二元矩陣有理插值函數的構造

杜偉偉

(安徽教育出版社,安徽合肥 230601)

二元矩陣有理插值函數的構造

杜偉偉

(安徽教育出版社,安徽合肥 230601)

一般構造矩陣值有理函數的方法是利用連分式給出的,其算法的可行性不易預知,且計算量大.本文對于二元矩陣值有理插值的計算,通過引入多個參數,定義一對二元多項式：代數多項式和矩陣多項式,利用兩多項式相等的充分必要條件通過求解線性方程組確定參數,并由此給出了矩陣值有理插值公式.該公式簡單,具有廣闊的應用前景.

二元矩陣值;有理插值;參數;方程組

1 引 言

設x0＜x1＜…＜xn;y0＜y1＜…＜yn,給定矩陣插值節點陣(xi,yj)及相應矩陣Aij=A(xi,yj)∈Rd1×d2(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m).

所謂二元矩陣值有理插值,就是尋求矩陣值有理函數

使之滿足條件

其中N(x,y)是矩陣多項式,D(x,y)是實系數多項式,Aij=A(xi,yj).

文獻[1]給出了二元Thiele型矩陣值有理插值的有關結果,也可以利用矩陣的行向量列展開概念,將二元向量值有理插值結果應用到矩陣值有理插值情形,給出二元矩陣值有理插值的算法.上述結果雖然很好,但不便于實際應用.

顯然wi(x)是n次多項式,wj(y)是m次多項式.記wij(x,y)=wi(x)wj(y).

定義2 對給定的(xi,yj)及相應的矩陣

2 二元矩陣值有理插值公式的構造

定理1 對于給定的插值節點(xi,yj)及相應的矩陣

且D(x,y)是n+m次二元代數多項式.

通過觀察,容易看出這種構造方式類似于二元Lagrange插值.下面通過例子給出算法的具體步驟.

表1

顯然,由(8)式構造的二元矩陣值有理插值函數次數較高.為了降低次數,引入參數αij(i=0,1,…,n; j=0,1,…,m),重新定義并仍記D(x,y),N(x,y)和βij(x,y).

下面給出降低分母多項式D(x,y)次數的方法.由(9)式知D(x,y)最高次項為axnym(a為常數),如果要降低1次,由多項式相等的充分必要條件,可令xnym項系數為零,便得方程(αij為未知量)

由此便得定理2.

定理2 對于給定的節點(xi,yj)及相應的矩陣值

且D(x,y)的類型和次數可根據需要確定.

注意,在構造二元矩陣值有理插值函數R(x,y)時,如果求解過程中存在i0,j0使得αi0j0=0,則R(x,y)在該點(xi0,yj0)處可能不會插值了;如果αij均為非零實數,則該R(x,y)必插值所有節點.

解 在例1中,如果要降低分母次數,希望D(x,y)=x+y-4.由分析知

需要指出的是,本文只給出了降低有理函數分母多項式次數的方法.分子是矩陣多項式,如何降低其次數是值得深入研究的.

例3 就例1已知條件,判斷分母形如D(x,y)=x+y+1的二元矩陣值有理插值函數是否存在.

解 與例2類似,考慮方程組但是發現α00=0時,R(x,y)不能插值其所對應的節點(x0,y0),而在其他點滿足插值條件.

由定義1易知,由(5),(6)和(8)式定義的矩陣值有理插值函數是[m+n,m+n]型的,由文獻[1]中

3 結束語

本文所構造的二元矩陣值有理插值函數類似二元Lagrange插值函數,其構造只考慮節點,不必關心所給的矩陣值.文中構造二元矩陣有理插值方法,具有直觀、簡單的特點,并且還可根據需要降低分母多項式的次數.以往的二元矩陣有理插值計算大多數是從連分式入手,從而構造出二元Thiele型矩陣有理插值,并且次數較高.本文在計算中都是使用簡單的代數知識,便于實際應用.

[1] Zhu G W,Tan J Q.A note on matrix-valuedd rational interpolant[J].Compute Appl Math,1999,110：129-140.

[2] Schneider C,Werne W.Some new aspects of rational interpolation[J].Math Comput,1986,47：285-299.

[3] 顧傳青,陳之兵.矩陣有理插值及其誤差公式[J].計算數學,1995,(1)：73-77.

[4] 蔣爾雄.線性代數[M].北京：人民教育出版社,1979.

[5] 王仁宏,朱功勤.有理函數逼近及其應用[M].北京：科學出版社,2004.

Method of Constructing Bivariate Matrix-valued Rational Interpolation Functions

DU Wei-wei
(Anhui Education Press,Hefei,Anhui 230601,China)

The well-known algorithms of constructing matrix-valued rational interpolations use continued fractions. Their applicability is not easily forecast and they need a large amount of calculation.In this paper,for calculation of bivariate matrix-valued rational interpolations,multi-parameters are introduced and a group of polynomials with two elements,that is an algebraic polynomial and matrix-valued polynomials,are defined.By using the necessary and sufficient conditions for polynomials identity,linear equations are solved to determine the parameters and the formula of the matrix-valued rational interpolation is given.The formula is simple,so that it has abright application future.

bivariate matrix-valued rational interpolation;parameter;system of equations

O241.3

A

1672-1454(2011)03-0110-05

2008-05-15