模糊隨機供需變量的VM I的訂貨量模型

李麗

(1.同濟大學經濟與管理學院，上海201804；2.德州學院計算機系，山東德州253023)

模糊隨機供需變量的VM I的訂貨量模型

李麗1，2

(1.同濟大學經濟與管理學院，上海201804；2.德州學院計算機系，山東德州253023)

VM I（Vendor Managed Inventory，供應商管理庫存）環境是一個不確定的環境。由于不能準確地刻畫需求與供給的變化，使得供應商不能很好解決按需訂貨問題，庫存成本居高不下。文章將ADI（Advance Demand Information，預求信息）和準時到貨率描述為模糊隨機變量，更客觀地反映了市場情形。為了在模糊隨機環境下得到供應商的訂貨量，基于模糊隨機理論，對傳統EOQ模型進行了擴展，提出了模糊隨機供需變量的VM I的訂貨量模型。對特殊的模糊隨機供需變量的情形，不僅能夠得出最優訂貨量，有效降低庫存費用，而且能夠分析供應商的費用隨庫存管理費用變化的情況，使得在不確定環境下決策時能利用更多的信息。

供應商管理庫存；模糊隨機變量；預求信息；準時到貨率；最優訂貨量

0 引言

VMI（Vendor Managed Inventory，供應商管理庫存）是一種在購買商占優的市場環境中出現的一種供應鏈庫存管理模式[1]（Tyan和Wee，2003）。在生產提前期（對客戶來說，稱需求提前期）長的供應鏈中，常采用VMI的管理模式，如圖1。需求提前期較長的客戶在需要之前下訂單時的需求信息，為預求信息（Advance Demand Information，ADI）。購買商為了幫助供應商更好地感知需求，借助于電子商務，為供應商提供ADI（如購買商公布的生產計劃信息）。例如Ford公司和GM公司向其供應商發布ADI并且每周更新訂單[2]。

VMI中，由于供應商管理庫存，用戶和供應商之間合作，雙方可以更好地兼顧供應和需求以減少大量冗余庫存。對于需求和準時到貨率，由于企業積累了用于擬合其概率分布的歷史數據，雖然數據有限并且不完全可靠，但用隨機變量來描述有一定的合理性。另外，需求和準時到貨率還是庫存管理中不能清晰界定的信息，可以按照專家的經驗估計其值，用模糊變量來描述也有其合理性。可以說需求及準時到貨率的模糊性、隨機性是交織在一起出現的。而在一些文獻中，需求和供應被看作隨機變量或模糊變量，這樣刻畫很難準確描述企業真實情況。當有最多兩年的歷史數據時，ADI和準時到貨率等都可以被刻劃為模糊隨機變量。基于模糊隨機變量建模得到的結果與實際情況接近，因而更加實用。因此，本文研究模糊隨機供需變量的VMI的訂貨量模型。

1 模糊隨機供需變量及其數學描述

1.1 模糊隨機需求的數學描述

Liu Y和Liu B[2]（2003年）給出了獨立同分布的模糊隨機變量的概念，同時也給出了模糊隨機變量的純量期望值算子的定義。

定義1[2]（Liu Y和Liu B，2003）假設ξ是一個從概率空間(Ω,A,Pr)到模糊變量集合的函數。如果對于R上的任何Borel集B，Cr{ξ(ω)∈B}是ω的可測函數，則稱ξ為一個模糊隨機變量。

VMI中，下游企業的ADI是供應商確定訂貨量的一個因素。由于從供應商確定訂貨量到下游企業實際使用這批訂貨，經歷的時間較長，原預測的市場情形可能變為下游企業減產（與訂貨時預測的數量相比）、增產等。各情形下的需求量管理者根據經驗可估計，各種市場情形服從的概率分布由歷史數據可統計。用模糊隨機變量刻畫需求是合適的。根據定義1，設需求是一個從概率空間(Ω,A,Pr)到模糊變量構成的集合的函數。為正的模糊變量（例如三角模糊變量、梯形模糊變量等）。假設與訂貨時間點下游企業發布的生產計劃相比，不確定市場環境下存在種隨機市場情形，如下游企業減產、產量與訂貨點公布的計劃相近、增產等，用ωi表示第i種市場情形（如用表示下游企業減產），每種情形發生的概率分別為p1，p2，…，pn。i=1,2,…，n可將需求表示為如下形式：

根據Liu和Liu[3]的定義，由于式（1）中的為正的模糊變量，則的期望值為的隸屬函數為ui，根據Liu[4]的定理，則：

因此，本文給出在一定訂貨批量下，模糊隨機需求的期望值的計算公式：

（1）式定義的需求可看作是最簡單形式的模糊隨機需求。模糊隨機需求還可以表示為關于隨機變量的其它形式的模糊變量。

1.2 模糊隨機準時到貨率的數學描述

生產提前期長的行業的生產環節存在對訂單產品的順利生產有很大的影響的不確定因素。假設不確定生產環境下存在n種隨機情形，如機組產能穩定、瓶頸工序積壓、機器發生故障等，用表示第i種隨機生產情形，每種生產情形發生的概率分別為根據定義1，本文將準時到貨率表示為如下形式：

（4）式定義的模糊隨機準時到貨率可看作是最簡單形式的模糊隨機變量。模糊隨機準時到貨率也可以被刻畫為其他模糊隨機變量形式。

3 問題描述、假設及符號

當前，VMI中，下游的購買商對上游供應商的產品滿足市場需求的速度提出了很高的要求，越來越多的企業要求供應商采用JIT(Just In Time，準時化)供應。供應商為了及時響應需求，防止不能按時交貨，通常要儲備大量的庫存，以應付需求量的增加以及上游生產商交貨的不穩定，造成了高額的運行成本，嚴重影響了企業的競爭力。

造成企業庫存量大、庫存成本高的原因有很多，除了需求和供給的不確定因素外，還有一個原因是VMI企業沒有一個合適的訂貨量模型。企業在不確定的環境下運營，訂貨量模型不合適的結果是要么有可能發生缺貨，不能及時滿足需求，要么造成庫存量大，庫存成本居高不下。在供需變量為模糊隨機變量的VMI中，供應商面臨的問題是，如何在滿足對下游企業供應的基礎上，決策最優的不允許缺貨的訂貨量，使存儲系統總費用最小？

由于JIT供應下，供應商缺貨將導致包括產品相應的利潤、下游企業因缺貨而停產、失去供應鏈的長期合作伙伴等損失，這些損失遠遠超過了產品的存儲成本。因此，在這里視為不允許缺貨的模型。具有一定生產周期的行業一般采用定期訂貨模式，因此，本文假設定期訂貨、一次性到貨。

假設一對一的供應鏈，即購買商只從一家供應商處采購，而供應商也只為這一家購買商供貨，購買商的銷售量就是供應商的采購量，且供應商是這種關系的主導者。單一產品。此外，假設具有預算資金和存儲空間的約束。

為了表述問題的方便，列出其它一些符號。

T以周為單位的周期（采購量消耗期）；

L訂貨提前期；

B1供應商每周期最大的資金約束；

B2供應商的最大存儲量；

c1供應商單位產品的訂貨、生產準備、生產及配送成本之和；

h供應商的單位產品的存儲成本。

4 模型的建立

VMI模式下（如圖1），供應商根據組織內生產部門的供應信息和組織外企業的需求信息做訂貨決策。根據傳統庫存控制理論和EOQ模型的思想，決策VMI的訂貨量時，與訂貨量有關的因素為持有庫存量、最小存儲系統總費用、可用資金、最大庫存容量、需求量等。經典EOQ是針對單個企業而言的，訂貨模式如圖2。經典EOQ模型假設需求為確定值，而很多情況下需求量為模糊隨機變量；經典EOQ模型假設當存儲降為零時，可以立即得到補充并且所要補充的數量全部同時到位，而很多行業生產周期長，無法隨時補貨。經典EOQ模型沒有供應變量，而VMI中準時到貨率也作為決策訂貨量的一個模糊隨機變量。因此需對EOQ模型進行擴展。

常見訂貨量模型問題的研究多為確定型的和隨機型的，本文研究模糊隨機型訂貨量模型。本文模型與傳統EOQ模型不同的是需求量為模糊隨機變量，同時又添加了準時到貨率變量，而且準時到貨率也是模糊隨機變量。解決模糊隨機庫存問題的主要方法是對經典庫存模型進行擴展。Das等[5]（2004）研究了模糊隨機環境下的庫存問題。然而這些研究只給出了適用于一些特殊的模糊隨機環境下的庫存優化方法，沒有給出需求與供應的模糊隨機變量下的需求與供應相平衡的庫存模型。為此，本文需在分析供應商的訂貨量模型（Order Quantity Model，OQM）邏輯的基礎上，利用模糊隨機數學方法，對EOQ模型進行擴展，建立需VMI的訂貨量模型。本文考慮的模型的邏輯如圖3。由持有庫存、單位持有費用等確定值和模糊隨機需求、準時到貨率等參數確定訂貨量；以最小庫存費用為目標，約束為資金和庫存容量限制。

模糊隨機環境下的定期訂貨、不允許缺貨的VMI模型的存儲狀態圖如圖4。[T0，T+T0]為一個存儲周期，也是采購量的消耗周期。T0時刻結束生產并運到倉庫；T0時刻庫存量迅速增加至最大存儲量B2，并停止生產及運送；[T0，T+T0]時間內以存儲滿足需求，存儲以速度r軇'減少。至T+T0時刻存儲降為最低，進入下一個存儲周期。

易知，在[T0，T+T0]時間內，T時段內的總費用包括供應商每次訂貨的訂貨費、生產準備、生產、配送及存儲費用。設訂貨費、生產準備費、生產及配送費用之和為c1。單位產品的存儲成本為h，平均存儲量為故存儲費為故[T0，T+T0]時間內總費用為：

決策目的是尋找最優訂貨量Q，使得供應商的費用期望值達到極小。因此目標函數為：

假設在月初訂貨，已知I后，決策者確定訂貨量Q。根據Liu Y和Liu B（2003）[12]的定理，由于i（i=1,2,…，T+L）為模糊隨機變量并且有有限期望值。若對每個ω∈Ω，各模糊變量i（ω）（i=1,2,…，T+L）相互獨立，則理想狀態下的公式為：

從圖4可見，訂貨提前期為[0，T0]，存儲量應恰好滿足這段時間的需求，故定期檢查庫存量，當時不補充，當時補充。上式變為如下約束，即

假設B1為每周期最大的資金約束。如果決策者希望VMI下產品供應商每次的訂貨成本、生產準備、生產、配送成本與供應商的庫存持有成本之和不超過可得到的每周期成本之和，則關于資金預算的約束為：

如果決策者希望定期檢查時倉庫的實際庫存量與到貨量之和不超過最大庫存，則關于最大庫存量的約束如下：

關于決策變量的非負約束為：

構造下列VMI的模糊隨機期望值模型。

即：

4 模型的求解

如果假設VMI模式下，供應商估計的下游企業的一個周期內總需求為，其中ρ1為正態隨機變量，記為ρ1～N(a,σ2)，ρ1的概率密度函數為∞

表1 VM I庫存系統參數值

可分析供應商的費用隨庫存管理費用變化的情況。具體方法為：將Q的值固定，將、I和Q的值代入（6）式并化簡，得的表達式。由約束2（即（9）式）得h的取值范圍。由于是關于h的函數，可作圖表示當Q取某特定值時，供應商的費用隨h變化的情況。還可將視h為變量，將E、c1、I、B1和B2的值代入（13）式。由約束1、3和約束4，得到Q的范圍，作圖分析供應商的費用隨h和Q變化的情形。通過分析供應商的存儲系統總費用隨庫存管理費用變化的情況，為企業決策最優訂貨量提供更進一步的依據。圖5為假設Q=3700時的供應商的費用隨變化的情況。圖6為供應商的費用隨h、Q變化的情況。

當模糊隨機需求中的d1,d2,…，dn的隸屬函數復雜，并且隨機市場情形因素服從某種概率分布時，難以用解析方法求解該復雜模型。這時可利用模糊隨機模擬與智能算法相結合的辦法求解。

5 結論

目前VMI模式在制造業、燃料流通業、零售業等諸多行業中普遍存在。VMI中存在著大量的模糊隨機不確定性。在經典的經濟訂購批量問題中，假設需求是一個確定數，并且假設當存儲降為零時，可以立即得到補充并且所要補充的數量全部同時到位。而在這些行業中，需要研究定期訂貨、ADI和準時到貨率為模糊隨機變量、一次性到貨的訂貨量模型。因此針對VMI應用中遇到的具體難題，本文將需求量、準時到貨率變量刻畫為模糊隨機變量，以更真實而準確地反映企業現實環境，考慮需求與供給的平衡，將傳統EOQ模型進行了擴展，使得庫存控制理論的應用范圍更廣、適用性更強。對特殊情形得出了模型的解析解，討論了供應商的庫存費用隨單位庫存持有費用及訂貨量變化的情形，為企業決策最優訂貨量提供更進一步的依據。

[1]Tyan J,Wee Hui-Ming.Vendor Managed Inventory:a Survey of the Taiwanese Grocery Industry[J].Journal of Purchasing and supply Management,2003,(9).

[2]Liu Y K,Liu B.Fuzzy Random Variables:a Scalar Expected Value Operator[J].Fuzzy Optimization and Decision Making,2003,2(2).

[3]Liu B,Liu Y.Expected Value of Fuzzy Variables and Fuzzy Expected Value Models[J].IEEE Transactions Fuzzy Systems,2002,10(4).

[4]Liu B.Uncertainty Theory:an Introduction to its Axiomatic Foundations[M].Berlin：Springer-Verlag,2004.

[5]Das K.,Roy T.,Maiti M.Multi-item Stochastic and Fuzzy-stochastic Inventory Models under Two Restrictions[J].Computers&Operations Research,2004,（31）.

F224

A

1002－6487（2011）07－0058-04

李麗（1968-），女，山東德州人，博士，教授，研究方向：供應鏈管理、信息管理與信息系統。

(責任編輯/易永生)