關(guān)于自然數(shù)倒數(shù)和的一個(gè)結(jié)論

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(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系 浙江寧波 315211) (富陽市第二中學(xué) 浙江富陽 311400)

關(guān)于自然數(shù)倒數(shù)和的一個(gè)結(jié)論

●陳計(jì)●許康華

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系 浙江寧波 315211) (富陽市第二中學(xué) 浙江富陽 311400)

定理存在無窮多個(gè)自然數(shù)n,使得bn<[1,2,3,…,n]成立.

為此,先證明以下引理.

引理對任意的自然數(shù)n,如果存在素?cái)?shù)p≥3,滿足(p-1)pk≤n

證明因?yàn)?/p>

根據(jù)Wolstenholme定理[1,2],當(dāng)p>3時(shí),有

定理的證明由于滿足(p-1)pk≤n

結(jié)合上述討論，筆者提出如下猜想：

猜想1存在無窮多個(gè)自然數(shù)n,使得bn=[1,2,3,…,n]成立.

單墫教授在文獻(xiàn)[3]中用初等方法給出了關(guān)于[1,2,3,…,n]的上下界: [1,2,3,…,n]<4n;當(dāng)n≥7時(shí),[1,2,3,…,n]>2n.

[1] 華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，1979.

[2] Hardy G H,Wright E M.An Introduction to the Theory of Numbers[M].Oxford Clarendon Press,1979.

[3] 單墫.趣味數(shù)論[M].北京:中國青年出版社,1987.