多目標變量調查的小域的穩健估計量研究

呂萍

（北京大學中國社會科學調查中心，北京100871）

多目標變量調查的小域的穩健估計量研究

呂萍

（北京大學中國社會科學調查中心，北京100871）

大型的抽樣調查不僅是多目標的復雜調查，而且在估計總體目標變量的基礎上還需要對其中的一些域的目標變量進行估計，所以小域估計和多目標估計問題一直是抽樣調查的熱點問題。文章主要利用模型校準權數的方法，解決小域中的多目標估計問題，并得到小域的多個目標變量的穩健估計量。

小域估計；多目標調查；模型校準權數；穩健估計量

0 引言

小域估計[1]是當今抽樣調查的熱點的問題之一，許多大型的調查都需要在估計總體的目標變量的同時，對相應的域的目標變量進行有效的估計。小域指規模很小的域，包括地理上的小域，也包括總體中按照某種屬性劃分的一個很小的子總體，“小”是指樣本量很小，甚至為零，此時無法利用傳統的直接估計法對小域的目標變量的進行有效的估計，稱為小域估計問題。小域估計的主流發展方向是基于模型的間接估計方法，即基于相鄰或相似域的信息借助于輔助模型對小域的目標變量進行估計的方法。這種方法有明確的模型形式，不僅可以處理比較復雜的數據類型，還可以通過樣本數據對模型的合理性進行驗證。

多目標問題一直是抽樣調查的熱點問題之一，人們總是希望用一套樣本數據滿足不同目標變量的估計要求，也稱為多主題或多指標抽樣，即用一套樣本數據同時估計兩個或是兩個以上的目標變量的抽樣調查方法。由于在抽樣設計中各個調查變量的樣本分布是不同的，多個變量的聯合分布很難確定，這大大增加了抽樣設計的難度。解決多目標問題的方法主要有四種：

第一種方法體現在抽樣方式的選擇上，即如何選擇一種有效的抽樣方法得到樣本數據，使各個目標的抽樣誤差都能達到最小。

第二種方法體現在抽樣設計方法的選擇上。抽樣設計有多種方法，主要有隨機化抽樣方法，包含多目標分層抽樣方法、多目標平衡抽樣方法、多目標比率與回歸估計方法、多目標雙重抽樣方法、多目標雙重事后分層抽樣方法、成本條件下的多目標復合抽樣法以及多變量與規模成比例的抽樣方法（MPPS）；模型抽樣方法；模型輔助抽樣方法。

第三種方法體現在樣本容量的確定上，樣本量的大小既涉及到抽樣估計的精度，又涉及到調查的費用，在多目標抽樣設計中各個目標的抽樣誤差的大小可能不同，選擇合適的樣本量是十分重要的。

第四種方法是估計量的選擇。即在沒有比較好的抽樣方法并且經費有限的情況下，選擇合適的估計方法盡可能地提高估計量的精度。

多目標問題也是小域估計中普遍存在的問題。本文擬從估計量選擇的角度對小域估計中的多目標問題進行研究，并用基于模型校準權數的小域估計方法得到小域的多個目標變量的穩健估計量。

傳統的小域估計方法是基于混合模型的模型依賴的估計方法，它的目標估計量依賴于模型的假定，當模型的假定不成立，估計是有偏的，甚至是無效的。在實際調查中，由于抽樣設計和實際調查過程的復雜性，總體模型和樣本模型往往是不一致的，用樣本數據得到的目標變量的估計量是有偏的。針對這個問題，Chambers提出了利用模型校準權數[3][4]的方法，這種方法可以有效地防止模型假定錯誤和樣本選擇過程產生的偏差，得到小域的目標變量的穩健估計量[5]。

1 多目標變量調查的小域的穩健估計量

設一個多目標的抽樣調查，有k個目標變量是Y=(Y1，Y2，…，Yk)T，調查總體中包含m個小域，設每個目標變量Yk滿足線性混合模型[1]

Yk=Xβk+zTuk+ek

其中輔助變量是X=(X1T，x2T，…，xmT)T；設計變量是Z=diag(Zj，1≤j≤J)；域隨機變量是uk=(uk1，uk2，…，ukm)T；ek=(ek1，ek2，…，ekm)T；Var(uki)=∑ki；Var(eki)=σki2INi；INi是Ni階的單位矩陣。則Yk的協方差矩陣為Var(Yk)=σki2INi+Zki∑kiZkiT。首先按照樣本單元和非樣本單元拆分為：

（1）對各個目標變量Yk用小域估計的基本混合模型的方法得到各個目標變量的經驗最佳線性無偏估計量，這種方法的計算量比較大，并且依賴于模型的假定條件，穩健性比較差。

（2）對各個目標變量利用基于模型校準權數的小域的穩健估計方法模型校準權數得到小域的各個目標變量的穩健估計量，但是計算量比較大。

（3）在實際過程中，為了計算簡便，可以用一個共同的模型校準權數對小域的個目標變量進行估計。這個共同的權數可以通過對每個目標變量的模型校準權數的加權平均，即

利用這個共同的模型校準權數w(1)得到小域的各個目標變量的穩健估計量，但是這個方法同樣需要對每一個目標變量求解模型校準權數，計算量依然比較大。

用這個共同的模型權數wk(2)得到各個目標變量的穩健估計量，這個方法同樣需要求解k個目標變量的方差元素的估計量贊ki，計算量也比較大。

上面四種方法都需要分別對k個目標變量計算，計算量比較大。下面用模型校準權數的方法，通過在滿足k個目標變量都是無偏估計量的情況下使k個目標變量的方差的加權平均和最小，得到k個目標變量的共同的模型校準權數，進而得到目標變量的穩健有效的估計量。調查總體的多個目標變量之間可能相關也可能無關。

2 多個目標變量無關時的穩健估計量

若個目標變量是無關的，則k個目標變量的模型校準權數需要滿足在無偏的情況下使每個目標變量的加權平均和最小，即滿足：

利用拉格朗日數乘法求解，拉格朗日函數為：

分別對wk和λ的求偏導，并令其為零，即：

上式乘以XsT得到：

得到最優的模型校準權數為：

即k個目標變量的共同的最優的模型校準權數為：

其中Vkss，Vksr的估計量由極大似然估計、矩估計等方法得到，所以k個目標變量的共同的模型校準權數為：

由上述模型校準權數得到第i小域的第k個目標變量Yk的均值的穩健估計量為：

其均方誤差的穩健估計量為：

3 多個目標變量相關時穩健估計量

當k個目標變量相關時，得到k個目標變量最優的模型校準權數同樣需要滿足下面兩個條件

其中第個目標變量的協方差為：

同樣地，運用拉格朗日數乘法，得到：

上式分別對wk和λ的求偏導，令其為零，得到：

由于k個目標變量是相關的，即Yk，Yl相關，此時：

第i個小域的第k個目標變量Yk的均值估計量為：

均方誤差的估計量為：

通過上述方法，可以有效地處理小域中的多目標估計問題。模型校準權數的估計方法是一種穩健的小域估計方法。

4 結論

小域估計和多目標問題都是抽樣調查的難點問題，小域的多目標問題是一個備受關注的焦點問題。模型校準權數方法是一種穩健的小域估計方法。本文用模型校準權數的方法解決多目標的小域估計問題，并得到穩健、有效的估計量。

[1]Rao,J.N.K.Small Area Estimation[M].New York:Wiley,2003.

[2]Longford N.T.Missing Data and Small-Area Estimation.Modern Analytical Equipment for the Survey Statistician[M].New York:Springer,2005.

[3]Chandra,H.,Chambers,R.L.Comparing EBLUP and CEBLUP for Small Area Estimation[J].Statistics in Transition,2005,(7).

[4]呂萍.基于最佳線性無偏估計的模型權數的小域估計[J].統計與決策，2009,(1).

[5]Devile,J.C.,Sarndal,C.E.Calibration Estimators in Survey Sampling[J].Journal of the American Statistical Association,1992,87.

O212

A

1002-6487（2011）07-0021-03

中國博士后基金資助項目（20100470129）

呂萍（1981-），女，山東泰安人，博士后，研究方向：統計調查和數據分析。

（責任編輯/亦民）