一類直線上自相似集的相似壓縮不動點的分布

劉 靜, 孫善輝

(宿州學院數學與統計學院,安徽宿州 234000)

一類直線上自相似集的相似壓縮不動點的分布

劉 靜, 孫善輝

(宿州學院數學與統計學院,安徽宿州 234000)

先構造了一類直線上的自相似集,研究了它的相似壓縮不動點的坐標公式.作為推論我們給出了三分Cantor集相似壓縮不動點的坐標公式,從而首次發現了它的相似壓縮不動點的分布規律.

相似壓縮不動點;三分Cantor集;坐標公式

2005年文[1]提出了相似壓縮不動點這一嶄新的概念,這為探討自相似集的結構提供了另一個研究方向.我們若可以找到自相似分形的相似壓縮不動點,便可以得到自相似集在相似壓縮不動點處的局部性質,從而又可以根據相似壓縮不動點的處處稠密推出自相似集的性質.可見研究自相似集的相似壓縮不動點是當今十分前沿的課題,對認識自相似分形的結構和推動分形幾何的發展都具有十分重要的意義.本文研究了一類直線上自相似集的相似壓縮不動點的分布,是繼相似壓縮不動點概念提出后的一個重大突破.

1 相關概念與已知結論

2 一類直線上的自相似集的構造

圖1 一類推廣的Cantor集的構造圖

3 E＊的相似壓縮不動點的坐標分布

下面我們就來探求E＊的相似壓縮不動點的坐標公式.

在證明定理1之前我們先考察E＊的第k級壓縮與第k+1級壓縮得到的相似壓縮不動點坐標之間的關系.

此時定理1結論也成立,綜上所述定理1成立.

由定理1我們能得到如下推論:

注 由推論1可以找到三分Cantor集的全體相似壓縮不動點的分布為

[1] Xu Shaoyuan.Connecting Hausdorff measure and upper convex density orHs-a.e.covering[J].J.Math.Anal. Appl.,2005,311(1)：324-337.

[2] Zhou Zuoling and Li Feng.Twelve open problems on the exact value of the Hausdorff measure and on topological entropy：abrief survey of recent results[J].Nonlinearity,2004,17(2)：493-502.

[3] 許紹元,周作領.關于滿足強分離開集條件的自相似集的Hausdorff測度[J].數學進展,2005,34(5)：545-552.

[4] 許紹元,許璐.關于三分Cantor集的構造的一個基本性質及其應用[J].數學實踐與認識,2001,31(2)：223-226.

The Exploration of the Contracting-similarity Fixed Points for a Kind of Self-similar Fractal on Straight line

L IU J ing, SUN S han-hui
(Department of Mathematics,Suzhou College,Suzhou,Anhui 234000,China)

We construct a kind of self-similar fractalE＊on straight line firstly,then we research the coordinate formula for the contracting-similarity fixed points ofE＊.As an application,we get the coordinate formula for contracting-similarity fixed points of the middle third Cantor set,so the distribution of the middle third Cantor set is found for the first time.

contracting-similarity fixed points;middle third Cantor set;coordinate formula

O189.1

A

1672-1454(2011)03-0066-04

2008-07-10

宿州學院自然科學研究項目(2009y2k26;2009y2k27)