應(yīng)用加權(quán)殘值法求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題

連 鵬

1 加權(quán)殘值法

結(jié)構(gòu)物中的桿件、板殼等彈性體，受到動荷載作用時，在工程設(shè)計中的動力分析問題有時候是比較突出的問題［1，2］。作用在結(jié)構(gòu)物上的動荷載往往是一種突加的荷載，作用的時間往往是很短暫的，但強(qiáng)度很大。結(jié)構(gòu)物在突加的強(qiáng)大而又短暫的動荷載作用下，產(chǎn)生過度的變形及巨大的內(nèi)力以致在短暫的時間內(nèi)發(fā)生破壞倒坍，這種情況稱為動力響應(yīng)問題。目前這類問題的計算，主要依賴有限元分析。這種方法雖然有效，但往往工作量大，浪費巨大的人力物力，在近年來國內(nèi)計算力學(xué)工作者提出應(yīng)用加權(quán)殘值法分析結(jié)構(gòu)物動力響應(yīng)問題［3，4］。這種方法具有簡便、精確、工作量少、經(jīng)濟(jì)等特點，是一種將加權(quán)殘值法用于結(jié)構(gòu)物動力學(xué)方面的很有意義的研究工作。

2 基本原理

以現(xiàn)有理論計算結(jié)構(gòu)物的動力平衡微分方程，一般應(yīng)用直接積分法，此法要點是利用時間為t的結(jié)構(gòu)物的位移Ut，速度U＆t及加速度U＆t＆，去計算時間為t+Δt時結(jié)構(gòu)物的位移Ut+τ，速度及加速度，現(xiàn)在所用的動力學(xué)平衡方程式為:

這個方法的基本假設(shè)認(rèn)為:在時間間隔τ=θΔt之中，加速度向量作線性變化。在θ=1.37時，無條件穩(wěn)定，效果尚佳。

國內(nèi)孫煥純曾有文章修改威爾遜法中的假設(shè)，縮短計算過程。金瑞春根據(jù)加權(quán)殘值法的概念寫出結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)問題中的運動微分方程的廣義積分格式，從特例推出威爾遜—θ法。徐文煥提出以B樣條配點法解算結(jié)構(gòu)運動微分方程式，線性的及非線性結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)問題。徐次達(dá)及其合作者研究做了大量樣條配點法解算板殼動力響應(yīng)問題，發(fā)展更完善的有條件及無條件穩(wěn)定的動力響應(yīng)問題計算格式。

徐文煥首先提出了用樣條函數(shù)表達(dá)時域函數(shù)，利用配點法解決結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題。在他提出的配點法中，將時域［t0，tm］作均勻劃分，時間步長為:

結(jié)構(gòu)物的第“n”個振型坐標(biāo)以三次B樣條函數(shù)表示為:

配點法為i的殘值方程為:

解得結(jié)構(gòu)物在t=t0時“n”振型的振型位移、速度及加速度分別為:

在t=ti時振型位移、速度及加速度分別為:

ti+1時刻的三個量與ti時刻的關(guān)系式如下:

表1 配點法計算結(jié)果

表2 威爾遜法計算結(jié)果

3 求解算例

使用配點法計算結(jié)果見表1。

使用威爾遜法計算結(jié)果見表2。

通過兩種方法的計算結(jié)果對比可知，使用配點法進(jìn)行計算是一種節(jié)省資源，高效準(zhǔn)確的計算方法，在適當(dāng)?shù)那闆r下，是可以取代有限元進(jìn)行工程力學(xué)分析的。

［1］ 徐次達(dá).計算力學(xué)中的加權(quán)殘值法在我國的研究及應(yīng)用［J］.力學(xué)與實踐，1998(1):18-19.

［2］ 鐘新谷，曾慶元.加權(quán)殘值法在鋼筋混凝土拱橋非線性有限元分析中的應(yīng)用［J］.計算力學(xué)學(xué)報，1999(4):51-52.

［3］ 張新占，馮忠居.用加權(quán)殘值法求解加筋圓柱曲板的臨界載荷［J］.陜西工學(xué)院學(xué)報，2000(1):31-34.

［4］ 王光杰.滑動最小二乘法在加權(quán)殘值法中的應(yīng)用［J］.桂林工學(xué)院學(xué)報，2000(3):26-27.