拓?fù)淇臻g關(guān)于子基的分離性

劉德金

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東德州 253023)

拓?fù)淇臻g關(guān)于子基的分離性

劉德金

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東德州 253023)

在粗糙集理論研究中,覆蓋方法的應(yīng)用越來越受到重視,其中拓?fù)淇臻g的子集關(guān)于子基的內(nèi)部和閉包兩個概念尤為重要.本文在由它們導(dǎo)入的關(guān)于子基的開集,閉集的基礎(chǔ)上,給出了拓?fù)淇臻g關(guān)于子基的分離性概念,并研究它們的性質(zhì),得到分離性公理定義的一般拓?fù)淇臻g的進(jìn)一步分類.

子基;β開集;關(guān)于子基的正則空間;關(guān)于子基的正規(guī)空間;關(guān)于子基的完全正則空間

1982年波蘭人Pawlak在文[1]建立的粗糙集理論為數(shù)據(jù)挖掘和知識發(fā)現(xiàn)領(lǐng)域提供了不同于常規(guī)數(shù)據(jù)庫方法的一種有效而新穎的理論,在理論界產(chǎn)生了很大影響,使得粗糙集理論的實(shí)際應(yīng)用與理論探討成為當(dāng)前計(jì)算機(jī)科學(xué)中的一個熱點(diǎn)問題.粗糙集的研究已有很多出色的工作,文[2-6]研究了粗糙集的代數(shù)結(jié)構(gòu);文[7-8]研究了粗糙集的可測結(jié)構(gòu);文[9-11]研究了粗糙集與拓?fù)淇臻g的關(guān)系.文[12]將粗糙集理論推廣到覆蓋廣義粗糙集理論,隨后吸引了不少學(xué)者對覆蓋廣義粗糙集理論進(jìn)行了深入的研究[13-18].為了使粗糙集理論和覆蓋廣義粗糙集理論中的下近似集和上近似集都能分別地對應(yīng)于某一拓?fù)淇臻g子集的某種內(nèi)部和閉包,文[17]定義了拓?fù)淇臻g的子集關(guān)于子基的內(nèi)部和閉包;文[18]研究了拓?fù)淇臻g的子集關(guān)于子基的連通性概念.本文在文[17]引入的拓?fù)淇臻g關(guān)于子基的開集、閉集的基礎(chǔ)上,給出了關(guān)于子基的分離性概念,并研究它的性質(zhì),得到一般拓?fù)鋵W(xué)中分離性公理所定義空間的進(jìn)一步分類.

文中關(guān)于子基的內(nèi)部,閉包,開集,閉集,鄰域等概念均見文[17-18],Ti空間(i=0,1,2,3,4),正則空間,完全正則空間,正規(guī)空間等概念均見文[19],在此不贅述.

設(shè)X為非空集合,給定X上的拓?fù)銽,如果β是T的子基,則該拓?fù)淇臻g記為(X,T,β).

并且如果x的β鄰域是β開集,則稱其為β開鄰域.X的子集A的補(bǔ)集記為～A.

定義1 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,若x,y∈X,x≠y,x,y中必有一點(diǎn)存在一個β開鄰域不包含另一點(diǎn),則稱該空間為關(guān)于子基的T0空間,簡稱β-T0空間.

因?yàn)棣麻_集是開集[18],所以可知,β-T0空間是T0空間.

定理1 (X,T,β)是β-T0空間的充分必要條件是X中任意兩個不同的單點(diǎn)集有不同的β閉包.即若x,y∈X,x≠y,則Cβ({x})≠Cβ({y}).

證充分性.設(shè)x,y∈X,x≠y,若Cβ({x})≠Cβ({y}),則或者Cβ({x})Cβ({y})≠?,或者Cβ({y})Cβ({x})≠?.當(dāng)Cβ({x})Cβ({y})≠?時,必有x?Cβ({y})(因?yàn)槿魓∈Cβ({y}),則{x}?Cβ({y}),從而由[18]知Cβ({x})?Cβ({y}),于是Cβ({x})Cβ({y})=?).這推出x有一個不包含y的β開鄰域～Cβ({y}).同理,當(dāng)Cβ({y})Cβ({x})≠?時,y有一個不包含x的β開鄰域～Cβ({x}).故X是β-T0空間.

必要性.設(shè)X是β-T0空間.若x,y∈X,x≠y,則或者x有一個β開鄰域U使得y?U,或者y有一個β開鄰域V使得x?V.若屬于前一種情況,則U∩{y}=?,所以x?Cβ({y}),所以Cβ({x})≠Cβ({y});若屬于后一種情況,則V∩{x}=?,所以y?Cβ({x}),所以Cβ({y})≠Cβ({x}).

定義2 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,若X中任意兩個不同的點(diǎn)中每一個點(diǎn)都有一個β開鄰域不包含另一點(diǎn),則稱該空間為關(guān)于子基的T1空間,簡稱β-T1空間.

顯然,β-T1空間是β-T0空間,β-T1空間是T1空間.

例1 X={a,b,c,d},β={{a,b},{a,c},{c},{b,d}}.

β開集:?,{a,b},{a,c},{c},{b,d},{a,b,c},{b,c,d},{a,b,d},{a,b,c,d}.

易知X是β-T0空間.因?yàn)楹琩的β開集一定含b,所以X不是β-T1空間.

定理2 (X,T,β)是β-T1空間的充分必要條件是X中的每個單點(diǎn)集是β閉集.

證必要性.設(shè)X是β-T1空間,x∈X,則y∈X,y≠x,y有一個β開鄰域V使得x?V,即V∩{x}=?,所以y?Cβ({x}),所以Cβ({x})={x}.由文[17]定理3.6知{x}是β閉集.

充分性.設(shè)x,y∈X,x≠y,由條件{x},{y}都是β閉集,所以～{x},～{y}分別是包含y和x的β開集,～{x}不含x,～{y}不含y.所以X是β-T1空間.

定義3 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,若X中任意兩個不同的點(diǎn)各自都有一個β開鄰域使得這兩個β開鄰域互不相交,則稱該空間為關(guān)于子基的T2空間,簡稱β-T2空間.

由定義知,β-T2空間是β-T1空間,β-T2空間是T2空間.

例2(非β-T2空間的β-T1空間) 設(shè)X是一個包含無限多個點(diǎn)的有限補(bǔ)拓?fù)淇臻g,則比X僅少一個點(diǎn)的所有子集構(gòu)成的集族是X的一個子基,即β={X{x}|x∈X}是X的一個子基,因此X的每個單點(diǎn)集是β閉集,所以由定理2,X是一個β-T1空間.顯然任意兩個非空β開集都有非空的交,所以X不是一個β-T2空間.

注 若X是β-T1空間,點(diǎn)x∈X是X的子集A的β凝聚點(diǎn)[17],則x的β開鄰域U中不一定含A的無限多個點(diǎn).如在本例中,A={a,b},a,b∈X,則x∈X,x≠a,b,x是A的一個β凝聚點(diǎn),但x的任何β鄰域U最多含A的兩個點(diǎn).這與T1空間中子集A與其凝聚點(diǎn)的關(guān)系情況不同.

例3 實(shí)數(shù)空間R,子基β={(∞,b)|b∈R}∪{(a,+∞)|a∈R}.對任意兩點(diǎn)x,y∈R,x≠y,不妨設(shè)x＜y,取z=(x+y),則(∞,z),(z,+∞)是分別含x和y的兩個不交的β開鄰域,所以實(shí)數(shù)空間R是β-T2空間.

定義4 設(shè){xi}i∈Z+是拓?fù)淇臻g(X,T,β)中的一個序列[19],x∈X,如果對于x的每個β開鄰域U,存在M∈Z+使得當(dāng)i＞M時,xi∈U,則稱點(diǎn)x是序列{xi}i∈Z+的一個β極限點(diǎn)(或β極限),也稱序列{xi}i∈Z+β收斂于x,記作xi=βx,或xi→βx(i→∞).如果序列至少有一個β極限,則稱這個序列是β收斂序列.

定義5[18]設(shè)(X,T1,β)與(Y,T2,α)是兩個拓?fù)淇臻g,f∶X→Y.如果Y的每個α開集U的原像f-1(U)是X的β開集,則稱f為(β,α)連續(xù)映射.

因?yàn)閅中每個開集U是Y中子基α的有限個元素交的任意并,所以f-1(U)是α的有限個元素原象的交的任意并,而α的每個元素的原象是X的β開集,從而是開集,所以f-1(U)是X的開集,所以若f為(β,α)連續(xù)映射,則f為連續(xù)映射.

定理3 設(shè)(X,T1,β)與(Y,T2,α)是兩個拓?fù)淇臻g,f∶X→Y是(β,α)連續(xù)映射,則{xi}i∈Z+β收斂于x蘊(yùn)含著Y中序列{f(xi)}i∈Z+α收斂于f(x).

證設(shè)V是Y的包含f(x)的任意α開集,因?yàn)閒∶X→Y是(β,α)連續(xù)映射,所以f-1(V)是X的一個β開集,且x∈f-1(V),因?yàn)閧xi}i∈Z+β收斂于x,所以對于f-1(V)存在M,使得當(dāng)i＞M時xi∈f-1(V),從而f(xi)∈V.即對Y中包含f(x)的任意α開集V,存在M,使得當(dāng)i＞M時,f(xi)∈V.所以Y中序列{f(xi)}i∈Z+α收斂于f(x).

定理4 β-T2空間中的任何一個β收斂序列只有一個β極限點(diǎn).

證設(shè){xi}i∈Z+是拓?fù)淇臻g(X,T,β)中的一個序列,并且xi=βx,xi=βy.若x≠y,因?yàn)閄是β-T2空間,則存在β開集U,V使x∈U,y∈V,且U∩V=?.因?yàn)閤i=βx,所以對U,存在M1＞0使得i＞M1時,xi∈U;又因?yàn)閤i=βy,所以對V,存在M2＞0使得i＞M2時,xi∈V.取N=max{M1,M2},則當(dāng)i＞N時,xi∈U,xi∈V,這與U∩V=?矛盾.

定義6 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,如果對任意的x∈X和閉集B,x?B,存在β開鄰域U,V,使得x∈U,B?V,且U∩V=?,則稱X是關(guān)于子基的正則空間,簡稱β正則空間.

顯然,β正則空間是正則空間.

定理5 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,則(X,T,β)是β正則空間的充分必要條件是對每個x∈X和x的開鄰域U,存在x的β開鄰域W,使得x∈W?Cβ(W)?U.

證必要性.設(shè)U是開集,x∈U,則～U是閉集,且x?～U.由β正則空間的定義,存在β開鄰域W,V,使得x∈W,～U?V,且W∩V=?,所以W?～V?U.因V是β開集,所以～V是β閉集,即Cβ(～V)=～V,而W?Cβ(W)?Cβ(～V)=～V?U,所以x∈W?Cβ(W)?U.

充分性.設(shè)x∈X,B是X的閉集,x?B,所以x∈～B(X的開集),由條件存在β開集W使x∈W?Cβ(W)?～B,所以B?～Cβ(W),～Cβ(W)是β開集,且～Cβ(W)∩W=?,即存在β開集W和～Cβ(W)使x∈W,B?～Cβ(W),且～Cβ(W)∩W=?,所以X是β正則空間.

定義7 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,如果對X的任意兩個不交的閉集A,B,存在β開鄰域U,V,使得A?U,B?V,且U∩V=?,則稱X是關(guān)于子基的正規(guī)空間,簡稱β正規(guī)空間.

易知,β正規(guī)空間是正規(guī)空間.例2,例3所給空間不是β正則空間,也不是β正規(guī)空間.

例4 X={1,2,3},T={?,{1},{2,3},{1,2,3}},β={{1},{2,3}},顯然β開集族等于T,可知X是β正則,β正規(guī)空間.但X不是β-T0空間,從而不是β-T1,β-T2空間.

定理6 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,則(X,T,β)是β正規(guī)空間的充分必要條件是對X的任何一個閉集A和A的任何開鄰域V,存在β開集U,使得A?U?Cβ(U)?V.

證必要性.設(shè)A是X的閉集,V是開集,A?V,則～V是閉集,且～V∩A=?.因?yàn)閄是β正規(guī)空間,所以存在β開鄰域U,W使得A?U,～V?W,且U∩W=?,所以U?～W?V.因?yàn)閃是β開集,所以～W是β閉集,即Cβ(～W)=～W,所以A?U?Cβ(U)?Cβ(～W)=～W?V.

充分性.設(shè)A,B是X的任意兩個不交的閉集,即A∩B=?,則A?～B,～B是開集.由條件存在A的β開集U使A?U?Cβ(U)?～B.取V=～Cβ(U),則V是β開集,且B?V,U∩V=?.所以X是β正規(guī)空間.

定理7 設(shè)(X,T1)與(Y,T2)同胚,同胚映射是h.若β是T1的子基,則h(β)={h(A)|A∈β}是T2的一個子基;反之若α是T2的子基,則h-1(α)={h-1(B)|B∈α}是T1的一個子基.

證因?yàn)閔是同胚映射,所以只證:若β是T1的子基,則h(β)是T2的一個子基.

設(shè)B1={S1∩S2∩…∩Sn|Si∈β,1≤i≤n,n∈Z+},則B1?T1,B1是T1的基.記B2={T1∩T2∩…∩Tn|Ti∈h(β),1≤i≤n,n∈Z+},則B2?T2.若證h(β)是T2的一個子基,只需證B2是T2的一個基.

定理8 設(shè)(X,T1)與(Y,T2)同胚,同胚映射是h,若β是T1的子基,則若U是X的β開集,則h(U)是Y的h(β)開集;反之,若γ是T2的子基,V是Y的γ開集,則h-1(V)是X的h-1(γ)開集.

證由定理7和一一映射保并運(yùn)算以及關(guān)于子基的開集的定義可得.

注 由這兩個定理可見,兩個拓?fù)淇臻g同胚,則它們的子基對應(yīng)子基,關(guān)于子基的開集對應(yīng)于關(guān)于相應(yīng)子基的開集.

定理9 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,[a,b]是R的閉區(qū)間,α是[a,b]的子基.則X是β正規(guī)空間的充分必要條件是對X的任意兩個不交的閉集A和B,存在一個(β,α)連續(xù)映射f∶X→[a,b],使得x∈A時f(x)=a,x∈B時f(x)=b.

證 由于[a,b]同胚于[0,1],所以由上面的注可知對[a,b]=[0,1]證明即可.

我們知道S={(∞,b)|b∈R}∪{(a,+∞)|a∈R}是實(shí)數(shù)空間R的一個子基,則

是[0,1]的一個子基,其實(shí)易知α={[0,b)|b∈(0,1]}∪{(a,1]|a∈[0,1)}仍是[0,1]的一個子基.

必要性.設(shè)X是β正規(guī)空間,A,B是X中兩個不交的閉集,則存在β開集U,V,使A?U,B?V, U∩V=?.從而可知A∩Cβ(B)=?.

令QI=Q∩[0,1],即QI是[0,1]中的全體有理數(shù)構(gòu)成的集合.由于QI是一個無限的可數(shù)集,故有一個一一映射r:Z+→QI,因此可記QI={r(1),r(2),r(3),…},不妨設(shè)r(1)=1和r(2)=0.我們將每一個有理數(shù)r(n)∈QI,對應(yīng)A的一個β開鄰域Ur(n)使得滿足條件:

(i)Ur(1)=～Cβ(B);

(ii)如果r(n)＜r(m),則Cβ(Ur(n))?Ur(m).

現(xiàn)在按歸納方式定義A的諸β開鄰域Ur(n)如下:

首先令U1=Ur(1)=～Cβ(B).因A∩Cβ(B)=?,故A?～Cβ(B)=Ur(1),據(jù)定理6,任意選取U0=Ur(2)為A的一個β開鄰域,使Cβ(Ur(2))?Ur(1),此時易見Ur(1)和Ur(2)滿足以上條件(i),(ii).

對于n＞2,假定A的諸β開鄰域Ur(1),Ur(2),…,Ur(n-1)已經(jīng)定義,并且滿足上述條件(i),(ii),下面定義Ur(n):記在諸實(shí)數(shù)r(1),r(2),…,r(n1)中小于r(n)的各數(shù)中最大的一個為s,大于r(n)的各數(shù)中最小的一個為b.據(jù)定理6,選取Ur(n)為Cβ(Us)的一個β開鄰域使得Cβ(Ur(n))?Ub.

從Ur(n)的取法可見,A的諸β開鄰域Ur(1),Ur(2),…,Ur(n-1),Ur(n)仍然滿足上述條件(i),(ii).

根據(jù)歸納原則,A的諸β開鄰域Ur(1),Ur(2),…,Ur(n)已經(jīng)全部定義且滿足條件(i),(ii).

定義映射f:X→[0,1]使得對任何x∈X,

顯然,如果x∈A,則由于x∈U0(=Ur(2)),所以f(x)=0.如果x∈B,因?yàn)锽?Cβ(B),則根據(jù)f的定義便有f(x)=1.

下面證f是(β,α)連續(xù)的.

要驗(yàn)證f是(β,α)連續(xù)的,根據(jù)逆映射保并運(yùn)算和β開集的任意并仍是β開集[18],只需證明α中每個元素的原像是X中的β開集即可.

(i)對任何a∈[0,1),f-1((a,1])是X中的β開集.

定義8 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,α是R的子空間[0,1]的子基.如果對任意的x∈X和X的任一閉集A,x?A,存在(β,α)連續(xù)映射f∶X→[0,1],使得f(x)=0,以及對每個y∈A,f(y)=1,則稱(X,T,β)是關(guān)于子基的完全正則空間,簡稱β完全正則空間.

易知,β完全正則空間是完全正則空間.

定理10 β完全正則空間是β正則空間.

證設(shè)(X,T,β)是β完全正則空間,x∈X,A?X,A是閉集,x?A.由條件存在(β,α)連續(xù)映射f∶X→[0,1],使得f(x)=0,以及對每個y∈A,f(y)=1.因?yàn)閇0,1]的子基是

定理11 每個β正則且β正規(guī)的空間一定是β完全正則空間.

證設(shè)(X,T,β)是β正則且β正規(guī)的空間.對于任意的x∈X,設(shè)A是X的一個閉集,且x?A,所以x∈～A,～A是開集.因X是β正則空間,所以對x和x的開鄰域～A,存在x的β開集W使x∈W?Cβ(W)?～A,所以Cβ(W)∩A=?,因β閉集是閉集.所以Cβ(W),A是X中的兩個無交的閉集.因X是β正規(guī)空間,所以由定理9,存在(β,α)連續(xù)映射f:X→[0,1],使得y∈Cβ(W)時,f(y)=0,y∈A時,f(y)=1.因?yàn)閤∈Cβ(W),所以f(x)=0.故X是β完全正則空間.

定義9 β正則且β-T1的拓?fù)淇臻g叫做β-T3空間;β正規(guī)且β-T1的拓?fù)淇臻g叫做β-T4空間.

因β-T1空間中的每一個單點(diǎn)集是β閉集,而β閉集是閉集,所以β-T4空間一定是β-T3空間,β-T3空間一定是β-T2空間.并且β-T4空間是T4空間,β-T3空間是T3空間.

定義10 設(shè)(X,T,β)是拓?fù)淇臻g,(Y,T|Y,β|Y)是其子空間.如果Y是β|Y正則(β|Y正規(guī),β|Y完全正則,β|Y-Ti)空間,則稱Y是X的β正則(β正規(guī),β完全正則,β-Ti)子空間,或稱Y作為X的子空間也是β正則(β正規(guī),β完全正則,β-Ti)空間.其中0≤i≤4.

定理12 β-T4空間(X,T,β)中任何一個β連通子集[18]如果包含著多于一個點(diǎn),則它一定是一個不可數(shù)集.

證設(shè)C是β-T4空間(X,T,β)中一個β連通子集,如果C包含不只一個點(diǎn),任意選取x,y∈C, x≠y.對于β-T4空間X中的兩個不交的閉集{x},{y}應(yīng)用定理9,則存在(β,α)連續(xù)映射f∶X→[0,1],使得f(x)=0和f(y)=1.由于C是一個β連通子集,由文[18]定理1.17知f(C)也是[0,1]的α連通子集,由文[18]定理1.18可知f(C)是[0,1]的區(qū)間.又0,1∈f(C),所以f(C)=[0,1].因?yàn)閇0,1]是不可數(shù)集,所以C也是不可數(shù)集.

定理13 若(X,T,β)是β正則空間,則它的每個子空間是β正則子空間.

證首先,X的β開集與Y的交是Y的β|Y開集.事實(shí)上由文[18]知,CβY(A)=Cβ(A)∩Y,所以iβY(A)=～CβY(～A)=～Cβ(～A)∩Y=iβ(A)∩Y,從而可知X的β開集U與Y的交U∩Y是Y的β |Y開集.

設(shè)(X,T,β)是β正則空間,Y?X.任取y∈Y和Y的閉子集B,y?B,則存在X的閉子集A使得B=A∩Y,且y?A.由于X是β正則空間,所以存在X的兩個β開集U,V使y∈U,A?V,且U∩V =?.于是U∩Y,V∩Y是Y的β|Y開集,且(U∩Y)∩(V∩Y)=?,y∈U∩Y,B?V∩Y.所以Y是β|Y正則的,即Y是X的β正則子空間.

定理14 若(X,T,β)是β完全正則空間,則它的每個子空間也是β完全正則空間.

證設(shè)Y?X,任取y∈Y和Y的閉子集B,y?B,則存在X的閉子集A使得B=A∩Y,且y?A.因?yàn)閄是β完全正則空間,所以存在(β,α)連續(xù)映射f∶X→[0,1],使得f(y)=0,x∈A時f(x)=1.于是f|Y是(β|Y,α)連續(xù)映射.f|Y∶Y→[0,1]使得f|Y(y)=f(y)=0,x∈B時,x∈A,f|Y(x)=f(x) =1.所以Y是β|Y完全正則的.即Y作為X的子空間是β完全正則空間.

定理15 若(X,T,β)是β正規(guī)空間,則它的每個閉子空間也是β正規(guī)空間.

證 設(shè)(X,T,β)是β正規(guī)空間,Y是X的閉子集,若A,B是Y的兩個不交的閉子集,則A,B也是X的兩個不交的閉子集.因X是β正規(guī)空間,所以存在X的兩個β開集U,V使A?U,B?V,且U∩V =?.于是令U1=U∩Y,V1=V∩Y,則U1,V1是Y的兩個β|Y開集,且A?U1,B?V1,U1∩V1=?,所以Y是β|Y正規(guī)空間,即Y作為X的子空間是β正規(guī)空間.

可以證明,β-Ti空間的子空間是β-Ti空間,其中0≤i≤3.β-T4空間的閉子空間是β-Ti空間.

定理16 設(shè)(X,T1)與(Y,T2)同胚,同胚映射是h∶X→Y.若β是T1的子基,X是β-T0(β-T1,β-T2)空間,則Y是h(β)-T0(h(β)-T1,h(β)-T2)空間;反之,若γ是T2的子基,Y是γ-T0(γ-T1,γ-T2)空間,則X是h-1(γ)-T0(h-1(γ)-T1,h-1(γ)-T2)空間.

證僅證其中之一:若X是β-T1空間,則Y是h(β)-T1空間,其它幾個結(jié)論類似可證.

任給y1,y2∈Y,y1≠y2,則存在x1,x2∈X使得h(x1)=y1,h(x2)=y2,且x1≠x2.因?yàn)閄是β-T1空間,所以存在X的β開集U1,U2,使得x1∈U1,x2?U1;x2∈U2,x1?U2.由定理8,h(U1), h(U2)是Y的h(β)開集,且因?yàn)閤1∈U1,x2?U1,所以y1=h(x1)∈h(U1),y2=h(x2)?h(U1);因?yàn)閤2∈U2,x1?U2,所以y1=h(x1)?h(U2),y2=h(x2)∈h(U2).即在Y中,存在兩個h(β)開集h(U1), h(U2)分別包含y1,y2,而h(U1)不含y2,h(U2)不含y1.故Y是h(β)-T1空間.

定理17 設(shè)(X,T1)與(Y,T2)同胚,同胚映射是h:X→Y.若β是T1的子基,X是β正則空間,則Y是h(β)正則空間;反之,若γ是T2的子基,Y是γ正則空間,則X是h-1(γ)正則空間.

證y∈Y和Y的閉子集B,y?B,則x=h-1(y)∈X,A=h-1(B)是X的閉集,且x?A.因?yàn)閄是β正則空間,所以存在β開集U,V,使得x∈U,A?V,且U∩V=?.于是由定理8知h(U),h(V)是Y的h(β)開集,且y=h(x)∈h(U),B=h(A)?h(V),h(U)∩h(V)=?.所以Y是h(β)正則空間.反之,類似可證.

定理18 設(shè)(X,T1)與(Y,T2)同胚,同胚映射是h∶X→Y.若β是T1的子基,X是β完全正則空間,則Y是h(β)完全正則空間;反之,若γ是T2的子基,Y是γ完全正則空間,則X是h-1(γ)完全正則空間.

證任取y∈Y和Y的閉子集B,y?B,則x=h-1(y)∈X,A=h-1(B)是X的閉集,且x?A,因?yàn)閄是β完全正則空間,所以存在(β,α)連續(xù)映射f∶X→[0,1],使得f(x)=0,x∈A時f(x)=1.取g=f?h-1∶Y→[0,1],則g是(h(β),α)連續(xù)的,且g(y)=(f?h-1)(y)=f[h-1(y)]=f(x)=0, z∈B時,x=h-1(z)∈A,g(z)=(f?h-1)(z)=f[h-1(z)]=f(x)=1.所以Y是h(β)完全正則空間.

反之,任取x∈X和X的閉子集A,x?A.因h是同胚映射,所以y=h(x)∈Y,h(A)是Y的閉集, y?h(A).因?yàn)閅是γ完全正則空間,所以存在(γ,α)連續(xù)映射f∶Y→[0,1],使得f(y)=0,z∈h(A)時,f(z)=1.取g=f?h:X→[0,1],則g是(h-1(γ),α)連續(xù)映射,且g(x)=(f?h)(x)=f[h(x)] =f(y)=0,y∈A時,z=h(y)∈h(A),g(y)=(f?h)(y)=f[h(y)]=f(z)=1.所以X是h-1(γ)完全正則空間.

定理19 設(shè)(X,T1)與(Y,T2)同胚,同胚映射是h:X→Y.若β是T1的子基,X是β正規(guī)空間,則Y是h(β)正規(guī)空間;反之,若γ是T2的子基,Y是γ正規(guī)空間,則X是h-1(γ)正規(guī)空間.

證因?yàn)閔是同胚映射,所以只需證其中一句話,不妨證第二句話.即設(shè)γ是T2的子基,Y是γ正規(guī)空間,下面證X是h-1(γ)正規(guī)空間.

由定理7,h-1(γ)是X的子基.任取X的兩個不交的閉子集A,B,則A1=h(A),B1=h(B)是Y的兩個不交的閉子集.因Y是γ正規(guī)空間,所以存在Y的兩個γ開集U1,V1使A1?U1,B1?V1且U1∩V1=?,則U=h-1(U1),V=h-1(V1)是X的h-1(γ)開集,h-1(A1)?U,h-1(B1)?V,且U∩V=?,即A=h-1(A1)?U,B=h-1(B1)?V,且U∩V=?,所以X是h-1(γ)正規(guī)空間.

由以上幾定理可得:

定理20 設(shè)(X,T1)與(Y,T2)同胚,同胚映射是h:X→Y.若β是T1的子基,X是β-T3(β-T4)空間,則Y是h(β)-T3(h(β)-T4)空間;反之,若γ是T2的子基,Y是γ-T3(γ-T4)空間,則X是h-1(γ)-T3(h-1(γ)-T4)空間.

定理16—20說明,在同胚映射下,滿足定義1—3,6—9的關(guān)于子基分離性的空間一定變到關(guān)于某一子基的同種分離性的空間.例如,關(guān)于子基的正則空間在同胚映射下一定變到關(guān)于一個子基的正則空間等.不滿足關(guān)于子基分離性的空間在同胚映射下一定不是關(guān)于子基分離性的空間.

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The Separateness Relative to a Subbase for the Topology

L IU De-jin

(Dept.of Math.,Dezhou University,Dezhou,Shandong 253023,China)

Covering methods are widely used in rough set theory.The interior and the closure of a subset relative to a subbase for the topology are introduced to study the relationships between the rough sets and the topological space.We introduce and study Separateness relative to a subbase for the topology on the basis of open set and closed set relative to a subbase,and some properties are also discussed.We also obtain the further classification for general topological space defined by separation axiom.

subbase;theβopen set;the regular space relative to a subbase;the normal space relative to a subbase; the completely regular space relative to a subbase

O189.1;TP18

A

1672-1454(2011)03-0059-07

2008-08-04