R L S自適應濾波器的 M a t l a b設計與仿真

張立萍

（赤峰學院 物理與電子信息工程系，內蒙古 赤峰 024000）

R L S自適應濾波器的 M a t l a b設計與仿真

張立萍

（赤峰學院 物理與電子信息工程系，內蒙古 赤峰 024000）

自適應濾波技術已經被廣泛應用于數字通信、雷達、生物醫學和工業控制等領域.本文介紹了 RLS 算法，并以隨機干擾噪聲信號為研究對象，在 Matlab 上設計了 RLS 自適應濾波器的 M 文件，進行了仿真，為硬件實現提供了有力的參考.

自適應濾波器；RLS 算法；Matlab；M 文件

1 引言

目前，自適應濾波器技術在通信和雷達技術的信道均衡、回波抵消、噪聲消除或抑制、語音編碼、自適應跳頻、天線旁瓣抑制、譜線增強、雷達雜波處理、雷達運動目標顯示、窄帶干擾抑制以及生物醫學中的微弱電信號的處理等方面均獲得了廣泛的應用.自適應濾波器是這樣的處理器，它在輸入信號特性未知或者輸入信號特性變化時，能夠調整自己的參數，以滿足某種最佳濾波準則的要求.

在設計濾波器時應該根據輸入信號的特性，設計出最佳的濾波器.那么，什么樣的濾波效果才算是最佳呢？必須有一個判斷的標準.至今已研究出很多最佳濾波準則.常見的有最小均方誤差準則、最小二乘準則等.最佳濾波準則和自適應濾波器關系密切，最佳濾波準則規定了與某種特性的信號對應的最佳參數，而這個最佳參數指出了自適應濾波器調整參數的方向.以下主要介紹這兩個準則.

(1)最小均方誤差準則 L M S(L e a s tM e a nS q u a r e)就是要使輸出信號和理想信號的誤差的平方的均值最小.設 d(n)為濾波器輸出要逼近的信號，y(n)為濾波器輸出信號，則誤差為 e(n)=d(n)-y(n)，最小均方誤差準則就是要使 E{e2(n)}達到最小.

(2)最小二乘準則 L S(L e a s t S q u a r e)就是要使一定范圍內(從 k到 k+m-)誤差的平方和達到最小，也就是要使達到最小.

2 最小二乘法(RLS)

最 小 二 乘 算 法(L S,L e a s t-s q u a r e s)是 一 種 批 處 理 方 法 ，通過一個數據塊接一個數據塊的重復計算來適應非平穩數據，因此它的計算量大.推廣最小二乘法將得到一種應用更廣泛的算法，即遞推最小二乘法(R L S).一般說來，R L S算法具有較好的收斂性能和跟蹤能力，但是要求較多的計算量，目前最快的 R L S算法要比 L M S算法多 2-3倍的計算量，因此，R L S自適應濾波一般用于要求較高的場合.

2.1 R L S算法原理

由于 L M S算法的收斂速度很慢，為了得到較快的收斂速度，有必要設計包含附加參數的更復雜的算法.在快速收斂算法的推導中，我們將采用最小二乘法.因此，將直接處理接收數據，使二次性能指數最小，而 L M S是使平方誤差的期望值最小.這就意味著用時間平均而不是統計平均來表示性能指數.

基于時間平均的最小平方誤差被定義如下：

式中，λ 是接近 1，但是小于 1的加權因子，且誤差 e(i)為：

式中，X(i)是 i時刻的輸入數據向量，W(n)是 n時刻的新的抽頭增益向量.因而 e(i)是用 n時刻的抽頭增益向量測試時刻的舊數據所得的誤差，J(n)是在所有舊數據上用新抽頭增益所得的累計平方誤差.

要完 成 R L S算法 就 要 找到均 衡 器 的 抽 頭 增 益 向 量 W (n)，使得累計平方誤差 J(n)最小.為了測試新的抽頭增益向量，會用到那些先前的數據.而因子 λ 會在計算時更依賴于新近的數據，也就是說，J(n)會丟掉非穩定環境中的較舊的數據.如果信道是穩定的，那么 λ 可以設為 1.

為了獲得 J(n)的最小值，可使 J(n)的梯度為 0，即(n)=0通過運算可知：

要用式(4)均衡器的抽頭增益向量W^(n)，就需要計算 R-1(n).從式(5)中 R(n)的定義式，我們可以得到關于 R(n-1)的遞歸公式：

同理得到 P(n)的遞推表示式為：

根據矩陣求逆定理，若 A,B是 M×M的正定矩陣，C是一個 M×N矩陣，D是一個 N×N矩陣，當 A=B-1+C D-1CT時，有 A-=B-B C(D+CTB C)-1CTB.現 令 A=R(n)，B-1=λR(n-1)，C=X(n)，D=J，可以得到 R-1(n)遞歸公式：

則(9)變為：

將式(1 0)中 K(n)的表示式重新安排：

由式(4)、(8)、(1 1)和式(1 2)可得W^(n)的遞推公式：

2.2 R L S算法實現

②對于每一個時刻 n=1,2,…，進行如下計算：

這樣，就用 R-1(n)的遞歸運算來取代了矩陣反演運算[XT(n)X(n)]-1.其中，δ 是正則化參數，δ 的設定與信噪比有關，正 則化 參數 δ 與 信噪比 的關 系己 由 M o u s t a-k i d e s(1 9 9 7)給出詳細說明.

3 RLS 自適應濾波器 M 文件的設計與仿真

根據前面介紹的 R L S算法，用 M A T L A B設計 R L S自適應濾波器.下面將在 M A T L A B環境中編寫 M文件對 R L S算法進行設計和仿真，驗證算法的可行性.

在 M A T L A B中編寫 M 文件 R L S.m，其中，各參數的意義如下：

s：標準正弦信號，最大峰值為 m a x V p=1.0 0. s

n：標準信號疊加標準白噪聲(最大峰值為 m a x V p=3.9 4). s

t e p：濾波器指數加權因子 λ，取值為 0.9 9.

W(n)：濾波器的權向量序列. e

n：s(i)信號減去濾波器輸出信號后得到的誤差信號.

N：時域抽頭 R L S算法濾波器階數，取值為 1 2 8.

d l e n：輸入信號抽樣點數，取值為 1 0 2 4.

d e l t a：正則化參數 δ，取值為 0.0 0 1.

R L S算法中各向量的更新表達式在 M文件中的實現代碼為：

仿 真 時 ，原始信號選為 s i n((0.0 5*p i*t)，其 中 t=1:d l e n，噪聲信號采用標準白噪聲，在 M A T L A B環境中運行 R L S.m文件，調用繪圖函數，得到 R L S算法的仿真結果如圖 1.R L S算法的均方誤差曲線如圖2所示.

圖 1 R L S算法的輸入和輸出曲線

圖 2 R L S算法的均方誤差曲線

4 結束語

R L S算法具有良好的收斂速度，除收斂速度快于 L M S算法以及穩定性強外，而且具有更高的起始收斂速度、更小的權噪聲和更大的抑噪能力.

〔1〕么 暉．基于 FPGA 的 自 適應 濾 波 器 設計[D]．碩 士 學位 論文．北京：航天科工集團第三研究院，2005．

〔2〕黃埔堪，陳建文，樓生強．現代數字信號處理[M]．北京：電子工業出版社，2003．

〔3〕龔耀寰．自適應濾波器[M]．北京：電子工業出版社，1989．

〔4〕韓利竹．MATLAB 電子仿真與應用[M]．北京：國防工業出版社，2001．

〔5〕王立寧，樂光新．MATLAB 與通信仿真[M]．北京：人民郵電出版社，2000．

〔6〕Simon Haykin．Adaptive Filter Thearo[M]．北 京 ：電 子工 業出版社，2006．

T N 2 7 3.2

A

1673-260X（2011）04-0025-02