巧構分布列 妙解數學題

●(錦屏高級中學 江蘇連云港 222021)

巧構分布列妙解數學題

●殷長征(錦屏高級中學 江蘇連云港 222021)

文獻[1]中例6利用構造分布列求參變量的取值范圍，簡潔、流暢、巧妙.筆者讀后有感，歸納出構造分布列可以速解(證)一些比較復雜的數學問題.現舉例說明之.

1 證明不等式

例1設a，b，c∈R+，求證：

證明設事件ζ的分布列如表1所示.

表1 ζ的分布列

則

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0,得

例2已知ab=1 000，a>1,b>1，求證：

證明設事件ζ的分布列如表2所示.

表2 ζ的分布列

則

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0，得

因此

2 求最值

y=kx-2k+1，

代入方程(x+2)2+y2=1整理得

(x+2)2+(kx-2k+1)2=1.

設事件ζ的分布列如表3所示.

表3 ζ的分布列

則

Eζ=k(x+2)-(kx-2k+1)=4k-1，

Eζ2=k2+1.

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0，得

k2+1≥[k(x+2)-(kx-2k+1)]2=

(4k-1)2，

解得

得

設事件ζ的分布列如表4所示.

表4 ζ的分布列

則

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0，得

3 解方程(組)

解設事件ζ的分布列如表5所示.

表5 ζ的分布列

則

因為Eζ2=(Eζ)2，所以

解得x=-7，經檢驗是原方程的根.

例6解方程組

解設事件ζ的分布列如表6所示.

表6 ζ的分布列

則

因為Eζ2=(Eζ)2，所以

解得

4 求參變量的取值范圍

解設事件ζ的分布列如表7所示.

表7 ζ的分布列

則

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0,得

解得

a≥0或a≤-1.

解由1 994-x≥0且x-1 993≥0,得

1 993≤x≤1 994，

從而

y≥1.

設事件ζ的分布列如表8所示.

表8 ζ的分布列

則

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0,得

從而

點評以上解題的關鍵是巧設隨機變量ζ的分布列，其主要思想有2點：(1)利用不等式的輪換性構造分布列；(2)利用“和為1”的條件構造分布列.

[1] 朱達峰.小構造 大作用[J].中學教研(數學)，2011(4)：9.