素數排列問題初探*

倪家泰

(攀枝花市第十五中學，四川 攀枝花 617063)

素數排列問題初探*

倪家泰

(攀枝花市第十五中學，四川 攀枝花 617063)

本文在研究素數類型規律的基礎上，探討其排列情況。

素數;素數類型;縮剩余系;剩余類

在“自然數數段中的素數”一文中，本人指出大于30的素數q是30k(k為自然數)與1、7、11、13、17、19、23、29中之某數之和，由于5、11、17、23、29可分別寫為6－1，2×6－1，3×6－1，4×6－1，5×6－1，所以素數的一部分構成6k－1類型。又1、7、13、19可分別寫成0×6+1，6+1，2×6+1，3×6+1，所以素數的另一部分構成6k+1類型。

由縮剩余系性質，對任一素數q，6k中只有一個以1為代表的剩余類，也只有一個以(q－1)為代表的剩余類，且兩剩余類只與k對于q的余數相關。

關于7、11、13、17、19、23、29這些素數，以1為代表的剩余類之k的余數如下:

(1)記11、17、23、29為p1，上述中其關于p1的k之余數記為m1，不難看出6m1=p1+1。若素數q1=30l1+p1(l1+為自然數)，那么6k中以1為代表之剩余類，對素數q1之k的余數為5l1+m1，因為

(2)記7、13、19為p2，上述中其關于p2的k之余數記為m2，顯然有6m2=5p2+1。若素數q2=30l2+p2(l2為自然數)，那么6k中關于素數q2的以1為代表之剩余類的k之余數為25l2+m2，因為

若素數q2=30l2+1，令m2=1，上述仍成立。

關于7、11、13、17、19、23、29這些素數，以 (q－1)為代表的剩余類之k的余數如下:

又關于5以4為代表的剩余類之k的余數

(3)對于p1以 (p1－1)為代表的剩余類之k的余數記為m3，顯然有6m3=5p1－1，若素數q1=30l1+p1(l1∈N)，那么對于q1，6k中以 (q1－1)為代表的剩余類之k的余數為25l1+m3，因為

(4)對于p2以 (p2－1)為代表的剩余類之k的余數記m4，顯然有6m4=p2－1，若素數q2=30l2+p2(l2∈N)，那么對于q2，6k中以 (q2－1)為代表的剩余類之k的余數為5l2+m4，因為

若素數q2=30l2+1，令m4=0，上述仍成立。

5000之內兩類素數排列情況如下。

對于6k－1型素數，6k中關于5至67中各素數，其以1為代表的剩余類之k的余數如下:

在1至834的k值中陸續除去，上述各素數以1為代表的剩余類數，所余者即為不大于5000之6k－1型各素數之k值。

對于6k+1型素數，6k中關于5至67中各素數q，以 (q－1)為代表剩余類的k之余數如下:

在1至834的k值中陸續除去述各素數q，以 (q－1)為代表的剩余類數，所余者即為不大于5000之6k+1型各素數之k值。

按k從小至大順序排列兩型素數，并把兩型素數共有之k值記于中間，列表如下:

6k－1 4 8 9 14 15 19 1 2 3 5 7 10 12 17 18 6k+1 6 11 13 16 21 22 28 29 39 42 43 44 23 25 30 32 33 38 40 45 26 27 35 37 49 53 59 60 64 65 67 47 52 58 46 51 55 56 61 62 63 66 68 74 75 78 80 82 84 85 70 72 77 87 73 76 81 83 90 91 93 94 98 99 108 109 113 114 95 100 103 107 110 96 101 102 105 112 117 120 124 127 129 133 135 137 115 118 121 122 123 125 126 128 131 140 144 148 152 155 157 158 159 138 143 147 142 146 151 153 156 162 163 164 169 183 170 172 175 177 182 161 165 166 168 173 178 181 184 185 194 197 198 199 203 204 192 205 186 187 188 195 200 202 206 210 214 218 227 228 229

213 215 217 220 208 216 221 235 239 240 249 250 252 238 242 247 248 230 233 237 241 243 245 254 259 260 262 264 267 269 273 268 270 255 257 258 261 263 266 271 285 289 278 283 287 298 276 277 282 290 291 292 293 296 297 302 304 308 315 317 318 319 312 313 300 305 310 311 329 330 334 340 344 322 325 333 338 331 332 335 336 342 345 350 359 347 348 352 355 357 356 360 363 367 368 369 374 379 383 389 373 378 385 390 370 375 380 381 382 392 393 399 400 402 403 404 407 408 410 413 397 391 395 396 398 406 411 412 422 424 430 435 425 432 417 420 423 426 436 437 439 444 449 450 457 459 443 448 452 455 441 445 446 447 451 453 458 463 470 473 474 477 480 465 467 461 466 472 475 476 481 483 484 485 488 490 493 494 502 504 495 500 486 492 503 507 514 515 523 520 528 506 508 510 511 513 518 527

532 534 535 537 542 543 550 530 531 536 538 545 551 554 558568 569 555 560 562 565 552 553 557 572 575 582 589 577 578 588 590 593 597 576 583 585 586 591 595 599 603 604 610 613 617 620 612 601 602 605 606 607 615 616 618 627 630 633 634 639 628 637 642 621 622 623 632 641 644 647 652 654 658 665 653 655 646 648 651 657 661 668 669 679 680 689 667 670 675 682 688 671 676 683 685 690 702 709 693 703 705 707 710 712 692 696 700 714 715 725 729 732 733 735 723 716 721 726 727 742 743 744 749 754 737 747 753 758 740 741 751 752 764774 779 780 773 775 760 761 765 766 767 770 776 777 782 784 789 792 799 803 787 798 800 788 793 797 802 812 813 815 820 823 824 822 805 810 817 818 825 826 829 828 831 832 833

表中顯示:

(1)5至5000內素數沒有遺漏。5以上素數確由兩型素數構成。

(2)表中中間k值產生孿生素數對。

(3)兩型素數既有共同k值，又有共同不取之k值。兩型素數交錯出現，交錯規律的尋找是素數排列規律尋找的前題。

Study of prime number arrange

NI Jia－tai
(The Fifteenth Middle School of Panzhihua，Panzhihua 617063，China)

This paper studies the law of prime number form and arrange．

prime number;prime form;reduced residue system;residue class

G623

A

1671－7406(2011)09－0031－06

2011－04－15

倪家泰 (1941—)，男，云南楚雄人，中學高級教師 (已退休)，主要研究方向:數論。

(責任編輯 劉洪基)