為“線性代數與空間解析幾何”課程開發數學建模教學插件研究

黃廷祝, 張 勇

(電子科技大學數學科學學院,成都 610054)

為“線性代數與空間解析幾何”課程開發數學建模教學插件研究

黃廷祝, 張 勇

(電子科技大學數學科學學院,成都 610054)

論述了數學基礎課中開發數學建模教學插件的必要性和應用前景,并結合線性代數與空間解析幾何課程中線性變換知識、數學建模、Matlab數學軟件設計開發了教學插件,提出了開發過程的設計思想.

線性代數;線性變換;數學建模;教學插件;Matlab數學軟件

1 引 言

在數學基礎課程的教學改革中,比如,由于“微積分”、“線性代數”等課程內容多,課時緊,很多情況下,教師的教學都難以擺脫一種灌輸的教學,這樣的教學不利于培養學生的創新性思維.為了開創新的教學模式,提升教學效果,目前廣泛開展的“數學實驗”和“數學建?！闭n程取得良好的效果.而這些課程的開設往往和這些基礎課分開開設.在形式上造成一定的脫節.如果能夠在基礎課的教學過程中,就直接利用“數學實驗”和“數學建模”課程中的好的教學形式和教學設計思想,那么必將產生更直接更快捷的效果.

為了便于配合基礎課程教學,我們陸續開發數學建模教學插件.在數學基礎課教學乃至專業課教學中,開發數學建模教學插件的有這樣一些好處：

(i)增加學生對相關知識的認知程度;

(ii)有利于學生熟悉課程知識的應用背景、應用過程;

(iii)讓學生早期接受初期的實踐課題,啟發創造性思維.

另外,這些教學插件內容簡練,相對獨立,可以選擇性的應用.比如,以一個甚至多個知識點結合一個實際應用問題的建模過程開發插件.

下面我們先討論數學建模的應用過程和特性,再結合實例探討開發過程.

2 發揮數學建模培養創新思維的優勢

對于數學建模在數學基礎課程中的重要性和應用實踐有較多論述,其應用的必要性、重要性,實踐的有效性得到了廣大師生的認同,其應用價值有目共睹.

數學建模教學及其在其他課程中的教學實踐之所以產生如此廣泛的良好影響,與其本身蘊含的特性分不開.數學建模的基本過程由問題分析、問題簡化、模型建立、模型求解、模型檢驗、模型應用組成.這個過程也就是科研和工程中解決問題的一般過程,可以讓學生盡早進入科研與工程實踐.將這些實踐教學用于學生學習大學低年級數學基礎課,可以大大提高學生對數學的學習興趣,認識到數學的重要性,有利于創新性思維.

3 教學插件的開發

3.1 知識點與實際問題的選擇.

在教學插件的開發之前,需要在線性代數教學中的一些難點中選擇知識點,并結合恰當的實際問題開發插件.比如,可以選擇線性相關性、特征值與特征向量、線性變換等內容開發插件.在整個開發過程中,選擇恰當的實際問題顯得較難.另外,如果選擇的問題求解過程可以通過直觀的方式進行展示,則得到的教學效果會更好.

3.2 開發過程.

下面以線性變換作為知識點,以2D圖形與游戲開發為實際背景,探討一個教學插件的開發過程.

(i)問題描述及問題背景.

假定現在要在平面上旋轉一個物體,需要繪制物體的旋轉過程.由于繪制過程需要知道物體上各點的坐標,而旋轉過程中物體上點的坐標是不斷變化的.因此,繪制過程需要跟蹤物體坐標的變換.

問題可以歸結為已知旋轉角度θ,旋轉前P點的坐標為(x,y),計算旋轉后點坐標的為P′(x′,y′).這里P點代表任意待旋轉的點.

(ii)分析與建模.

為了計算矩陣M,不妨先從特殊點或向量的旋轉開始分析.設u=(1,0)T,v=(0,1)T.u和v可以看作x軸正向,y軸正向的單位向量,也可以看作為x,y軸上兩個點的坐標.同時也是2D空間中的一組基向量.設u′,v′分別為u,v旋轉后的向量.

將u和v代入(1),可得

由(2),(3)式可知,所求旋轉矩陣M得第1列,第2列恰好分別是基向量u,v旋轉后的向量.因此找出u,v旋轉后的u′,v′,分別填入旋轉矩陣的第1列,第2列即得旋轉矩陣M.

(iii)模型求解.

下面計算u′,v′.

記旋轉角度逆時針方向為正,順時針方向為負.則在已知u,v逆時針旋轉θ后的向量u′,v′如下(見圖1)

圖1 基向量的旋轉

(iv)應用演示.

在這個階段將模型的求解過程以及應用過程用直觀的動畫形式進行演示.

以一個旋轉一個單位正方形的過程來描述,并用Matlab設計動畫演示,動畫效果見圖2,圖3:

圖2 旋轉后的圖形重疊

圖3 旋轉,后的圖形重疊

(v)探索階段.

前面的推導只就如何求出旋轉變換矩陣而展開,還沒有挖掘其深層次的含義和用途.因此,為了升華所學知識,可以給出以下幾個問題供學生探索,開展創新性思維訓練,培養創新實踐能力:

①先旋轉角度θ1,后旋轉角度θ2的最后圖形效果應該等同于一次旋轉角度θ1+θ2,能否結合旋轉變換矩陣M進行論證.

②請結合旋轉變換矩陣的幾何意義,用一句話概括構造旋轉變換矩陣的方法.

③如果在繪圖過程中需要撤銷剛實施的旋轉變換,應該如何變換點的坐標,恢復旋轉前的圖形?

當然,還可以啟發學生去探索,如何將這里的結論推廣到3D空間中繞坐標軸的旋轉.

4 應用前景

顯然,我們開發的教學插件內容豐富又精煉,融合了數學模型、數學建模過程及其應用的線性代數基本知識,內容具有綜合性強、涉及面廣,可以在較短時間內讓學生體會到數學知識應用的樂趣,體會到解決實際問題的思路和過程.既能讓學生盡早接觸實際問題,又能讓學生較快地接受解決問題的思維訓練,有利于培養學生的創造性思維.有利于促使學生開展研究型學習,也有利于開展研究型教學.目前不少綜合性大學都在由教學型大學向研究型大學轉變,教師教學思維的轉變和培養是關鍵,同樣,培養研究型學習的學生同樣重要.因此,利用數學建模教學插件在基礎課程,乃至專業課程中進行應用,有利于這些目標的實現.

我們相信,發揮數學建模課程本身的實踐性和諸多優點,將其用于其他課程的實踐將為我們實現創新性人才培養發揮重要作用.

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O151.2;TP311.52

C

1672-1454(2011)03-0161-03

2008-10-06

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