數學分析教材研究 (二)*

郎開祿

(楚雄師范學院數學系，云南 楚雄 675000)

數學分析教材研究 (二)*

郎開祿

(楚雄師范學院數學系，云南 楚雄 675000)

本文闡述了數學分析課程，數學分析課程教學內容，數學分析課程教學目標，數學分析課程教學方手段，數學分析課程教學理念，數學分析教與學的基本關系;研究了兩套歷史悠久的數學分析沃土教材的獨特風采、獨異風格。

數學分析;教材;研究

3.3.3 風采三:函數級數和函數分析性質

(1)《數學分析講義》(下冊)函數級數和函數分析性質的處理思路和方法《數學分析講義》(下冊)直接證明定理8、定理9、定理10.

(a)每個un(x)在區間I連續;

(a)每個un(x)在區間I連續;

(a)每個u'n(x)在區間I連續;

【思路和方法比較】

【ⅰ】思路和方法比較自然;

【ⅱ】思路和方法同學易理解和掌握;

【ⅲ】知識點連貫性強;

【ⅳ】思路和方法技巧性大。

(2)《數學分析》(下冊)函數級數和函數分析性質的處理思路和方法

(ⅰ)直接證明定理11

(ⅱ)應用定理11證明定理12、定理13、定理14

(a)每個fn(x)在區間I連續;

(a)每個fn(x)在區間I連續;

(a)每個f'n(x)在區間I連續;

(ⅲ)應用定理12、定理13、定理14證明證明定理8、定理9、定理10證明略。

【思路和方法比較】

【ⅰ】思路和方法的關鍵是直接證明定理11;

【ⅱ】思路和方法陡，知識的調用要求非常高;

【?！克悸泛头椒ㄍ瑢W不易理解和掌握;

【ⅳ】思路和方法獨特;

【ⅴ】思路和方法技巧性大。

3.3.4 風采四:含參變量無窮積分分析性質

(1)《數學分析講義》(下冊)含參變量無窮積分分析性質的處理思路和方法《數學分析講義》(下冊)直接證明定理15、定理16、定理17。

【思路和方法比較】

【ⅰ】思路和方法比較自然;

【ⅱ】思路和方法同學易理解和掌握?！劲！恐R點連貫性強。

【ⅳ】思路和方法技巧性大。

(2)《數學分析》(下冊)含參變量無窮積分分析性質的處理思路和方法

(ⅰ)直接證明定理18

(ⅱ)應用定理18和函數級數和函數分析性質證明定理15、定理16、定理17證明略。

【思路和方法比較】

【ⅰ】思路和方法的關鍵是直接證明定理18;

【ⅱ】思路和方法陡，知識的調用要求非常高;

【?！克悸泛头椒ㄍ瑢W不易理解和掌握;

【ⅳ】思路和方法獨特;

【ⅴ】思路和方法技巧性大。

3.3.5 風采五:二重積分的變量代換

(1)《數學分析講義》(下冊)二重積分的變量代換的處理思路和方法(ⅰ)直接證明定理19

定理19 若變量代換

x=x(u，v)，y=y(u，v)，(u，v) ∈ G'

(ⅱ)應用定理19證明定理20

定理20 若變量代換

x=x(u，v)，y=y(u，v)，(u，v) ∈ D'

【思路和方法比較】

【ⅰ】思路和方法比較自然;

【ⅱ】思路和方法同學易理解和掌握;

【?！恐R點連貫性強;

【ⅳ】思路和方法技巧性大。

(2)《數學分析》(下冊)二重積分的變量代換的處理思路和方法

(ⅰ)直接證明定理21

其中Γ取正向。

(ⅱ)應用定理21直接證明定理22

定理22 若變量代換

(ⅲ)應用定理22直接證明定理20

證明略

【思路和方法比較】

【ⅰ】將線積分放在重積分之前講;

【ⅱ】思路和方法非常較陡，知識的調用要求非常高;

【?！克悸泛头椒ㄍ瑢W不易理解和掌握;

【ⅳ】思路和方法技巧性大;

【ⅴ】思路和方法獨特。

3.3.6 風采六:定積分的可積準則

(1)《數學分析講義》(上冊)定積分的可積準則的處理思路和方法

(ⅰ)直接證明大和與小和性質

定理22 對［a，b］的任一分法T，均有

定理 23 對［a，b］任一分法 T={△1，△2，…，△n}，有

定理24 設T'是分法T添加分點得到的分法，則

S(T)≥S(T')(大和不增)，s(T)≤s(T')(小和不減)。

定理25 對于［a，b］的任意分法T，T'，小和不超過大和，即

s(T)≤S(T')，s(T')≤S(T)。

(ⅱ)應用大和與小和性質證明了可積準則

(ⅲ)應用可積準則獲得了三種可積函數類

定理28(連續函數可積性)若f(x)在［a，b］連續，則f(x)在［a，b］可積。

定理29(單調函數可積性)若f(x)在［a，b］單調，則f(x)在［a，b］可積。

定理30(有有限個間斷點的有界函數的可積性)若f(x)在［a，b］有界，且只有有限個間斷點，則 f(x) 在［a，b］可積。

【思路和方法比較】

【ⅰ】思路和方法比較自然;

【ⅱ】思路和方法同學易理解和掌握;

【?！恐R點連貫性強;

【ⅳ】思路和方法技巧性大。

(2)《數學分析》(上冊)定積分的可積準則的處理思路和方法

(ⅰ)§9.3((可積條件)直接給出可積準則

(ⅱ)§9.3可積條件應用可積準則獲得了三種可積函數類。

(ⅲ)§9.8可積理論補敘證明大和與小和性質(內容較系統)。

(ⅳ)§9.8可積理論補敘應用大和與小和性質證明了可積準則(內容較系統)。

【思路和方法比較】

【ⅰ】思路和方法同學易理解和掌握;

【ⅱ】思路和方法技巧性大;

【?！克悸泛头椒í毺?

【ⅳ】知識點連貫性不強;

【ⅴ】理論性更強;

【ⅵ】獲取的知識量大。

3.4 風格獨異的數學分析教材

(1)《數學分析講義》(上、下冊)這套教材循序漸進，系統性強，范例和習題豐富，便于自學，且劉玉璉、傅沛仁兩位先生編著了配套的《數學分析講義學習指導書》(上、下冊)(高等教育出版社出版)等教學輔導書，這樣大大降低大學一年級學習數學分析的難度，也降低了備課的難度。

(2)《數學分析》(上、下冊)這套教材理論性和實用性強，內容精，彈性空間大，習題豐富，富于啟發，吳良森，毛羽輝，韓士安，吳畏編著了配套的《數學分析學習指導書》(上、下冊)(高等教育出版社)等教學輔導書，這樣大大降低大學一年級學習數學分析的難度，也降低了備課的難度。

(3)《數學分析講義》(上、下冊)和《數學分析》(上、下冊)是風采獨特、風格獨異、歷史悠久的數學分析沃土教材中的重要兩部，潛心學習和研讀，必然沃土發新枝。

［1］胡適耕，張顯文編著.數學分析原理與方法 ［M］.北京:科學出版社，2008.

［2］劉玉璉，傅沛仁等編.數學分析講義 (上)［M］.第四版.北京:高等教育出版社，2002.

［3］劉玉璉，傅沛仁等編.數學分析講義 (下)［M］.第四版.北京:高等教育出版社，2002.

［4］劉玉璉，揚奎元，呂風編.數學分析講義學習輔導書 (上)［M］.第二版，北京:高等教育出版社.2003.

［5］劉玉璉，揚奎元，呂風編.數學分析講義學習輔導書 (下)［M］.第二版，北京:高等教育出版社.2003.

［6］華東師范大學數學系編.數學分析 (上) ［M］.第四版.北京:高等教育出版社，2009.

［7］華東師范大學數學系編.數學分析 (下) ［M］.第四版.北京:高等教育出版社，2009.

［8］吳良森，毛羽輝，韓士安，吳畏編著.數學分析學習指導書 (上)［M］.北京:高等教育出版社.2004.

［9］吳良森，毛羽輝，韓士安，吳畏編著.數學分析學習指導書 (下)［M］.北京:高等教育出版社.2004.

Research of mathematical analysis teaching materials(Part Ⅱ)

LANG Kai－lu
(Department of mathematics，Chuxiong Normal Uinversity，Chuxiong 675000，China)

This paper elucidates mathematical analysis course and its teaching content，teaching objectives，teaching method，teaching philosophy，and the relationship between teaching and learning，and then studies the unique characteristics of two profound historical versions．

Mathematical analysis;teaching materials;research

O171.2

A

1671－7406(2011)09－0024－07

2011－03－12

郎開祿 (1962—)，男，云南楚雄人，副教授，主要研究方向:高等數學及數學分析。

(責任編輯 劉洪基)