雙障礙冪型期權定價公式

孫江潔, 杜雪樵

(合肥工業大學數學學院,合肥 230009)

雙障礙冪型期權定價公式

孫江潔, 杜雪樵

(合肥工業大學數學學院,合肥 230009)

為了進一步完善障礙期權理論,更好地適應金融市場的需求,本文在完全市場條件下,利用連續時間的雙障礙冪型期權買權過程的鞅性和等價鞅測度變換的方法,得到了雙障礙冪型期權定價模型的顯式解.

雙障礙期權;冪型期權;鞅;停時;買權

1 引 言

近年來,國際金融市場上除了歐式和美式期權外,還涌現出大量由標準期權變化、組合和派生的新品種,即新型期權[1].它是通過改變股票結構,使股票價格變化依賴于股票價格路徑一種奇異期權.我們都知道,標準的歐式看漲(看跌)期權的支付函數均為股價的線性函數.但在金融工程事務及理論領域存在如下形式的支付函數:max{SαT-K,0},在這里,α＞0,為常數,K為執行價格,T為到期日,記冪函數SαT=(ST)α,設此冪函數為非負單增函數,它改變了股票價格的變化路徑,它是新型期權的一種.因為它是依賴股票價格的冪型函數變化路徑,所以它對股票價格變化的敏感性明顯增強,為了滿足部分投資者的喜好,為了盡可能避免少數投機者操縱投資市場,我們有必要對障礙期權和障礙冪型期權進行研究.如Merton(1973)[2]和Goldman et al(1979)[3]對單障礙期權進行了探索,2004年,李霞、金治明討論了障礙期權的定價問題[4].然而,對單障礙期權的自然推廣則是雙障礙期權的定價問題.于是,在2004年,張斌、韓萍利用鞅的方法討論了雙障礙期權定價問題[5];在2005年,李小愛對障礙平方期權進行了研究[6].同年,肖艷清、鄒捷中等得到了下降敲出的指數屏障期權定價公式[7].本文在這里主要研究了完全市場條件下,雙障礙冪型期權的定價公式.

2 金融市場的描述

假定市場是完全、無套利的,只有風險資產St和無風險資產p(t),其價值過程{St∶t≥0}和{p(t)∶t≥0}滿足如下微分方程:

這里{Bt}t≥0是帶σ-代數流的概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的標準布朗運動.μ,σ,r分別是股票瞬時期望受益率和波動率及無風險利率,且均為固定常數.令

由測度變換的Girsanov定理容易得到P＊為風險中性測度,且B＊t為P＊下的布朗運動.

引進記號:下障礙水平為L,(L＞0且L＜Sα0);上障礙水平為H,(H＞Sα0),假定H＞K,令

下面我們討論雙障礙冪型買權在到期日T的價值:

3 雙障礙冪型期權定價公式

定理在上述的條件下,雙障礙冪型看漲期權在到期日的價值為

在證明定理之前,先給出兩個引理:

引理1[5]各種假設和定義同上,如果風險資產St滿足(1)式,且支付函數為冪型函數時,雙障礙冪型期權買權貼現到0時刻的價值過程:{Cα(St∧τL∧τH,,t∧τL∧τH),0≤t≤T}是一個鞅.這里t∧τL∧τH?min{t∧τL∧τH}.

引理2[8]J是[a,b]的一個Borel子集,對于a＜0＜b,取c=b-a,有

定理的證明 由引理1可知,雙障礙冪型看漲期權在到期日的價值為

4 結束語

本文主要探討了雙障礙冪型期權的定價問題,并得到了在完全市場條件下,雙障礙冪型期權的定價公式.它進一步推廣了文獻[2-7]的結論.在一般市場上,情況比較復雜,有待進一步研究.

[1] 吳素琴,杜雪樵.上升敲出障礙期權二項式定價模型[J].合肥工業大學學報(自然科學版),2006,29(5)：500-502.

[2] Merton R.Theory of Rational option Pricing[J].Econ.Manag.Sci(Spring),1973,4(1)：141-183.

[3] G oldman M,Sosin H,Gatto M.Path dependent options：buy at the low,sell at the high[J].Finance,1979,34(12)：111-127.

[4] 李霞,金治明.障礙期權的定價問題[J].經濟數學,2004,21(3)：200-208.

[5] 張斌,韓萍.雙障礙期權的數學模型及其定價[J].新疆師范大學學報,2004,23(4)：36-40.

[6] 李小愛.障礙平方期權的定價[J].數學理論與應用,2005,25(2)：61-64.

[7] 肖艷清,鄒捷中.指數屏障期權定價模型[J].經濟數學,2005,22(4)：368-372.

[8] David A.Freedman.Brownian motion and diffusion[M].London：Cambridge university press,1970：31-37.

[9] Musiela M,Rutkowski M.Martingale methods in finanmcial modelling[M].New York：Springer-Verlag,2003：110-116.

The Pricing of Double-barrier Power

SUN J iang-jie, DU X ue-qiao
(School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)

It is proved the pricing formulas of double-barrier power options.By double-barrier buy power options is a martingale and means of martingale method in the complete market.It is further to improve the theory of barrier options to adapt the need of financial market.

double-barrier options;power option;martingale;stopping-time;Buy-option

O211.62

A

1672-1454(2011)03-0115-05

2008-02-25