較弱條件下一個全局隱函數存在性定理的證明

趙曉東

(四川民族學院數學系,四川康定 626001)

較弱條件下一個全局隱函數存在性定理的證明

趙曉東

(四川民族學院數學系,四川康定 626001)

給出泛函分析中一元全局隱函數存在定理在較弱條件下的證明,與以前的證明相比,得到的證明層次清晰易于理解和掌握.

全局隱函數;存在定理;壓縮映射原理

隱函數存在性定理是數學分析和泛函分析中的重要定理,在非線性控制論,機械力學和其他工程技術應用中是非常重要的工具.

在教材[1,P188]中,利用壓縮映射原理證明了一個如下全局隱函數存在定理.

引理1 設函數F(x,y)在帶狀區域

中處處連續,且處處有關于y的偏導數Fy(x,y),如果還存在常數m,M,滿足

則方程F(x,y)=0在區間[a,b]上必有唯一的連續函數y=f(x)作為解:

在以上引理1中,第一個條件“設函數F(x,y)在帶狀區域a≤x≤b,-∞＜y＜+∞中處處連續”減弱為“設函數F(x,y)在帶狀區域a≤x≤b,-∞＜y＜+∞中關于第一變量處處連續”,而其它條件不變,得到如下新的定理.

定理1 設函數F(x,y)在帶狀區域

關于第一變量x處處連續,且處處有關于y的偏導數Fy(x,y).如果還存在常數m,M,滿足

則方程F(x,y)=0在區間[a,b]上必有唯一的連續函數y=f(x)作為解:

本文也利用壓縮映射原理,證明了定理1是成立的,證明層次清晰易于理解和掌握.

為了證明定理1,回顧壓縮映射和壓縮映射原理.

定義設X是度量空間,T是X到X中的映射,如果存在一個數α,0≤α＜1,使得對所有x,y∈X,都有d(Tx,Ty)≤αd(x,y)成立,則稱T是X中的壓縮映射.

引理2(Banach壓縮映射原理) 設X是完備度量空間,T是X上的壓縮映射,那么T有且只有一個不動點(就是說,方程Tx=x,有且只有一個解).

定理1的證明

證對?x0∈[a,b],在完備度量空間R上定義映射:

現證明T是壓縮映射.

任取y1,y2∈R,由微分中值定理[2],存在θ,0＜θ＜1,滿足

故映射T:R→R是壓縮映射.由Banach壓縮映射原理,存在唯一的y0∈R滿足Ty0=y0,即

也就是說F(x0,y0)=0.

取f(x0)=y0,由x0∈[a,b]的任意性,就得到[a,b]到R的唯一映射f∶y=f(x),滿足

下證y=f(x)是連續的.

任取x1,x2∈[a,b],由上面的證明,存在y1=f(x1),y2=f(x2),滿足

所以,由以上兩等式和微分中值定理有

[1] 程其襄,等.實變函數與泛函分析基礎[M].2版.北京：高等教育出版社,2003：188.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析(下冊)[M].3版.北京：高等教育出版社,2001：146.

[3] 周宗福,蔣威.隱函數存在定理的新證明[J].大學數學,2007,23(5)：137-138.

A Proving of a Global Implicit Function Existence Theorem under Weaker Conditions

Z HAO Xiao-dong
(Department of Mathematics,Sichuan University for Nationalities,Kangding,Sichuan 620061,China)

Present a proving of a global implicit function theorem under weaker conditions in functional analysis as compared with preceding proving,the proving of obtaining has distinct arrangement,is prone to apprehend and take the reins.

global implicit function;existence theorem;principle of contracting mapping

O177,O178

C

1672-1454(2011)03-0173-03

2008-11-24

四川省教育廳自然科學基金資助項目(2003A168)