多元函數有無窮多個駐點時的極值問題

王積建

(浙江工貿職業技術學院基礎部,浙江溫州 325003)

多元函數有無窮多個駐點時的極值問題

王積建

(浙江工貿職業技術學院基礎部,浙江溫州 325003)

討論了二元函數和三元函數在有無窮多個駐點時的極值的判定方法,并進一步介紹了該判定方法在證明不等式方面的應用.

多元函數;駐點;極值;偏導數

多元函數在一般情況下求極值時,是先找其駐點,即令所有一階偏導數為零,求解方程組得到駐點,進一步驗證駐點是不是極值點.我們的問題是,在一定條件下,函數有無窮多個駐點,它們位于一條曲線上,極值問題怎樣處理.例如,函數f(x,y)=x2+y2-2xy,顯然對任何實數x,y,f(x,y)有極小值0.但根據二元函數求極值的方法有

即直線y=x上的所有點都是f(x,y)的駐點,在每一個駐點上-fxxfyy=0均成立,這說明用現有的方法不能判定此類情況.為了方便,我們把滿足多元函數所有偏導數為零的無窮多個點所在的曲線稱為該多元函數的駐線.如y=x為f(x,y)=x2+y2-2x y的駐線,y=±為f(x,y)=sin(x y)的駐線.

假設f(x,y)具有二階連續偏導數,如果f(x,y)有駐線,即方程組

有曲線解,設為x=φ(t),y=ψ(t),進一步設此駐線為光滑曲線,如果簡記二階偏導數在(φ(t),ψ(t))的值為fij(i,j=1,2),則有

對所有的t成立.這是關于φ′(t),ψ′(t)的線性方程組,因而有非零解的充要條件為

在駐線上處處成立.

同樣地,設三元函數F(x,y,z)具有二階連續偏導數,如果F(x,y,z)有駐線,設x=φ1(t), y=φ2(t),z=φ3(t)為F(x,y,z)的光滑駐線,如果簡記二階偏導數在(φ1(t),φ2(t),φ3(t))的值為Fij(i,j=1,2,3),則有

對所有的t成立.這是關于φ′1(t),φ′2(t),φ′3(t)的線性方程組,因而有非零解的充要條件為

在駐線上處處成立.總之我們有以下定理.

定理1 如果具有二階連續偏導數的函數f(x,y)有光滑駐線:x=φ(t),y=ψ(t),則⑴式成立,其中fij(i,j=1,2)為f(x,y)的二階偏導數在(φ(t),ψ(t))的值.如果具有二階連續偏導數的函數F(x,y,z)有光滑駐線:x=φ1(t),y=φ2(t),z=φ3(t),則(3)式成立,其中Fij(i,j=1,2,3)為F(x,y,z)的二階偏導數在(φ1(t),φ2(t),φ3(t))的值.

例1 考慮三元函數

一般情況下,二元函數f(x,y)在駐點處成立f2xy-fxxfyy＜0時有極值.而三元函數在駐點處有極值的充分條件為矩陣

在駐點處為正定的.顯然例1中的函數H和K均不滿足矩陣(4)為正定.下面的兩個定理來分別解決二元函數和三元函數有駐線時取極值的條件.

定理2 設具有二階連續偏導數的函數f(x,y)有光滑的駐線C:x=φ(t),y=ψ(t),如果對所有的t,

成立,則f(x,y)在C上取得極大(小)值.

證在平面內過C上任一點(φ(t0),ψ(t0))及其附近一點(x0,y0)引一條直線

其中λ為任意常數.在空間內⑸式為一平行于z軸的平面,它與z=f(x,y)的交線的參數方程為

時取極大(小)值.

證過三維空間內曲線C上任一點(φ1(t0),φ2(t0),φ3(t0))任意引一平面π:

其中Fij(i,j=1,2,3)表示F的二階偏導數在(φ1(t0),φ2(t0))處的值.由于(2)對t=t0成立,以及φ′1(t0),φ′2(t0),φ′3(t0)不同時為零,不妨設φ′3(t0)≠0,則根據(2)有

由定理3容易得到例1中的函數H=x2+y2+z2-xy-yz-x x有極小值0;函數K在C1上無極值,在C2上有極大值;在C3上有極小值.

例2 證明下列不等式

由定理2,3知f,F,g在其駐線上分別取極小值,極大值和極小值,從而不等式(7),(8),(9)成立.

[1] 陳治中.線性代數[M].北京：科學出版社,2001：182-183.

[2] 朱培勇,黃家琳.數學分析(下冊)[M].成都：四川大學出版社,2002：91-93.

[3] 北京大學數學力學系.高等代數[M].北京：人民教育出版社,1978.

The Extremum Problems of Function of Several Variables When They Have Limitless Stationary Points

WA N G J i-jian
(Zhejiang Industrial&Trade Polytechnic,Wenzhou,Zhejiang 325003,China)

The article elaborates the judging methods of the extremum when bivariables and tri-variables have limitless stationary points.It gives further introduction about the application of such judging merhods to prove inequalities.

function of several variables;stationary point;extremum;partial derivatives

O172.1

C

1672-1454(2011)03-0189-05

2008-07-14