教學(xué)創(chuàng)新課例：數(shù)列復(fù)習(xí)課

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(太和中學(xué) 安徽阜陽 236600)

教學(xué)創(chuàng)新課例：數(shù)列復(fù)習(xí)課

●周欣

(太和中學(xué) 安徽阜陽 236600)

在數(shù)學(xué)教學(xué)改革的浪潮中，各種體現(xiàn)新理念的教學(xué)模式層出不窮.如何在這種形勢下使課堂教學(xué)出新又出彩，既讓學(xué)生主動探求、獲取的知識，發(fā)展思維，增長能力，又在充滿懸念和矛盾沖突的教學(xué)活動中，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，使教與學(xué)成為師生的一種共同享受，這是廣大數(shù)學(xué)教師所努力追求的一種高境界.筆者在公開課“數(shù)列習(xí)題課”的教學(xué)中完全打破傳統(tǒng)的模式，進(jìn)行大膽嘗試，取得了預(yù)期的效果，受到了學(xué)生和聽課教師的好評.筆者將這節(jié)課教學(xué)過程中富有特色的部分介紹如下，并進(jìn)行了必要的評析.

1 教學(xué)過程節(jié)錄

例1在等差數(shù)列{an}中，a10=100，a100=10，求a110.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目雖簡單，但極有特點(diǎn)，躍躍欲試.

分析求a110可先求出什么，如何求？一般是求首項和公差，可由a10=100，a100=10列出方程組解出首項a1及公差d.

解法1由已知得

解得

a1=109，d=-1,

于是

a110=109+109×(-1)=0.

學(xué)生較快得出解法2.

解法2由a110=a10+90d,得

d=-1,

于是

a110=a100+10d=10-10=0.

解法2實際上是將等差數(shù)列通項公式進(jìn)行推廣，通常an=a1+(n-1)d.根據(jù)等差數(shù)列的定義可得

an=a2+(n-2)d;

an=a3+(n-3)d;

…

an=an-1+d.

一般結(jié)論為an=am+(n-m)d.

上面推廣的結(jié)論可以解決什么問題？若是等比數(shù)列，則有無類似結(jié)論？

學(xué)生小結(jié)已知任意2項可以求出首項和公差，對應(yīng)等比數(shù)列有：an=a1qn-1，an=a2qn-2…，an=amqn-m.

圖1

當(dāng)學(xué)生沒有新解法時,教師啟發(fā)：數(shù)列實際上是一種特殊函數(shù).從這一角度上看，我們可以怎樣理解數(shù)列？

畫圖展示，數(shù)列就是按照一定順序排成的一列數(shù).

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列是定義在N*或其有限子集{1,2,3，…，n}上的函數(shù)f(n).當(dāng)自變量從1開始依次取正整數(shù)時，f(n)所對應(yīng)的一列數(shù)值：f(1),f(2),f(3),…,f(n).

引導(dǎo)學(xué)生得到：(1，a1)，(2，a2)，…,(n,f(n)),就是一次函數(shù)f(n)=an=nd+(a1-d)圖像上散開的點(diǎn).進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生,本題實際上涉及到3個點(diǎn)：A(10,100)，B(100,10)，C(100，a110).

解得

a110=0.

反思在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時,要善于從函數(shù)的角度去理解數(shù)列，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察：此題的條件與結(jié)果有何特點(diǎn)？它們之間是否是巧合呢？

師生共同探究、觀察、討論得出(由學(xué)生總結(jié)):

(1)條件的2項與項數(shù)剛好交換；

(2)要求項的項數(shù)恰好為已知2項的項數(shù)和；

(3)大膽猜想：{an}為等差數(shù)列，若am=n，an=m，則am+n=0.

由等差數(shù)列的性質(zhì)an=am+(n-m)d得出d=-1,于是am+n=an+md=m-m=0.

變式若將原題中的a10，a100，a110分別改為S10,S100,S110，即和的形式，會有什么好的解法、好的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生思考，教師巡視，等大多數(shù)學(xué)生做完后，組織學(xué)生發(fā)言，教師作點(diǎn)評.

解法1設(shè)數(shù)列{an}公差為d，首項為a1.由

解得

從而

教師點(diǎn)評這是根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式進(jìn)行思考，利用了方程的思想，思路嚴(yán)謹(jǐn)，但計算量大，運(yùn)算過程極易出錯.

解法2由已知得

式(1)-式(2)得

從而

學(xué)生可能會仿照前例解法3，用函數(shù)的觀點(diǎn)解題，但可能思維受阻.

由an與Sn的關(guān)系an=Sn-Sn-1(n≥2),揭示了an與Sn之間的關(guān)系.以上變式就是用Sn來代替an得到的一道題，那么是否可以大膽地猜想用等差數(shù)列的和作為項構(gòu)成一個新的數(shù)列是等差數(shù)列呢？

不妨試一試，首先，S1,S2,S3,…,Sn能否構(gòu)成一個新的等差數(shù)列？為了說明此問題，可以舉例.如1,2，3，…，n，則S1=1，S2=3，S3=6，….

教師啟發(fā)從an=sn-sn-1(n≥2)本身去想，即a1=s1,a2=s2-s1,a3=s3-s2,a4=s4-s3,…，得來全不費(fèi)功夫！s1，s2-s1，s3-s2,s4-s3,…，sn-sn-1就是a1,a2,a3,…,an這個數(shù)列本身！由此學(xué)生思維活躍起來，聯(lián)想到前面習(xí)題、練習(xí)中的類似問題，此時合理引導(dǎo)，做到活而不亂.

引導(dǎo)學(xué)生歸納和推廣：(1)若{an}為等差數(shù)列，則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…也是等差數(shù)列，公差為kd；(2)若{an}為等比數(shù)列，則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…也是等比數(shù)列，公比為qk.由以上分析，得解法4.

解法4由S10,S20-S10,S30-S20,…,S110-S100成等差數(shù)列,設(shè)公差為d′，則

S100=S10+(S20-S10)+…+(S100-S90)=

由S10=100,得d′=-22，于是

S110=S10+(S20-S10)+…+(S110-S100)=

解法4實際上構(gòu)造了一個新的等差數(shù)列，思路顯得更廣.

得

a11+a100=-2.

-110.

學(xué)生總結(jié)a11+a100=a1+a110，推廣至如p+q=m+n，則ap+aq=am+an；類比到等比數(shù)列可得ap·aq=am·an.

從以上解法可看出：對概念認(rèn)識得越清，產(chǎn)生的解法越簡捷，而最后一種解法揭示了問題的內(nèi)在涵義.

2 對上述教學(xué)特色的簡評

2.1 倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式

傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課一般是整理教科書中的內(nèi)容，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，鞏固基礎(chǔ)，回顧基本方法，訓(xùn)練基本技能.基本上是教師講、學(xué)生聽，學(xué)生主動性較差.而學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.而本節(jié)課正是以一道不起眼的“小題”為引子，深入挖掘，通過“一題多解”、“一題多變”等靈活多樣的形式進(jìn)行研究性復(fù)習(xí)，不僅有效地復(fù)習(xí)了數(shù)列這一章的基本知識，而且為學(xué)生創(chuàng)造許多創(chuàng)新的機(jī)會，學(xué)生思維得以優(yōu)化.

2.2 注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，著眼培養(yǎng)創(chuàng)新能力

本節(jié)的研究性復(fù)習(xí)是根據(jù)課本的脈絡(luò)，將復(fù)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)換為研究專題，主動獲取知識，應(yīng)用知識解決問題的學(xué)習(xí)活動，具有主動性、深刻性、開放性等特點(diǎn)，并把知識上升到數(shù)學(xué)思想.如例1中的解法1和解法2應(yīng)用方程思想，解法3應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；例2揭示an與Sn的關(guān)系理解數(shù)列和的本質(zhì)，例2中解法4應(yīng)用了嘗試、猜想、類比等方法，解法5是從思維深刻性轉(zhuǎn)到思維批判性.整個設(shè)計通過一道不起眼的“小題”創(chuàng)設(shè)情境，從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，鼓勵學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2.3 返璞歸真，強(qiáng)調(diào)本質(zhì)

數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理.通過例1這一典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).通過對這道不起眼的“小題”進(jìn)行“一題多解”、“一題多變”及類比、猜想、論證等，力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，又不失時機(jī)地揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，如例2中的解法5.

[1] 涂榮豹.談提高對數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(高中)，2006(1-2)：13-15.

[2] 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京：北京人民教育出版社，2003.