例析“5+4+2”解題算式及其教學

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(南京師范大學數學科學學院 江蘇南京 210046)

例析“5+4+2”解題算式及其教學

●胡玉霆

(南京師范大學數學科學學院 江蘇南京 210046)

如果說正確解題能夠使學生獲得成功的喜悅，那么通過解題獲得的認識力對學生的幫助無疑是潛在而持久的.葛軍副教授基于多年對解題教學的研究，提出“5+4+2”解題算式，轉變了為解題而解題的認識，打破了就題解題的單一活動形式，形成一個以解題為載體，充分發展學生數學思維的可持續發展的動態解題系統，以期發展學生的認識力，提高學生的思維水平.

1 “5+4+2”解題算式的涵義

1.1 對“5”的解析

解題的第一步是讀題.盡管不同解題者在理解題意的過程中所需要的時間不同，這取決于他們在讀題過程中反復捕捉題目信息的容量大小，但對于普通解題者而言，讀題過程需要5遍.

第1遍:“覽”.在讀題過程中，首要工作是對題目信息進行快速地文字掃描、瀏覽題設概貌.通過這一遍讀題，解題者可以快速將題目所涉及的知識點鎖定到相關范圍，起到定位的作用.

第2遍:“展”.在這一遍讀題中，題設中的每一個條件都將作為信息源，需要解題者逐句展開與每一個信息源相關的輻射信息.是對學生原有知識儲備情況的考查，一般情況下，知識儲備量越大，越有利于數學問題的解決.因此，在本次讀題中，主要是完成搜索相關知識點的任務.

第3遍:“聯”.本次讀題完成的主要任務是“聯接”，即各知識點的小組合、小聯接.解題者通過第2遍對每個信息源的“鏈接”，羅列出與本次解題任務可能相關的知識遠遠不夠，還需要將各個松散的知識點實質性的有機“聯接”在一起，構成一個個小的知識模塊.

第4遍:“順”.完成題目信息的充分挖掘后，在這一遍讀題中要求解題者能夠運用不同的解題策略，根據已知條件和所求結論，初步形成一條可以解決當前任務的較細的解題思路.

第5遍:“善”.通過前4遍讀題，大多數解題者認為已尋找到解題的思路，便匆匆提筆求解，這是危險而令人遺憾的.如果解題者每次都如此，那么他將一再錯失掉養成優化解題思路和完善思維的良好習慣的機會.甚至在很復雜的題目面前，因匆忙而混沌的思維狀態感到束手無策.因此，在這一遍讀題中，我們要求回顧完善，以形成清晰的可生長的解題思路.

可以看出，上述讀題過程環環相扣、層層深入，充分體現了讀題即解題的觀點和慢讀題的策略.當然，不同的解題者因感知題目信息的能力不同和思維運算簡縮性的差異，在讀題過程中，有些解題者用不著5遍即可完成讀題要求和解題任務，而有些解題者需要更多的讀題時間完成解題任務.因此，我們這里所說的5遍只是一個約數，具體的讀題次數將因人而異.

1.2 對“4”的解析

“4”即將解答寫4遍.書寫4遍的過程并不是機械的重復勞動，而是一個逐漸抽象、逐漸升華的過程.

第1遍:“粗”.解題者在對題目有了充分認識和理解后，開始著手書寫表述.在第1遍書寫時，需要解題者將解答過程大致地粗寫下來，但應該包括能夠求解的關鍵步驟，并不斷進行規范和補充.

第2遍:“全”.在第1遍書寫的基礎上，這一遍表述需要解題者將解答過程清楚而簡潔地完成作答，要求思路清晰、書寫規范.對于不同層次的學生而言，“全”是相對的:優等生可以只寫出求解過程的重要表述、主要步驟及必要結論；中等生需再現與解題相關的定理、公式和法則，解題步驟及主要的演算過程；差等生除了書寫出中等生要寫出的內容外，可能還需詳細呈現運算過程.

第3遍:“精”.除了簡單題目外，大多數題目都有多個關鍵步驟.在這一遍書寫中，解題者需要將題目解答過程中的關鍵步驟寫下來，這些關鍵步驟將反映出題目的走勢和推演是如何展開的.

第4遍:“點”.用一句話簡括出題目考查的核心思想和關鍵要點，點石成金.

同樣，在書寫的過程中，4遍也只是一個約數.對于數學解題能力較好的學生而言，他們可能在第1遍就能夠達到完整簡潔的書寫解題過程的要求,而對于數學解題能力較弱的學生，可能需要更多的時間.因此，書寫4遍的要求也將因人而異.

1.3 對“2”的解析

如果一個題目只有一條解題思路即可實施，那么這樣的題目并不是一道好題;如果一道題目能夠使具有不同解題偏好的學生通過自己擅長或熟悉的策略完成解題任務，那么這樣的題目才是值得我們研究和學習的.因此，在解法上應該追求一題多解.這里的“2”是解法數量的下限，即每道題目至少要有2種解法，當我們在完成一個解題任務時，切忌不能滿足現狀，要多思考其他方法，以求殊途同歸的效果.

2 “5+4+2”解題算式的應用

2.1 題讀“5”遍

2.1.1 析“覽”

瀏覽題目，進行初步的文字掃描.從題設可以看出，本題所涉及的是與橢圓、直線相關的問題，并由橢圓和直線的位置關系生成若干線段，所證明結論是3條線段成等比數列的數量關系.

2.1.2 析“展”

逐句斷讀，輻射題設信息.

(1)“在平面直角坐標系xOy中”，本句話交代了以O為原點的坐標系，體現了公眾題目的規范性.

(3)“過點A作直線l交橢圓于另一點Q，交y軸于點R，直線OP平行于直線l，點P在橢圓上”，這說明直線l是如何形成的，同時點Q，R，P的關系是知道其中一個便可確定其余2個的位置.因而也交代了線段AQ，AR，OP的形成及它們之間的關系.因此可以看作由于過點A的直線l的斜率變化引起點Q，R所在位置的變化；亦可以看作由于y軸上一點R的變化引起直線l的變化和點Q的變化.但不管把哪個點看作主動因素，它們之間的制約關系決定了它們之間的數量關系不會因位置的不同而改變.

(4)“直線OP平行于直線l”，即kOP=kl，過原點O，平行于l的直線與橢圓有2個交點，這就有2種情況，但由于2個交點關于原點中心對稱，即2個交點到原點的距離相等，故可任選其中一點為點P，對結果沒有任何影響.

2.1.3 析“聯”

在第2遍中,輻射的信息多而雜，但并不是每條信息對求解問題都有幫助，因此要根據題設條件和結論進行有目標的聯接.

直線斜率為主動因素，k的變化導致點R，Q的變化，從而導致AR，AQ的變化，同時也引起了OP的變化，但其最終滿足等比中項的數量關系沒變；并且點Q，P既滿足橢圓方程，又滿足各自所在的直線方程.這2條直線又因為斜率相同而產生了緊密聯系，故可以設出斜率k，分別將AQ，OP和AR表示出來.

另外，也可以換個視角將點R的坐標視為主動因素；或將點Q的坐標變化視為主動因素，將點P的坐標變化視為主動因素.依循上述思想，寫出AR，AQ，OP的不同表達式，從而得到3個思想平行而結論相同的結果.

2.1.4 析“順”

理順前面思索的線路.設直線l的斜率為k;用點斜式寫出直線l的方程;令x=0，確定直線l與y軸的交點R的坐標;表示出線段AR;將直線l與橢圓方程聯立，用弦長公式得到線段AQ;已知斜率相同和原點O,得出直線OP的直線方程y=kx;將直線OP和橢圓方程聯立得點P，從而確定線段OP;分別求得3條線段后，化簡得AR·AQ=2OP2.

2.1.5 析“善”

在第4遍的基礎上，完善解題思路的形成，并形成一條清晰的解題思路.同時可以比較第3遍中不同視角下，AQ，AR和OP表達形式的繁簡情況，擇出一條書寫簡單、計算簡便的解題思路.在例1中,如果選用設點R，Q，P的坐標，再通過坐標表示出直線斜率的方法將出現分數形式，這為后續計算增添了困難，沒有直接設斜率為k求解來得簡便，因此優選設法仍確定為斜率k.

2.2 書寫“4”遍

2.2.1 析“全”

本例省略第1遍“粗寫”，從第2遍“全”開始，即完整書寫出解答過程.

證明當直線斜率不存在時，不合題意.

方法1設直線l的斜率為k，則直線l的方程為

y=k(x+a).

令x=0，得y=ka，因此點R的坐標為(0，ka).又因為點A的坐標為(-a，0)，所以

又由題設得OP∥AQ，于是直線OP的方程為y=kx，從而點P滿足

即

(b2+a2k2)x2-a2b2=0，

可得

由y2=k2x2，可得

因而

(2)

由題設得點Q的坐標滿足

即

(b2+k2a2)x2+2a3k2x+a4k2-a2b2=0，

于是

(3)

由式(1)，式(2)，式(3)得

AR2·AQ2=4OP4，

故

AR·AQ=2OP2，

2.2.2 析“精”

本題的關鍵步驟有：

(1)用點斜式設出直線l的方程，即

y=k(x+a)；

(2)將直線l的方程與y軸聯立得到線段AR，即AR2=(1+k2)a2；

(3)由題意設出線段OP所在的直線方程，并與橢圓方程聯立得到線段OP，即

2.2.3 析“點”

“點”出題目的題眼、所涉及的知識點及解題策略.通過這一遍的簡括，提煉出題目的實質和精髓，切勿讓題目中的非本質信息干擾自己.

(1)直線與直線相交，AQ與y軸相交得點R.

(2)直線與二次曲線相交，OP與橢圓相交，是一條過原點的直線，得到正比例函數；AQ與橢圓相交，是一般直線方程，得到一次函數.

(3)兩點間的距離公式——直線上兩點的距離公式(弦長公式)，因此

2.3 題解“2”遍

2種及其以上解法，并比較各解法的優劣.本例將分析用韋達定理和因式分解求根的優劣，以及整體化求根的思想.

2.3.1 韋達定理與因式分解

本例是一道計算型證明，需要分別算出AQ，AR，OP這3條線段的模，其中AQ的模最復雜.題目條件是已知點A的坐標(-a，0)以及直線方程和曲線方程，只需再求出點Q的坐標，進而算出線段AQ，聯立方程后，得到點A,Q的橫坐標(縱坐標)是以x(y)為未知數方程的2個根.當其中一點的坐標已知時，一定可將方程化成2個根式，即(x-x1)(x-x2)=0或(y-y1)(y-y2)=0，從而求出另一根.

當然，也可以用韋達定理求解，將兩根之和或兩根之積表示出來，再求另一根.在具體題目中，2種方法的選擇沒有固定要求，因題而異.在本例中，采用因式分解的方法更適宜.

(1)因式分解法.由

消去y得

即

提出公因式(x+a)，可得

解得

(2)韋達定理法.由

消去y得

整理得

因此

故

從上述2個解題過程看來，當已知2個根中的一根時，可以用因式分解求解另一個根，計算過程較之韋達定理更為簡捷.

2.3.2 整體化思想

消去y得

即

提出公因式(x+a)，可得

從而

故

2.3.3 其他方法

方法2設點R的坐標為(0，r)，則

且直線AR的方程可表示為

聯立方程

消去y得

即

提出因式(x+a),得

由于點Q的坐標滿足方程組，且x≠-a，因此

得

于是

(5)

即

即

故

(6)

由式(4)、(5)、(6)可得

AR·AQ=2OP2，

方法3設點P的坐標為(acosθ，bsinθ)，θ∈[0，π)∪(π，2π)，則

令x=0，則點R的坐標為(0，btanθ)，于是

點Q滿足

消去y得

整理得

(x+a)[x-a+tan2θ(x+a)]=0，

從而

所以

又

3 “5+4+2”解題算式的教學建議

3.1 樹立信心,堅持不懈

據上述闡釋和分析可見，認真完成并達到解題算式的要求并非易事，在學習初期更是如此.因此，實施解題算式教學的首要問題是幫助學生樹立自信，要有隨時受阻的預見性和克服困難的決心.同時，無論是讀題、書寫，還是從多角度看問題，教師都應該堅持讓學生盡可能地發揮，直至在學生已有水平上思考完全.這個過程是漫長而困難的，教師和學生切勿操之過急.只有抓住每次鍛煉思維的機會，才能將隱形的成效顯著地作用于更加靈活且深刻的題目中.

3.2 分級提示,逐步啟發

解題算式強調讀題即解題的觀點，通過反復品題訓練學生思維的靈活性和開放性.但不是每個學生都能自己從不同角度讀出題設信息，因而教師對學生要有充分的預設和恰當的引導.通過由遠及近的分級提示，激活學生已有的知識和方法，豐富學生看問題的角度.

3.3 留足時間,琢磨通透

學生對解題的認識往往停留在求出答案或作出證明上，草草做完一遍后又投入到新的解題任務中去，并不斷抱怨題量大、任務重、難度高，甚至在做了大量練習后，不會的題目還是不會，會做的題目因時隔久遠也變得模棱兩可.

解題算式要求學生對一個問題、甚至一類問題打通吃透，教師要從觀念上改變題海戰術，盯住一個題目的各個方面反復研究，并將相關聯的知識點和方法技巧同步研究.這需要教師留出足夠的時間讓學生思考，通過解一個題目，達到會一類題目的效果.

3.4 交流解法,博采眾長

“5+4+2”解題算式強調從不同視角出發，選擇不同的解題策略，因此每個題目在不同層面上都會有不同的處理方法.不管學生是解題方法的不同，還是具體演算方法的不同，甚至是典型的錯誤，教師都應鼓勵學生相互交流.這不僅可以提高學生解題的自信心，預防可能出現的錯誤，而且有利于拓展學生的視野,豐富學生的思維,激發學生深入探究的欲望和情緒,營造一個良好的學習氛圍.

4 結束語

不可否認，“5+4+2”解題算式是一個包含了不同角度看問題的視角、慢讀細品的琢磨、不同策略的選擇、以及自編題目再創造多方面的過程.這對教師的教學提出了更多的挑戰，也對學生的解題提出了全新的要求.因而在教學相長的動態學習過程中，教師應該不斷加強自身的教學水平和解題能力，用包容和學習的心態接受學生的“奇思異想”，充分尊重和鼓勵學生的認識，并適時給予修正和改進.