《工科數學分析》開放式教學探討

楊小遠, 李尚志, 孫玉泉, 薛玉梅, 楊卓琴, 楊義川

(北京航空航天大學數學與系統科學學院數學、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

《工科數學分析》開放式教學探討

楊小遠, 李尚志, 孫玉泉, 薛玉梅, 楊卓琴, 楊義川

(北京航空航天大學數學與系統科學學院數學、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

全面介紹了北京航空航天大學《工科數學分析》課程開放式教學的探索和實踐.

課程建設;開放式教學;開放式作業

1 大學一年級學生面臨的問題

對于剛剛走進大學的中學生來講,大學的學習應該說是真正意義上學習的開始.中學期間數學的內容和知識面都是很淺的,但是由于高考競爭的殘酷,中學期間的數學學習主要是大量的題海訓練.在這個過程中,老師教會學生各種各樣解題技巧,然后學生在進行類似問題題海訓練,導致學生思維方式不開闊,喜歡套路子想問題,許多數學問題求解不是學生自己體悟出來,更多是教出來.每個中學生的背后都有一個強大的“團隊”,這個團隊有各科老師事無巨細的教學,各種家教等等,因此導致學生學習依賴性過強,自主性學習習慣沒有養成,缺乏獨立思考問題和對未知問題的探索能力.面臨這些大學生,高等教育面臨兩個基本任務.一是從依賴性的學習方式到自主性學習方式的轉變,二是從中學以做題為主的思維方式到形成開放思維方式的轉變.《工科數學分析》實際上是從中學到大學轉變學習方式和思維方式承上啟下的一門課程,因此就目前面臨的問題,我們就《工科數學分析》課程的教學內容、教學方式進行深層次的探討和實踐.

2 關于《工科數學分析》課程開放式教學的探索

我們授課學生的群體是工科專業的學生,如何加深數學教學內容,一直是我們面臨的主要問題.對工科的學生來講,他們更關心“數學有什么用,它能幫助我們解決什么問題”.因此在教學內容和教學模式上應該與傳統數學系的學生有所區別.在工程應用領域真正需要用到的具體數學分支,具體的數學定理、公式和結論,其實并不很多,學校里學過的數學知識很多都似乎沒有派上什么用處,但所受的數學訓練,所領會的數學思想和精神,卻無時無刻不在發揮著積極的作用,成為取得研究成功的最重要因素.數學是一門高度抽象的學科,但是它不是人類精神純粹自由創造和想像,而是源于自然和工程問題.如果將教學僅僅看成是一般數學知識的傳授,那么即使講授再多的定理和公式,可能仍免不了淪為一堆僵死的教條,難以發揮作用,而掌握了數學的思想方法和精神實質,就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論,顯示出無窮無盡的威力.因此僅僅將數學作為知識來學習,而忽略了數學概念本質的背景就失去了開設數學課程的意義.在教學過程中除了教授經典課程內容以外,進行開放式教學的探索,增強數學應用背景的講授,拓寬學生的知識面,了解數學學科在科學研究領域的重要性,為學生打開數學與應用的窗口.在整個課程的講授過程中作了系列開放式講座,我們以下面10個專題為例進行說明.這里詳細介紹第一個專題講座,其余概括性的介紹.這些講座的主要特點都是以問題驅動的研究性教學.

i)Taylor公式與科學計算

Taylor公式是微積分的經典內容,為此我們為學生開設了《Taylor公式與科學計算》專題講座.通過Taylor公式在導數數值計算的簡單應用,闡述了Taylor公式科學計算中的應用.首先通過一個算例介紹計算機實現導數計算存在的問題.以問題驅動的教學,會激發學生對未知問題的探索能力和興趣.

表1 導數計算結果

這里我們采用近的計算公式:

從表1我們發現:當h=0.2時計算效果最佳,h取得比0.2小時,計算的效果越來越差,學生看到這些計算實例,對計算結果感到很驚訝.這個現象與我們的設想有著“天壤之別”.按照導數的定義,h越小應該計算精度越高.原因是用計算機表示任何數字只能是有限位,因此任何運算都會有舍入誤差,當h取得非常小時,上述公式出現兩個相近數字相減,使得有效數字減少,因此導致表1的計算結果.面對這樣的問題,如何解決?應用Taylor公式構造更高精度的計算公式,也即是計算數學領域著名的外推算法.

由Taylor公式,可以得到如下:

可見公式(2)比(1)提高了精度.用類似的方法構造序列:

得到更精確的導數計算公式.我們展示給學生一個實際算例:

例2 計算f(x)=cotx在x=0.004導數值,其中f′(0.004)=625.33344002.

表2 導數的外推計算結果

從表2可以看出h=0.0016時,用(1)計算僅有二位有效數字,經過外推計算以后,G4有效數字達到了7位,因此大大提高了精度.學生對表2的計算結果非常感興趣,感覺到獲得了“不可思議"計算結果,體會到了數學在科學研究中的重要作用.

利用類似的思想,我們給出推廣更一般結論,李查遜外推(Richardson).Richardson外推在科學計算領域中被廣泛應用于研究高精度的算法.掌握了外推的思想以后,學生能夠在高階導數以及定積分的數值計算中實現高精度的數值算法.通過上面的教學實踐,學生對Taylor公式有了全面深刻的認識并能夠解決一些實際問題.通過講座學生了解科學計算中必須充分重視舍入誤差對計算結果的影響,這也是科學計算面臨的重要研究課題.以問題驅動的研究性教學增強學生應用數學的能力.

ii)Taylor公式進一步思考——關于分段函數的應用

通過分析Taylor公式逼近函數的局限性,給出改進的幾種逼近的思路和思想,包括拉格朗日插值和樣條逼近等目前逼近論研究的幾個問題,這些內容詳細推導可以給學生推薦相關書籍,自己進一步學習.同學們認識到分段函數不是數學家杜撰出來的,是實際問題中需要這類特殊函數,實際上任何數學分支都不是人類純粹的精神想像,而是來源于實際問題.

iii)連續函數壓縮映射問題的討論

在數學分析中有一經典習題,連續函數的壓縮映射定理.我們引深教學內容,講了不動點理論在非線性方程求根中的應用.我們給出許多實際的算例,讓學生分析對不同的壓縮映射函數,得到不同迭代方法的收斂速度問題.學生們利用無窮小階的運算知識給出了幾種收斂速度的定義.學生不僅加深對連續函數的認識,同時學會用無窮小階運算描述數學問題.為了進一步開拓學生的思路,讓學生有更多的想像空間,在課堂上介紹了如果不動點是一幅圖像會怎么樣?在此基礎上我們介紹了不動點理論在分形圖像壓縮中的應用,闡明創新思想的重要性.

iv)從傅里葉級數談起

傅立葉級數部分內容學生學起來,普遍感覺計算量大,對教學內容不感興趣,學生們對一個簡單的函數展成傅里葉級數感到“莫名奇妙”.在教學過程中作了一次專題講座,主要內容如下：傅里葉級數提出的應用背景即傅里葉級數的根本意義.在傅里葉級數基礎上,從離散到連續我們講了傅里葉變換.在此基礎上介紹傅里葉變換的缺點,更進一步,介紹了小波變換.在課堂上我們沒有講解具體的小波變換數學表達式,只講解小波變換基本思想和它如何克服傅里葉變換的缺點.同時以汶川地震為例介紹傅里葉變換和小波變換在航空航天遙感圖像分析與理解領域的應用.當我們從這樣一個視角介紹傅里葉級數時,學生自然對傅里葉級數產生了興趣.

v)極值問題中拉格朗日函數與優化理論初步

數學分析中極值問題中一個重要的結論是拉格朗日函數.在講完多元函數極值基本理論方法以后.我們給出幾個極值問題的例子.實際上這些例子最終都是求解一個非線性方程組.教材上的例題最終非線性方程組都可以求精確解.我們沒有停留在這一點上,進一步給出一個復雜問題,相應的非線性方程組解析解求不出來,怎么辦?因此我們介紹了數值優化理論這一計算數學重要分支.最優化理論的基本問題就是在拉格朗日函數基礎上的數值求解,介紹目前研究現狀和面臨的挑戰性問題.

vi)常微分方程數值計算

數學分析課程中常微分方程內容就幾類典型方程求解析解,內容簡單,學生容易理解和接受.我們在課堂上主要講授了分離變量法和二階線性方程組的解法.在此基礎上我們介紹常微分方程的數值解法和一些基本問題,通過簡單例子介紹常微分方程面臨的一個挑戰課題：剛性問題的求解.

vii)場論中一些數學問題

積分學的三大定理：GREEN定理,GAUSS定理,STOKES定理,學生就其數學形式普遍理解很好,但是在物理和力學應用背景下描述,往往很陌生.因此在教學中通過引入梯度算子,散度算子,旋度算子等和形式計算的技巧,讓學生更深刻了解利用數學工具描述工程領域中問題的重要性.

viii)關于可積理論的進一步思考

函數積分的理論主要是如何判斷一個函數滿足什么樣的條件是可積分的,一般的數學分析書主要講授是達布上和與下和定理,但是這個定理并沒有直觀解釋函數滿足什么條件是可積分的.我們啟發學生,連續函數可積,若有限個間斷點可積,這些都可以證明.我們留給學生一個思考題目：函數到底有“多少”個間斷點可積?學生一開始普遍認為只有有限個能保證可積.我們啟發學生想如果間斷點是在一個收斂數列,結論是否成立?學生證明了這個結論.在這個基礎上我們初步介紹至多可數集合和零測集合等概念,在此基礎上介紹Lebesgue定理和相應新的數學分支.很多學生對上述概念產生了濃厚的興趣,他們了解數學學科的博大精深.通過這樣的訓練引導學生對科學問題的探索、鉆研精神.

ix)關于柯西定理的進一步思考

數學分析課程中有數列收斂的柯西定理,函數極限存在的柯西定理,函數一致連續的柯西定理,數項級數收斂的柯西定理,函數項級數一致收斂的柯西定理,廣義積分一致收斂的柯西定理.這些定理都是數學分析中的精彩內容.學生學習多了容易引起概念和理解的混亂.在學期末,我們讓學生重新認識和理解柯西定理,講解這些定理刻畫問題的共性特征,學生的思路變得清晰和自然,同時我們要求學生想一想柯西定理就在我們身邊應用的例子.

x)數學分析中“一致"概念的直觀理解

數學分析中有一個重要的教學內容是有限次運算法則(極限運算、連續運算、可導運算、可積運算,廣義積分運算)能否將有限次運算推廣到無限次運算.這些教學的內容難點是“一致”概念,包括函數一致連續,函數序列和函數項級數的一致收斂,廣義積分的一致收斂.對這部分內容的學習,學生感到“頭疼”,最主要的原因是對這些概念沒有真正理解.因此在講解這些概念的同時,我們借助多媒體教學給學生大量一致連續函數和不一致連續函數的幾何圖像,使得學生從直觀上理解一致連續函數和不一致連續函數的區別.對函數序列和函數項級數的一致收斂,廣義積分的一致收斂也是同樣的處理方法,讓學生從根本上理解這些概念.在學生理解這些概念以后,在講“一致”帶給我們“好處”,也即是相應的基本理論和結論.

xi)微積分在實際問題中綜合舉例

適當增加了微積分在經濟,生物,航空航天等應用領域的例子.通過這些綜合應用類型的例題,將數學建模的思想引入教學過程,讓學生體會解決一個實際問題的全過程：數學建模—求解方法—結果分析全過程.讓學生感覺數學的親切,不再是象牙塔里高不可攀的陽春白雪,數學就在我們身邊.

盡管上面教學內容占據一些學時,可以通過對經典數學分析教學內容進行提煉,壓縮一些學時,同時由于采用多媒體教學,因此開放式教學內容完全可以實現.

3 關于《工科數學分析》課程開放式作業的探索

數學是一門推理和思考型的學科.數學最富有吸引力也是最本質的就是她的思想.在教學過程中學習新的概念和知識時,要強調這些知識來源和數學家如何思考和解決問題,引導學生與數學大師思想對話.但是數學思想是不可能像填鴨那樣灌輸給學生.能否較好把數學思想介紹給學生,要求是雙向的.既要求老師善于講,也要求學生有興趣,肯思考.著名科學家牛頓在被問到是什么使得他發現了萬有引力定律時,其回答非常簡單：“By thinking on it continually”.幾乎所有的偉大發現都歸功于不斷的思考.愛因斯坦說過：“Imagination is more important than knowledge”.數學家韋爾斯(Andrew Wiles)十年磨一劍攻克費爾馬大定理,就是從小就迷上了這個世界難題.物理學家弗里希(Frisch)“科學家必定有孩童般的好奇心,一個成功的科學家,必須保持這種孩提時的天性”.一些重要的數學理論和方法,在一開始往往是混亂粗糙、難以理解甚至不可思議的,經過許多乃至幾代數學家的努力,有時甚至經過長期的激烈論爭,才逐步去粗取精、去偽存真,最終才出現了現在為大家公認的系統的理論.數學教育要創造一種環境,使同學身臨其境地介入數學的發現或創造過程,鼓勵并推動學生解決一些理論或實際的問題.這些問題沒有現成的答案,沒有固定的方法,沒有指定的參考書,甚至也沒有成型的數學問題.主要靠學生獨立思考、反復鉆研并相互切磋,去形成相應的數學問題,進而分析問題的特點,尋求解決問題的方法.總之,讓學生親口嘗一嘗梨子的滋味,親身去體驗一下數學的創造過程對培養學生獨立思考問題的能力是非常重要的.

在教學過程中,我們陸續給學生留一些開放式的作業如下：

1)歐拉常數是有理數或是無理數?(公開問題);

2)討論一個有序代數結構完備性,阿基米德性,稠密性,加法交換律,加法結合律,乘法交換律,乘法結合律之間的關系;

3)結合實數完備性定理說明對極限定義及實數連續性的理解;

4)舉新例說明數列及數列極限的應用;

5)壓縮映射原理的進一步思考和應用;

6)利用Taylor定理討論二階導數的外推計算;建立π的快速收斂算法;

7)研究克服Taylor定理局部逼近更好的多項式逼近方法;

8)研究更精確的正項級數收斂判別方法;

9)關于Canchy定理的進一步思考,舉例Canchy定理就在我們身邊的例子;

10)若干微積分在經濟、生物、天文等應用領域中的綜合應用例題建模求解;

11)對教材中某些感興趣的定理、習題的多種解法和更一般結論的探討.

4 教學方法探討

數學分析內容龐大,因此在教學過程中不要追求事無巨細和面面俱到,需要我們精講核心和本質的內容.如果覺得教學內容個個重要,不分輕主次,反而使得學生不得要領.因此在教學過程中我們要注意許多共性的問題,提煉精華,這樣才能使得學生學得精通.同時在教學過程中,注意給學生留出思考的空間,啟發學生,促成養成思考的習慣.如果每堂課程80%的講授內容,要留出20%的內容自學和思考.讓學生隨著課堂內容,與老師的教授同步進行思考,只有這樣,才能培養學生不墨守成規,富于開拓精神,為學生創造一個有利于思考的環境.

5 結束語

本文全面介紹了我?！豆た茢祵W分析》課程開放式教學的探索和實踐.鑒于文章的篇幅有限,沒有附學生開放式作業.我們將在有關期刊陸續展示學生的開放式作業.在教學實踐過程中,學生獨立思考能力和推理能力正在逐步形成,學生的潛力是巨大的,通過高質量的本科教學,他們完全可以承擔國家未來科技重任.

Opening Teaching and Practice for Mathematical Analysis

YA N G Xiao-yuan, L I S hang-zhi, SUN Yu-quan, XU E Yu-mei, YA N G Zhuo-qin, YA N G Yi-chuan
(School of Mathematics and System Sciences,Beihang University Xueyuan Road 37,Haidian District,Beijing 100191,China)

This paper fully introductions opening teaching and practice of mathematical analysis of engineering course of the Beijing University.

courses construction;open teaching;open problem

O13;G420

C

1672-1454(2011)03-0001-06

2009-12-17

北京市精品課程建設項目(430341);校重點教改項目《工科數學分析開放式教學研究與實踐》