“無窮小的比較”的定義及其改進

潘建輝, 鄧志穎,2, 楊春德

(1.重慶郵電大學數理學院,重慶 400065; 2.蘇州大學數學科學學院,蘇州 215006)

“無窮小的比較”的定義及其改進

潘建輝1, 鄧志穎1,2, 楊春德1

(1.重慶郵電大學數理學院,重慶 400065; 2.蘇州大學數學科學學院,蘇州 215006)

“無窮小的比較”的現有定義有多種表述形式,但其中不少表述尚不夠準確,有失嚴謹,甚至會導致錯誤命題的出現.引入“基”概念可使無窮小及無窮小比較的定義更為嚴謹、簡潔、一般化.將無窮小量按含0值點的不同情況分為2類,有利于找出“無窮小的比較”現有定義中存在的問題.通過調整大前提,解決了定義項與被定義項外延不一致的問題;通過轉除為乘,解決了定義項中分母不能為0的問題.改進后的3種定義形式可滿足不同教學層次的教材需要.

無窮小量;階的比較;定義改進;外延;基

函數的漸近行為可用函數的比較來刻畫,而無窮小的比較又是函數比較中的關鍵與核心.因此,在函數的漸近理論中,如何用簡潔的數學語言給無窮小的比較下一個科學的定義,就顯得十分重要.

現有《數學分析》《、高等數學》和《微積分》教材,對無窮小比較的定義,可謂是五花八門,林林總總.然而,其中不少定義卻不夠嚴謹.若以此為前提,則將推出一些奇怪的命題.如,由α是β的高階無窮小,未必有β是α的低階無窮小,但由α是β的低階無窮小,則必有β是α的高階無窮小;當x→0時,x與不是同階無窮小;等價無窮小不具自反性;等等.那么,這些定義到底存在什么問題,又該如何對它們進行修正呢?為此,我們首先來認識無窮小.

1 無窮小的定義及分類

為了用簡潔的數學語言給無窮小與無窮小的比較下一個更為一般的定義,先要介紹由現代法國數學家嘉當(Cartan)所創立的濾子極限理論中的、在拓撲學和數學分析中常用以定義收斂的一個叫做“濾子基”,簡稱“基”的概念.

1.1 基[1].

由集合X的某些子集B?X組成的集族B,稱為集合X中的基,假如它滿足兩個條件：

(1)?B∈B(B≠?);

(2)?B1∈B,?B2∈B,?B∈B(B?B1∩B2).

即族B的元素不是空集,并且任二元素之交都含有族的某個元.

分析中常見的基有：點a∈R的去心鄰域組成的基(記為x→a),由無窮的鄰域組成的基(記為x→∞),點a在集合E中的去心鄰域組成的基(記為x→a∈E,包括單側逼近的情況),在集合E中的無窮鄰域組成的基(記為x→∞∈E,包括數列的情況),平面上給定點的開圓組成的基等.

將“基”引入極限概念中,至少有三個優點.一是不必將各種情況下的極限定義一一羅列出來;二是使極限涉及的內容更為一般化,為不是在數集上定義的函數,也提供了應用極限理論的可能性.如,曲線長就是在某一曲線類上定義的一個數值函數,如果對于折線知道了這個函數,那么我們再利用極限過渡就能定義更復雜的曲線(如圓周)的長;三是不必對每種具體形式的極限過程去一一驗證和形式地證明有關極限的定理.

1.2 無窮小的定義.

現有教材給無窮小所下的定義有多種形式,但絕大多數定義的外延還不夠寬泛,且形式也不夠簡潔.為避免這兩個問題,可從“基”的角度對它作如下定義：

1.3 無窮小的分類.

為更好地研究無窮小的比較,有必要對它進行適當的分類.根據極限過程中函數是否必有0值點,可將無窮小分成兩類[3]：

(ii)否則,若在任何“時刻”后(除極限點外),f(x)總有零值點,則稱f(x)為第2類無窮小.

如,x2和xsin分別是當x→0時的第1類和第2類無窮小.特別地,若f(x)≡0,則在任何趨勢下,f(x)的極限均為0,故0是唯一為常數,且是屬于第2類的無窮小量.

2 無窮小比較的現有定義及由此產生的奇怪命題

2.1 現有教材關于無窮小比較的定義.

盡管我國的《數學分析》《、高等數學》和《微積分》教材關于無窮小的比較的定義有多種形式,但它們所采用的理論體系基本一致.這些定義的主要區別在于,它們所包含的小項數不同,以及其中等價無窮小定義外延的差異.大多數《高等數學》和《微積分》教材,給無窮小比較所下的定義包含5條內容,且其中同階無窮小的外延基本一致.如：

定義1[4-5]設α和β都是在同一自變量的變化過程中的無窮小,又lim是在這一變化過程中的極限,

大多數《數學分析》教材給無窮小比較的定義與定義1相比,都有所改進.有的將定義1中的(i)和(ii)合并為(i),將(iii)的定義范圍大為擴展,并去掉了第(iv)條,形成共包含3條的定義,如文[6]和[7];有的還給出了有界的概念,如文[8].但是,這些定義的嚴謹程度還是不夠高,仍需改進.

2.2 現有定義衍生出的奇怪命題.

以上定義都或多或少存在不夠嚴謹的問題,但相對而言,類似定義1的表述其嚴謹程度最低,會衍生出較多的奇怪命題.如：

(i)一個無窮小可能無法與其自身比較階的高低.如,xsin,當x=(n=±1,±2,…)時,其

(ii)當α是β的高階無窮小時,β未必是α的低階無窮小.由定義1的(i)知,當x→0時,x2sin是比x高階的無窮小,但不能由(ii)得知x是比x2sin低階的無窮小.

(iv)若α是無窮小,則αk(k＞0)不一定是α的k階無窮小.如,當x→0時,(xsin)2不是xsin的2階無窮小,理由同(i).

(v)一個無窮小與其自身可能不等價.如,當x→0時,按照定義1的(v),不能說xsin與xsin是等價無窮小,理由同(i).

(vi)解決某些簡單的極限問題,用等價代換法、羅必達法和泰勒展開法等重要方法可能都會失效.如,證明“當x→0時,是比x高階的無窮小”時,這三種方法均無用武之地[9].

3 奇怪命題產生的原因與定義的改進

出現以上奇怪命題的原因何在,又該如何改進這些定義呢?

3.1 原因分析.

原因1 類似于定義1的表述并非嚴格意義上的科學定義.既然無窮小包含兩類,那么無窮小的比較就可能出現三種情況：第1類與第1類、第2類與第2類、第2類和第1類的比較,但定義1的極限式中,因分母不能為0,故第(i)條只能是第1類與第1類或第2類與第1類相比,其他各條都只能是第1類和第1類的比較.這樣,每一條定義都是將被定義概念的外延縮小了,使得它們的定義項都只是被定義項成立的充分而非必要條件.因此,它們未達到科學定義的要求,均非嚴格意義上的數學定義.

原因2 定義1中第(i)與第(ii)條不可能等價.如前所述,第(i)條可以是按第1類與第1類、第2類與第1類的次序比較,但第(ii)條只能是按第1類與第1類的次序比較.因此,兩者所涵蓋的比較類型不完全相同,故不可能等價.

原因3 定義1第(iii)條中,極限值為非0常數時,只是無窮小同階的特殊情況.事實上,同階需要滿足的條件比這個要弱許多,甚至當兩個無窮小商的極限不存在時,它們也可能同階.如,按后面改進后的定義,當x→0時,x與,甚至與x(2+sin)等都是同階無窮小.

3.2 定義的改進.

方案1縮小比較范圍,取消低階定義,擴大同階外延.即

(i)增加大前提β≠0(注：這里的β是關于自變量的函數,β≠0是指在極限過程中β無0值點),使定義項與被定義項中對應無窮小的范圍(外延)一致.

(ii)刪去定義1的第(ii)條.第(ii)條不僅在第(i)條的基礎上縮小了無窮小的比較范圍,而且還會使高階與低階的關系不完全協調一致.因此,有畫蛇添足之嫌,應刪去.

(iii)擴大同階無窮小比較的范圍,即是將第(iii)條中的條件lim=c≠0適度弱化.

(iv)第(iv)條在實際應用中并不多見,可刪掉.即使要定義,嚴格來說,也應仿照本方案第(iii)項來處理.因此,可將定義1改進為：

定義2與定義1相比,雖已改善了許多,但還有一個明顯的缺點,就是當β有0值時,α與β是否可比較和怎樣比較的問題尚未得到解決,因此還需改進.

方案2擴大定義項中無窮小的比較范圍,使之與被定義項中無窮小比較的可能范圍一致.即在定義3的基礎上,增加定義項中β=0的內容,將定義2改進為：

但定義3還是有缺點,它僅適用于數集上定義的無窮小的比較,且形式還不夠優美.其中的Δ與?U(Δ)的具體形式需加以說明,但又不易說清楚.因此,有必要進一步改進.

方案3借“基”定義,轉除為乘.就是為使定義涵蓋的外延更廣,需借助“基”的概念給無窮小的比較下一個更為一般的定義;同時,為避免0作除數,需轉除為乘,使0值與非0值包含在同一個式子里.這樣,可將定義3改進為：

3.3 定義的幾點補充說明.

最后,對以上定義作幾點補充說明：

(ii)改進后的以上3個定義,分別適用于不同教學層次的需要.定義2可用于經管類的《微積分》和較低要求的《高等數學》教材;定義3適用于一般要求的《高等數學》教材;定義4則適用于數學專業《數學分析》教材,且定義4可增加“函數有界”等概念.

(iii)并非只有無窮小才可比較階的高低,一般函數也可比較,甚至可等價代換.這只需取消定義中“α與β是無窮小”的限制條件即可.

(iv)濾子極限理論可將各種紛繁復雜的極限理論納入到一個統一體系,并且它是將現代數學的一些概念與古典數學分析相結合的一個范例.因此,將“基”概念引入到“無窮小的比較”定義中,還有利于高等數學與數學分析教學內容的“現代化”,有利于學生對其他后繼數學課程的學習.

[1] (俄羅斯)卓里奇.數學分析(第一卷)[M].4版.蔣鐸譯.北京：高等教育出版社,2006：112.

[2] 朱時編.數學分析札記[M].貴陽：貴州教育出版社,1994：155.

[3] 成立社.等價無窮小替換定理的一點注記[J].鄭州工業大學學報,1998,19(2)：123-126.

[4] 《高等數學》教材編寫組.高等數學[M].長沙：湖南教育出版社,2006：56.

[5] 車向凱,謝崇遠.高等數學(上冊)[M].北京：高等教育出版社,2005：43.

[6] 華東師范大學數學系.數學分析(上冊)[M].3版.北京：高等教育出版社,2001：60.

[7] 呂冠國,等.數學分析(上冊)[M].北京：科學出版社,2006：45.

[8] 趙煥光,林長勝.數學分析(上冊)[M].成都：四川大學出版社,2006：57.

[9] 龔冬保.高階無窮小與低階無窮小[J].高等數學研究,2000,3(3)：16.

On the Definitions of“Comparison of Infinitesimal”And Their Improvements

PA N J ian-hui1, D EN G Zhi-ying1,2, YA N G Chun-de1
(1.College of Mathematics and Physics,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China; 2.School of Mathematical sciences,Suzhou University,Suzhou 215006,China)

There are a lot of definitions about“comparison of infinitesimal”in current text books,but some of them are not precise or strict enough,and they go so far as to cause incorrect theses.The definitions of infinitesimal and comparison of infinitesimal can be more strict and terse and concise with conception of“base”.It’s favorable for finding out problems from current definitions of“comparison of infinitesimal”to classify infinitesimals in 2 categories by the situation of their points of zero.The problem that the extension of defining term and defined term is not the same can be solved by readjusting the major premise;and the problem that the denominator of fraction can not be zero may be solved by transforming division into multiplication.The three definitions improved may satisfy the needs of teaching material for different teaching series.

infinitesimal;comparison of order;definition improvement;extension;base

O171;G642.3

C

1672-1454(2011)03-0204-05

2008-08-28;[修改日期]2008-12-11

重慶郵電大學自然科學基金項目(A2008-46)