向上的拋物線為例進行了證明，筆者不再贅述.

推論1[1]設拋物線方程為y2=2px(p>0)，點M(m,0)(m>0)，在拋物線內作以點M為圓心的內切圓.

(1)當0

(2)當m>p時，圓與拋物線有2個切點，如圖3所示.

圖2

圖3

受杯中球問題的啟發，筆者也對橢圓和雙曲線進行了類似的探究，橫向拓展得出了以下結論.

(1)當m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時，點M到橢圓的最短距離為a-|m|；

證明設P(x,y)為橢圓上任意一點，則

|MP|2=(x-m)2+y2=

e2x2-2mx+m2+b2=

故當m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時，|MP|min=a-|m|.

(1)當m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時，圓與橢圓有唯一切點，且切點為橢圓長軸的端點，如圖4所示;

(2)當m∈(-ce,ce)時，圓與橢圓有2個切點，如圖5所示.

圖4

圖5

(1)當m∈[-ce,-a)∪(a,ce]時，點M到雙曲線的最短距離為|m|-a;

證明設P(x,y)為雙曲線上任意一點，則

m∈[-ce,-a)∪(a,ce].

當m∈(a,ce]時，f(x)在x=a處取得最小值，此時

|MP|min=|a-m|=m-a；

當m∈[-ce,-a)時，f(x)在x=-a處取得最小值，此時

|MP|min=|-a-m|=-m-a，

故當m∈[-ce,-a)∪(a,ce]時，

|MP|min=|m|-a.

m∈(-∞,-ce)∪(ce,+∞).

(1)當m∈[-ce,-a)∪(a,ce]時，圓與雙曲線有唯一切點，且切點為雙曲線的頂點，如圖6所示;

(2)當m∈(-∞,-ce)∪(ce,+∞)時，圓與雙曲線有2個切點，如圖7所示.

圖6

圖7

經常討論焦點到圓錐曲線的最短距離問題，文獻[1]中已得出相關結論：圓錐曲線上到焦點距離最近的點為其對應頂點，即以焦點為圓心，與之較近頂點連線為半徑的圓必內切于該圓錐曲線，頂點為切點.實際上，文獻[2]是本文的一個特例，本文是文獻[2]更一般的結論.

[1] 蔣聲，陳瑞琛.趣味解析幾何[M].上海：上海教育出版社，2007：283-285.

[2] 任志瑜.更應該站在學生的角度來處理教材[J].數學通訊，2010(9)：31-34.