K D V方程定解問題的一種新數(shù)值解法

郭瑞

（石河子大學師范學院 數(shù)學系，新疆 石河子 832003）

K D V方程定解問題的一種新數(shù)值解法

郭瑞

（石河子大學師范學院 數(shù)學系，新疆 石河子 832003）

本文用修正局部 Crank-nicolson 差分法求解了 KDV 方程的定解問題，新的差分格式避免了傳統(tǒng)的顯格式和隱格式的一些不足，是計算量少，精度高的顯格式.最后進行數(shù)值試驗,驗證了它的正確性.

KDV 方程；修正局部 Crank-Nicolson 差分格式

1 引言

在眾多的非線性發(fā)展方程中，K D V方程是最典型的非線性色散波動方程的代表，因其具有無窮多守恒律及在固體、液體、氣體以及等離子體等不同科學領域中的豐富應用而得到了極其廣泛的研究.所以，對 K D V方程的數(shù)值計算方法的研究具有重要的理論和現(xiàn)實意義.

有學者用有限差分法解 K D V方程.經典解法有L e a p f r o g差分 格 式 、G o d a差 分 格 式 、H o p s c o t c h差 分 格 式 等[1]，它 們 雖 很好的模擬了孤立子特性，但各有不足.由于 K d V方程具有無窮多個守恒律，孤立子碰撞以后形狀與波速保持不變，所以人們經常從物理定律出發(fā)構造合理的差分格式，使其盡可能地保持原問題的物理性質.賀國強[2]構造了兩種二階精度隱式差分格式，雖然有很好的理論結果，但沒有數(shù)值試驗，不能很好地說明方法的可行性.毛德康、崔艷芬[3]構造了滿足動量和能量守恒的二階精度守恒格式，有很好的穩(wěn)定性，特別適合長時間數(shù)值積分對流占優(yōu)的 K D V方程，但該格式由于長時間的數(shù)值積分，導致相位差.又如朱少紅、彭點云、王文洽等[4-7]對 K D V方程用有限差分法也進行初步研 究.近年來,阿布都熱西提·阿布都外力提出了熱方程的局部C r a n k-N i c o l s o n方 法[8]和 修 正 局 部 C r a n k-N i c o l s o n方 法[9].此后，蔡光程，羅紅，開依沙爾·熱合曼，程曉亮，黃鵬展等人都對 修正 局部 C r a n k-N i c o l s o n方法 進行了 研 究 .經 過 近 十 年 來的發(fā)展，修正局部 C r a n k-N i c o l s o n方法已經相對 比較 完善 ，但對非線性偏微分方程還未得到很好的研究，本文將對具有三階項的非線性偏微分方程做一些工作.

2 KDV 方程的修正局部 Crank-Nicolson 差分格式的構造

對 K D V方程的標準形式簡化，有如下形式

其中常數(shù) ε可正可負，其正負號決定波的方向和形狀（凸波或凹波）.

我們考慮如下形式 K D V方程的具有周期邊界的初邊值問題

其中 u是波速，ε 是色散系數(shù)，φ(x)是以 1周期的函數(shù).下面我們定義一些差分算子

對 問 題(2)中 的 第 一 個 式 子 的 空 間 一 階 微 分 項 用,三階微分項用

常微分方程（3）對于初值向量

的解可以表為

圖 1 T=0

圖 2 T=0.5

圖 3 T=1

圖 4 T=1.5

圖 5 T=2

圖 6 T=3

其中

矩陣 Ai與文獻[9]采用相同的分裂，如下：

格式（8）為顯格式，且這種把大矩陣分裂為一些簡單小矩陣，就可以直接的求出它的表達式，沒有誤差，這樣就避免了以大型矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程組，所以此格式計算量小，精度高.

3 數(shù)值試驗

數(shù)值例子:雙峰孤立波情形：

其 中 取 τ=0.0 0 0 5,h=0.0 2 5,ε=4.8 4×1 0-4,圖 1—圖 6描述了雙峰孤波在對應時刻的運動圖像，波 I在點達到振幅 3 C1，波I I在點達到振幅 3 C2，因 C1>C2，故波 I的速度比波 I I的速度快，t=0時表示孤波 I(高波)和孤波 I I(低波)的初始狀態(tài)，孤波 I的速度比孤波 I I的速度快，t=0.5時刻，波 I追上波 I I，t=1時刻，波 I覆蓋了波 I I，t=1.5波 I超過波 I I，直至t=2以 后波 I和波 I I分 離.可 見 修 正 局 部 C r a n k-N i c o l s o n差分格式可以模擬孤立波這一物理現(xiàn)象，與文獻[1 0]模擬出的一致.

4 結論

本文用修正局部 C r a n k-N i c o l s o n差 分法 求解 了 K D V方程的定解問題，該差分格式是一種計算量少精度高的顯式差分格式.通過數(shù)值試驗驗證了該法能模擬出孤立波這一物理現(xiàn)象，說明該差分格式是有效的.

〔1〕忻孝康,劉儒勛,蔣伯誠.計算流體動力學[M].北京:國防 科技大學出版社,1989.

〔2〕He Guoqiang,Yan Xiaopu.Multiple Conservation Schemes for Solving the Kdv Equation and Their Theoretical Analysis[J].Journal of Shanghai University of Science and Technology,1993,16:111-125.

〔3〕Cui yanfen,Mao De-kang.Numerical method satisfying zhe first two conservation laws for zhe Korteweg-de Vries equation [J].JournalofComputationalPhysics, 2007,1-24.

〔4〕Zhu Shaohong,Zhao J.The alternating segment explicitimplicit method for the dispersive equation[J].Applied Mathematics Letters,2001,14(6):657-662.

〔5〕彭點云.Kdv 方 程 的 多 點 格 式 方 法[J].數(shù) 值 計 算 與 計 算 機應用,1998（12）:241-251.

〔6〕曲富麗,王文洽.三階非線性 KdV 方程的交替分段顯-隱差分格式[J].應用數(shù)學和力學,2007,28(7):869-875.

〔7〕李家永,阿不都熱西提·阿不都外力.解 KDV 方程的一個二階三層差分格式[J].工程數(shù)學,2007,24(6):1137-1140.

〔8〕Abdirishit Abduwali,Michio Sakakihara,Hiroshi Niki.A local Crank-Nicolson method for two-dimensional heat equation[J].日 本 応 用 數(shù) 理 學 會 論 文 誌 .1992,2(4):267-283.

〔9〕Abdirishit Abduwali.A corrector local C-N method for the two-dimensional heat equation[J].Mathematics Numerica Sinica,1997,19(3):267-276.

〔10〕饒澤浪,吳 辛 燁.孤 立 子 的 matlab 數(shù) 值 計 算 及 模 擬[J].首都師范大學學報(自然科學版),2006,27(3):29-33.

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1673-260X（2011）04-0011-02