一類二階Emden-Fowler型中立型時滯微分方程的區間振動性

張 靜, 陳 目

(1.廣州市紡織服裝職業學校,廣東廣州 510310; 2.廣東體育職業技術學院,廣東廣州 510663)

一類二階Emden-Fowler型中立型時滯微分方程的區間振動性

張 靜1, 陳 目2

(1.廣州市紡織服裝職業學校,廣東廣州 510310; 2.廣東體育職業技術學院,廣東廣州 510663)

對一類二階Emden-Fowler型中立型時滯積分方程

利用Riccati技巧和積分平均法,給出了一些判定其解振動的充分判據.這些判據僅依賴于方程的系數在[t0,∞)的區間列的性質,而非整個[t0,∞)上的性質.最后,我們給出實例以闡述主要結果的有效性.

振動;中立型時滯微分方程;積分平均法

1 引 言

考慮到二階Emden-Fowler型中立型時滯微分方程

這里x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ).我們假設下面條件成立：

(A1)τ和σ1,σ2是非負常數,α,β是正的常數且0＜α＜1＜β;

(A2)q1,q2∈C([t0,∞),R+),R+=(0,+∞);

(A3)p∈C([t0-θ,∞],R),-1＜p0≤p(t)≤1,p0是一個常數.

我們默認,對任何φ∈C([t0-θ,t0],R),θ=max{τ,σ1,σ2},方程(1.1)有一個解y(t),滿足初始條件y(t)≡φ(t),當[t0-θ,t0)時,并且延展到[t0,∞)(Hale[6]).出于振動性的環境考慮,我們關注方程(1.1)存在于[ty,∞)上的那些解y=y(t),且sup{|y(t)|∶t≥T}＞0,對任意T≥ty成立,并滿足方程(1.1).如通常定義,方程的一個解稱之為振動的,如果它有任意大的零點.否則就稱為非振動的.如果方程(1.1)的所有的解都是振動的,則方程(1.1)稱為振動的.對于方程(1.1),如果q1(t)≡0,稱之為超線性,而當q2(t)≡0時,稱之為次線性.

自20世紀70年代以來,隨著以中立型泛函微分方程為數學模型的應用課題的大量涌現(如博弈論,細胞中酶反應動力學等),人們對中立型泛函微分方程的研究工作越來越重視,并取得長足的進展.中立型方程是一類形式相當廣泛的泛函微分方程,有著廣泛的應用背景,Hale[6]的末尾給出了許多實際應用實例.例如,中立型方程在高速計算機連接開關電路的無耗損傳輸網絡中有著其實際應用背景,因而對中立型方程的解的性質的研究,不但對其本身的發展有著理論意義,而且在應用上同樣有著重要意義.近30年以來,對中立型方程的振動性的研究,受到人們的廣泛關注,并得到許多成果,見文獻[1,3,5].最近,文[13]文獻[2]和[4]關于二階Emden-Fowler方程

正如文[13](注4)指出的,尋找方程(1.3)及其特殊形式的方程的振動性判定方法,仍然是十分有意義的.對Emden-Fowler中立型時滯方程

最近,Saker[10],Saker and Manojlivic[11],和徐[14]對方程(1.1),(1.3)和(1.4)給出了一些判定定理.然而,文[10,11,13,14]所建立的判定定理均涉及方程系數函數q,q1,q2在整個半直線[t0,∞)上整體性質.然而,Kong在文[8]中指出,方程的振動性問題,實際上是區間性質.即僅當研究方程的在一列有界區間列上性質,而無須考慮系數函數在[t0,∞)的其余部分的性質.這種性質的振動性定理稱之為區間振動準則.Kong在[8]中對二階線性方程

給出了第一個漂亮的區間振動定理.最近,Yang在[15]把文[5]的結果推廣到了一類二階中立型時滯方程.

本文受文獻[8,9]的啟發,借用Riccat技巧和平均積分技巧,給出了幾個關于方程(1.1)的區間振動定理,也就是說,這里的準則僅依賴于方程(1.1)(或a(t),q1(t),q2(t))在區間[t0,∞)的子區間的性質.我們的結果改進和推廣了[10,14]的成果,最后,我們給出兩個實例,以說明本文結果的有效性.

2 主要結果

在這一節,我們將在條件0≤p(t)≤1和-1＜p0≤p(t)＜0下建立kong-type型振動定理.為符號簡便,我們引入下列記號.

下面的引理將被用來證明方程(1.1)的振動準則,它的證明見[12]中引理1(α=1).

引理2.1 設A0,A1,A2∈C([t0,∞),R)),并且A2＞0,ω∈C1([t0,∞),R)).如果存在區間(a,b)?[t0,∞),使得

情形(C2).設y(t)是方程(1.1)的非振動解.不失一般性.我們假設y(t)＞0對t≥t0.進而,類似于文[15]的引理(12)證明,可存在t1＞t0使得(2.5)成立.進一步得,可找到T0使得(2.6)成立.注意到y(t)＞x(t),就有y(t-σ1)≥x(t-σ2),對t≥T0.由此可知,(1.1)可變形為

情形二：-1＜p0≤0.注意Q2(t)≥2q1(t).余下證明相似于情形一.因此,由定理2.5,方程(3.1)是振動的.

[1] Agarwal R P,Grace S R,Regan D O.Oscillation theory for second order dynamic equations[M].London：Taylor &Francis,2003.

[2] Arkinson F V.On second order nonlinear oscillation[J].Pacific J.Math.,1955(5)：643-647.

[3] Bainov D D,Mishev D P.Oscillation theory for neutral equations withdelay[M].New York：Adam Hilger IOP Publishing Ltb.,1991.

[4] Belohorec S.Oscillatory solution of certain nonlinear differential equations of the second order[J].Math.Fyz. Casopis Sloven.Akad.Vied.,1961(11)：250-255.

[5] Erbe L H,Kong Q,Zhang B G.Oscillation theory for functional differential equations[M].New York：Marcel Dekker,1995.

[6] Hale J K.Theory of functional differential equations[M].New York：Springer-Verlag,1977.

[7] Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].2 edition.Cambridge University Press,1988.

[8] Kong Q.Interval criteria for oscillation of second order linear ordinar differential equations[M].J.Math.Anal. Appl.,1999(299)：258-270.

[9] Philos Ch G.Oscillation theorems for linear differential equations of second order[M].Arch.Math.(Besel), 1989(53)：482-492.

[10] Saker S H.Oscillation theorems for linear differential equations of Emden-Fowler type[J].Acta.Math.Hungar, 2003,100(1-2)：37-62.

[11] Saker S H,Manojlivic J V.Oscillation criteria for second order superlinear neutral delay differential equations[J]. Electron.J.Qual.Theory Differ.Equ.2004(10)：1-22.

[12] Tiryaki A,Basci Y,Gulec I.Interval criteria for oscillation of second order functional differential equations[J]. Comput.Math.Appl.,2005(50)：1487-1498.

[13] Wong J S W.Necessary and sufficient conditions for oscillation for second order neutral differential equations[J]. J.Math.Anal.Appl.,2000(252)：342-352.

[14] Xu Z.On the oscillation of second order neutral differential Equationof Emden-Fowler Type[J].Monastsh. Math.,2007(150)：157-171.

Interval Oscillation Criteria for Second-order Emden-Fowler Neutral Delay Differential Equations

Z HA N G J ing1, C H EN Mu2
(1.Guangzhou Textile and Garment Vocational School,Guangzhou 510310,China; 2.Guangdong Vocational Institute of Sport,Guangzhou 510663,China)

By using a generalized Riccati technique and an integral averaging method,interval oscillation criteria are established for the second-order Emden-Fowler neutral delay differential equation

oscillation;neutral delay differential equation;integral averaging method

O175.13

A

1672-1454(2011)03-0124-07

2008-08-01;[修改日期]2009-06-08