“七橋問題”及其對數學教育的啟示

胡重光

（湖南第一師范學院，湖南長沙 410205）

“七橋問題”及其對數學教育的啟示

胡重光

（湖南第一師范學院，湖南長沙 410205）

通過對歐拉《哥尼斯堡橋》一文的分析，揭示了歐拉解決“哥尼斯堡七橋問題”的過程中體現的重要數學思想、策略和方法，尤其是數學化思想。這些思想、方法和策略正是我國目前數學教育的薄弱環節，對數學創新型人才的培養和數學問題解決的教學具有重要的啟示。

哥尼斯堡七橋問題；數學教育；數學化

數學家是怎樣解決數學問題的，對數學教育無疑具有極高的價值。但是數學家很少介紹他們的研究工作。A.A.斯托利亞爾認為，介紹怎樣研究數學比研究工作本身更困難[1]。確實，龐加萊說過：數學創造是從大量的組合中作出選擇，而“指導這種選擇的規則是極為微妙的。幾乎不可能準確地陳述它；它們只可意會而不可言傳。”數學發現往往并非一個漸進的過程，而是在艱苦的工作之后瞬間產生的頓悟[2]23。龐加萊發表這些見解的那篇題為“數學的創造”的文章，曾被許多研究者提到。

然而，歐拉曾撰寫一篇文章，詳細地介紹了他解決“哥尼斯堡七橋問題”的過程。這篇文章題為“哥尼斯堡橋”，與《數學的創造》一起被收入M·克萊因主編的《現代世界中的數學》一書。“哥尼斯堡七橋問題”被認為開創了拓撲學的研究，在數學史上小有名氣，但這篇文章卻很少有人提到。“哥尼斯堡七橋問題”有兩個特點：第一，它完全來自于現實，沒有經過任何數學加工；第二，它屬于一個全新的數學領域，以前還沒有人研究過。歐拉的解答雖然并非像廣泛流行的說法那樣采用了“網絡”，但仍具有很強的創新性，對數學教育有重要的啟發。本文擬作一個初步的分析。

一、歐拉的解答

“哥尼斯堡七橋問題”是我們熟知的：如圖1，在哥德的誕生地普魯士哥尼斯堡城有一座奈霍夫島（島A），普雷格爾河的兩條支流繞它流過。那里有7座橋（a、b、c、d、e、f、g）跨過兩條支流。問：一個人能否計劃一次散步，使得每一座橋都通過一次而且僅僅一次？

圖1

一般人碰到這種問題，首先會試圖找出各種可能的路線，逐一檢驗。而歐拉則認為，這樣做一方面是太繁鎖，另一方面這種解決法只適合這一個問題，沒有普遍意義。因此，歐拉一開始就著眼于找出這類問題的一般解法。

歐拉解決這一問題的第一步是，找出一種描述路線的簡單方法。他用A、B、C、D分別表示被河流分割的陸地區域，由地點A跨越橋a或b走到地點B則記為AB，如再由B跨越橋f走到地點D則記為ABD。中間的字母B既表示第一次跨越的終點，又表示第二次跨越的起點。其余依此類推。由此他發現：

1.這種表示法與跨越的橋無關，例如從A跨越橋a或b到B，都記為AB；

2.跨越n座橋的路線恰好由n+1個字母表示。

于是問題就轉化為用A、B、C、D四個字母組成一個合條件的8個字母的排列。由于有的區域不只一座橋相連，有的字母會重復出現，因此必須確定每一個字母出現的次數。

為了找到判斷某個字母出現次數的法則，歐拉取一個單獨的區域A，并設有任意多座橋a、b、c、d、……通向A（如圖2）。這樣散步者可以通過不同的橋多次進入或離開A，而字母A出現的次數就由通過的橋數來決定。

圖2

歐拉發現當橋數為奇數時，兩者之間的規律如下表：

橋數 A出現的次數113253……2n-1N=[(2n-1)+1]/2

也就是說，字母A出現的次數等于橋數加1的和再除以2。

當橋數是偶數時，則須考慮A是出發地點還是到達地點。如果A是出發地點，則字母A出現的次數是橋數的一半加1；否則是橋數的一半。

每條線路都有一個出發點，其余為到達點。根據上述分析，計算線路中字母出現的次數和所有字母出現的總次數的方法是：當橋數為奇數時，將橋數加1再除以2；當橋數為偶數時，直接將橋數除以2，就得出每個字母出現的次數。當出發地點的橋數為奇數時，將這些次數相加就得所有字母出現的總次數；當出發地點的橋數為偶數時，還要將求出的和再加1。如果算出的結果等于橋數加1，則所要求的散步可以做到；否則就不能做到。

歐拉將以上的計算過程列成一個表，對于哥尼斯堡七橋問題，他列出的表如下：

橋數為7，得8=（7+1）A53B32C32D329

最后一列數是每個字母在路線中出現的次數。由于它們的和不等于橋數加1，所以所要求的散步不能實現。

圖3

歐拉還用這種方法討論了一個例子。如圖3，有兩個島被4條河環繞，有15座橋連接兩島和陸地。按以上方法歐拉列出了以下的表，并在有偶數座橋連接的字母上打一個★號：

A* 84B* 42C* 42D32E53F* 6316

計算出的字母數與所要求的相等，因此所要求的散步可以實現。但是這是按有偶數座橋的地區為到達點計算的，因此這種散步只能從兩個沒有標★號的地點出發。若從任一有偶數座橋的地點出發，則字母數還需加1，就超過了規定的字母數，因而滿足條件的散步不能做到。

至此問題似乎已經完全解決，但是歐拉并沒有到此為止。通過觀察這張表，他發現了一個更簡單的方法。

首先他注意到第二列數之和是橋數的2倍，原因是每座橋都被計算了兩次。由此可知第二列數字之和應為偶數。這時如果每兩個地點都由偶數座橋相連，那么如前所述，計算出的字母數恰好等于橋數加1（這時出發點由偶數座橋連通），在這種情況下，不管從哪一地點出發，所要求的散步都可實現。

如果有的地點由奇數座橋相連，那么這樣的地點一定是偶數個。如果恰有2個這樣的地點，那么按前面的計算方法，得到的字母數恰好等于橋數加1，所要求的散步能夠實現；如果有4個或更多的這樣的地點，則求得的字母數將大于橋數加1，所要求的散步不能實現。

總之，對于任何這類圖形，確定不重復地走遍所有的橋是否可能的最簡單的方法是：

如果有多于兩個地點由奇數座橋相連，則不存在滿足條件的路線；

如果只有兩個地點由奇數座橋相連，只要從這兩個地點之一出發，所要求的散步就可以實現，但終點只能是這兩個地點中的另一個；

如果所有地點都由偶數座橋相連，則不論從哪一地點出發，所要求的散步都可以實現，并且可以回到起點。

這三條法則徹底解決這類問題。

二、歐拉解法中的重要數學思想方法

分析歐拉的解答過程，可以發現以下的重要數學思想、策略和方法：

（一）一般化思想

歐拉在解答中，始終著眼于找出一般的解法。他一開始就指出了這一點，在解答的過程中也始終堅持這一點。這樣就使這一個別問題的解法具有普遍意義，并且簡化了這一問題的解答。如果歐拉不堅持這一點，哥尼斯堡七橋問題就不會成為拓撲學（歐拉當時稱之為“位置幾何”）的開端。這一點正體現了數學家超越常人的眼光。

（二）數學化思想

解答這一問題最重要的策略是先將問題數學化，具體來說，就是用數學語言來表達散步的線路。正如歐拉指出的：“我的整個方法基于以下我用來表示越過橋梁的合適的和方便的方法?！盵2]236正是這種表達方式使問題簡化，容易發現其中的規律。發現這種表達方法也就是建立了一個簡單的數學模型，由此可見，建立數學模型在數學問題解決中是最基本的、至關重要的。

（三）簡化策略

解決這一問題的另一個重要策略是將問題簡化，考慮它的盡可能簡單的情形。在本題中，歐拉首先考慮只有1條河流這種最簡單的情形，從而較容易地發現了線路表達中字母出現次數的規律。

盡可能地簡化問題是解決數學問題的一個重要策略，我國著名數學家華羅庚說：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅！

（四）列表方法

還有一個值得注意的方法是將數據列成表，歐拉在解答過程中三次運用了這一方法。這一看來很簡單的方法卻是應用廣泛和十分有效的，而且很容易掌握。數學家在他們的研究工作中是經常利用列表來整理信息和組織思維的，并視其為一種基本方法。笛卡爾就曾指出：“所謂方法，就是把我們應當注意的事物進行整理和排列?！盵3]列表的優越性一是能使思維有條理，二是便于發現其中的規律。第二條尤其重要，歐拉正是通過觀察所列的數表發現了簡便方法。

三、歐拉解法的數學教育意義

這四條對于數學教育特別是數學問題解決都具有重要的意義，也是我國數學教育的薄弱環節。我國的數學教育偏重解題的特殊方法和技巧，花大量的時間解答各種類型的題目；重視公式、定理的運用，而忽視通過數學化建立數學模型這一解決問題的一般方法和有力工具。結果就導致學生記題型，套解法；習慣于用現成的公式、定理解題，不善于探索那些非常規的和沒有進行數學加工的問題的解法，對于“七橋問題”這類沒有任何公式可套、幾乎沒有數學知識可用的現實問題，往往束手無策。“數學化”是弗賴登塔爾數學教育思想的一個重要概念，他有一句名言：與其說是學習數學，不如說是學習“數學化”。而這一重要思想在我國的數學教育中還沒有得到應有的重視。改變這種狀況，應該是我國目前數學教育改革的最重要和迫切的任務。

圖4

最后指出一點，解決問題的數學模型往往不止一種。對于“七橋問題”，進一步的研究發現，以上解法中的數學模型還可以進一步簡化。因為這個問題與島和陸地的面積、橋和路的長短、方向等幾何量都無關，所以可以用點來表示島和陸地，用線來表示橋，這樣就可以將圖1最大限度地簡化，轉化為圖4。其中A是島嶼，B、C、D是陸地，AB、BA、AC、CA、AD、CD、BD七條線分別代表7座橋。而問題也就轉化成：能否從圖4的A、B、C、D中的任意一點出發，不重復也不遺漏地一筆畫完圖4中的所有兩點間的連線？根據圖中頂點的奇偶性，很容易得出歐拉所發現的那3條法則。這就是我們熟悉的“一筆畫”問題，而這個圖屬于拓撲學中的“網絡”。

[1]A.A.斯托利亞爾.數學教育學[M].北京:人民教育出版社,1984:107.

[2]Morris Kline.現代世界中的數學[M].上海:上海教育出版社,2004.

[3]G.波利亞.數學的發現：第二卷[M].北京:科學出版社,1987:437.

“Seven BridgesProblem”and itsInspiration on Mathematics

HU Chong-guang

(Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205)

This paper has revealed Euler’s mathematical thinking and strategy in the process of resolving“seven bridges problem”on the basis of his remarkable articleThe Bridge of Koenigsberg.Euler’s thinking and strategy are the weaknesses of modern mathematics,which will give some enlightenments for teaching and training of creative mathematical studentsstudents.

Seven BridgesProblem;mathematical education;mathematicization

G633.6

A

1674-831X（2011）06-0014-03

2011-09-01

湖南省教育科學“十一五”規劃重點課題（XJK08AJJ005）；湖南第一師范學院院級課題（XYS09Z01）

胡重光（1950—），男，湖南道縣人，湖南第一師范學院教授，主要從事數學教育研究。

[責任編輯：胡 偉]