高壓并聯電抗器非線性模型的分析①

岳 昊， 徐永海， 劉穎英， 朱永強， 肖湘寧

(華北電力大學電氣與電子工程學院， 北京 102206)

高壓并聯電抗器非線性模型的分析①

岳 昊， 徐永海， 劉穎英， 朱永強， 肖湘寧

(華北電力大學電氣與電子工程學院， 北京 102206)

建立精確的高壓并聯電抗器非線性模型是對超(特)交流輸電系統進行各種仿真分析的基礎。基于單相并聯電抗器的電磁關系，充分考慮鐵心非線性的影響，提出了一種適用于諧波分析、易于仿真實現的單相并聯電抗器的非線性模型，它由反映其磁化特性的非線性電感與反映其鐵心損耗的非線性電阻并聯再與漏阻抗串聯組成，并且分別引入ir-u和i1-u瞬時特性曲線來求解非線性電感和非線性電阻。結合我國晉東南-南陽-荊門1 000 kV特高壓交流輸電試驗示范工程中的高抗參數在PSCAD/EMTDC中進行了建模和仿真，證明所建立的模型能夠比較準確地反映高抗的非線性特性，為進行超(特)高壓交流輸電系統仿真模型的搭建和對其進行諧波特性分析提供了必要條件。

高壓并聯電抗器； 非線性模型； 特高壓； 仿真

由于我國西電東送和南北互供等遠距離送電的要求，相當一部分超(特)高壓線路都比較長，單段線路的充電功率很大，必須使用高壓并聯電抗器(簡稱高抗)進行補償[1]。它不僅可以補償長線電容效應，提高功率因數而改善供電質量、限制電壓升高而保護設備，而且可以減少線路損耗并維持無功平衡[2]。

因為鐵心含有氣隙的緣故，高抗的飽和程度低于變壓器，其諧波含有率低但其諧波含量卻很高[3]。尤其當夜間低谷負荷時，線路電壓偏高，高抗可能工作于飽和區。研究[4]表明，在運行電壓較高或在工頻過電壓情況下，高抗三次諧波電流含量有較大幅度的增加。因此在對超(特)高壓交流輸電系統進行各種仿真分析時，不能忽略高抗的飽和特性，而需要建立高抗的非線性模型。

以往，人們對常規高壓并聯電抗器模型的研究較少，在已有的研究中，文獻[5]在已知B-H磁化曲線和平均磁路長度的條件下推導出了由線性電感并聯受控電流源的非線性電抗器的模型，但這種模型對于原始數據的要求較苛刻，需要電抗器的B-H磁化曲線及其尺寸，而且在模型中沒有考慮鐵心損耗帶來的非線性。文獻[6]定性地給出了空心電抗器的模型，即由氣隙電感和鐵心電感并聯再與漏電感串聯，但該模型同樣沒有考慮鐵心損耗，而且并沒有對起關鍵作用的鐵心電感如何實現進行描述。

本文在推導高抗電磁方程的基礎上，建立了高抗比較精確的非線性模型，即由表示其磁化特性的非線性電感與表示其鐵心損耗的非線性電阻并聯再與漏阻抗串聯。本文引入i-u瞬時特性曲線來反映對應于鐵心磁化特性的電感的非線性(無功特性)；引入瞬時特性曲線來反映對應于鐵心損耗的電阻的非線性(有功特性)。結合我國晉東南-南陽-荊門特高壓交流試驗示范工程中高抗的實際參數在PSCAD/EMTDC電磁仿真軟件中建立了高抗和特高壓系統的仿真模型，并對高抗的特性進行了分析。

1 高壓并聯電抗器數學模型的推導

圖1(a)為電抗器結構示意，電抗器由一個主鐵心柱和兩個等截面等長度的旁軛組成。旁軛面積大于主鐵心面積。主鐵心上繞有匝數為N的線圈。鐵心為分段式，段間間隙用非磁性絕緣材料構成。由此可以看出它相當于只有原邊繞組的變壓器，因此本文在建立電抗器模型的過程中將文獻[7～10]中使用變壓器空載試驗數據求解變壓器鐵心激磁阻抗的方法引入到求解高抗鐵心激磁阻抗中來，此時需要的數據為電抗器常規試驗數據。

圖1 單相并聯電抗器的物理模型

圖1(b)為單相并聯電抗器的物理模型，u為外加的正弦電壓，im為激磁電流，φ1為經過鐵心的主磁通，φ2為經過旁軛的磁通，φσ為鐵心與空氣交鏈的漏磁通，e為線圈感應的電動勢。

建立相應的電路與磁路方程為

φ=φ1+φσ

(1)

Ψ=Nφ=N(φ1+φσ)

(2)

由磁路歐姆定律φ=FΛ=Ni1Λ并代入式(2)得

Ψ=N(Ni1Λ1+Ni1Λσ)=(L1+Lσ)i1

(3)

(4)

再由式(3)得

(5)

如果考慮鐵心損耗，則激磁電流im包括磁化電流i1和鐵耗電流ir，即

im=ir+i1

(6)

其中

(7)

式(1)和式(2)為電抗器的磁路方程，式(5)～式(7)為電路方程，式(3)和式(4)為電磁接口方程。各式中：φ為通電線圈產生的總磁通，包括主磁通φ1和漏磁通φσ；Ψ為總磁通φ交鏈N匝線圈的磁鏈；im為激磁電流；ir為產生鐵耗的等效電流；i1為產生磁場的等效磁化電流；Λ和Λσ分別為主磁通路徑和漏磁通路徑的磁導；L1和Lσ分別為主電感(非線性)和漏電感(常數)；r為線圈電阻；rFe為鐵耗等效電阻；將Zm=rFe//jωL1稱為電抗器的激磁阻抗，將

Zσ=r+jωLσ

(8)

稱為電抗器的漏阻抗。

根據式(5)～式(7)可得單相并聯電抗器的等效電路如圖2所示。由于電抗器的鐵心是分段式帶間隙的，因此主磁通通過鐵心和間隙閉合。又因為氣隙的磁導率恒定，非線性電感L1又可等效為線性的氣隙電感Lgap和非線性的鐵心電感Lnon。

為了準確建立高抗的非線性模型，根據文獻[8～11]，引入ir-u瞬時特性曲線表示鐵耗等效電阻rFe，引入i1-Ψ瞬時特性曲線表示激磁電抗，即

L1=Lgap+Lnon

(9)

rFe和L1的計算式為

ir=f1(u)

(10)

(11)

i1=f2(Ψ)=f3(u)

(12)

(13)

式中，f1(u)、f2(Ψ)為對ir-u、i1-Ψ曲線進行適當的數值模擬得到的函數；忽略漏阻抗時，e=u；由于Ψ與u在數量上是線性關系(系數為角頻率ω)，只是相位相差90°，因此為了計算方便可以直接求取i1-u的數值關系f3(u)。由式(11)和式(13)可見，最終求得的rFe和L1均為外加電壓u的瞬時值的函數。

圖2 單相并聯電抗器等效電路

求解模型參數需要提供的數據有：繞組電阻r、漏電感Lσ、ir-u和i1-u瞬時特性曲線。r和Lσ可由電抗器廠家提供的參數直接得到，ir-u和i1-u瞬時特性曲線可由電抗器的常規試驗數據(Urms1，Irms1，P1)、(Urms2，Irms2，P2)、…、(Urmsn，Irmsn，Pn)經已編制的算法程序計算得到。Urms、Irms為電抗器試驗電壓、電流有效值，P為電抗器損耗值。

圖2中的電抗器模型，將激磁電流分為用于產生磁場的無功電流和用于產生鐵耗的有功電流，物理概念清晰，易于理解。激磁阻抗不但包括通常不可忽略的反映鐵心飽和特性的非線性電感，同時也考慮了反映鐵耗的非線性電阻，對于分析電抗器的非線性特性更為精確。在求解激磁阻抗的過程中，只需提供一組電抗器的試驗數據，較之需要獲取B-H曲線或Ψ-i曲線的方法要更容易。

上述電抗器的非線性模型在仿真中也易于實現，在PSCAD/EMTDC電磁暫態仿真軟件中，使用可輸入變量名例如“R”和“L”的可變電阻和電感元件作為非線性電阻和非線性電感，“R”和“L”為隨著某一自變量變化的有具體數值的因變量，通過上述分析可知該模型使用的這一自變量為外加電壓瞬時值。使用這樣的可變元件的好處在于只需輸入變量值就可體現電感的特性，免去了使用復雜的微分方程來模擬電感元件帶來的麻煩。

2 單相高壓并聯電抗器激磁阻抗的計算

通過以上分析可知，建立電抗器模型過程中不能直接得到的參數是非線性電阻和非線性電感，即激磁阻抗。求解它的第一步是需根據電抗器的常規試驗數據計算得到兩條瞬時特性曲線，然后對曲線進行適當的數值模擬，最后得到激磁阻抗表達式。

2.1 瞬時特性曲線的計算

步驟1程序初始化。

(1)輸入原始數據Urms(1×n)，Irms(1×n)，P(1×n)。

(2)計算Urms(k)的最大值U(k)的公式為

(14)

其中k=1，2，…，n。

(3)形成α(n×n)矩陣，其中

(15)

(16)

步驟2計算Ir(k)，其中k=1，2，…，n。

(17)

(2)迭代計算其余非線性段的Ir(k)，k=2，…，n。

步驟3計算Irms(k)和I1rms(k)，其中k=1，2，…，n。

(1)迭代計算Ir(k)對應的有效值Irms(k)

(2)計算I1rms(k)的公式為

(18)

步驟4計算I1rms(k)對應的最大值I1(k)。

(19)

(2)迭代計算其余非線性段的I1(k)。

步驟5輸出結果U(1×n)，I1(1×n)，Ir(1×n)。

由Uk、Irk、I1k便可得到ir-u和i1-u瞬時特性曲線。

其中，Urms(1×n)、Irms(1×n)、P(1×n)分別為進行電抗器試驗時的電壓、電流有效值和損耗值。

2.2 瞬時特性曲線的數值模擬

為了得到如式(11)和式(13)所示的組成激磁阻抗的非線性電阻rFe和非線性電感L1，在計算出ir-u和i1-u瞬時特性曲線后需要對其進行數值模擬得到如式(10)和式(12)所示的表達式。

對于ir-u、i1-u的曲線數值模擬方法可以采用插值法或函數擬合法。插值法常用的函數為三次樣條分段插值和分段線性插值。擬合函數可以使用最小二乘法的奇次多項式[12,13]，即

p=a1x+a3x3+…+a2n+1x2n+1

(20)

冪函數[5]為

y=ax+bxc

(21)

以南陽站高抗的i1-u瞬時特性曲線的數值模擬為例，當采用奇次多項式進行擬合時，由于求出的系數a2n+1可能為負，因此很難保證擬合函數的單調上升，有時會出現振蕩現象，誤差較大。如若采用三次樣條插值，在線性段可以很好地與原數據曲線逼近，但分段較多，如圖3所示，三次樣條插值函數一共分了10段，即用10個3次多項式來表達這條曲線，增加了表達式的復雜程度，而且可以看到，插值曲線在拐點附近與原數據曲線誤差較大。若減少三次樣條插值函數分段數，則曲線的線性度將大大降低，每段都會出現波動。若采用冪函數擬合，雖然擬合表達式簡單，但在拐點附近的誤差較大，如圖4所示。

圖3 i1-u曲線三次樣條插值結果

因為在上文提出的模型中，求解rFe和L1的過程并沒有涉及到求導計算，所以可以使用分段線性插值，結果如圖5所示。這樣做的好處是，既可以很好模擬原數據曲線，又減少了分段表達式的個數(只用3個)而且表達式簡單，易于寫入程序進行仿真。

圖4 i1-u曲線冪函數擬合結果(局部)

圖5 i1-u曲線分段線性插值結果

在求得rFe和L1的表達式的基礎上，筆者在PSCAD/EMTDC中，使用Fortran語言編制了一個輸入變量為電抗器瞬時勵磁電壓，輸出變量為電阻值和電感值的名為“受控非線性電阻(感)”模塊，以實現rFe和L1的分段計算，并對模型中的可變電阻和可變電感進行控制。

3 算例分析

3.1特高壓交流試驗示范工程高抗的非線性仿真模型

本文采用我國1 000 kV晉東南-南陽-荊門特高壓交流試驗示范工程中單相高抗的實際參數建立了其仿真模型，并進行了非線性特性仿真分析。示范工程中在晉東南、南陽、荊門三站分別配置了高壓并聯電抗器。由于三站高抗的模型建立過程類似，因此下面僅給出南陽站高抗模型的建立過程。表1～表2為南陽站單相高抗的主要參數和試驗數據。其中，Un、In、Zn、Sn分別為南陽站單相高抗的額定電壓、額定電流、額定阻抗、額定容量。Up、Irms、Pt、Ps分別為高抗試驗時的電壓百分數、電流有效值、總損耗、雜散損耗。

將該組試驗數據輸入至第3.1節中所述的瞬時特性曲線計算程序中，得到i1-u和ir-u瞬時特性曲線如圖6所示，并且使用第3.2節中的分段線性插值方法得到i1-u曲線函數為

(22)

式中：i1單位為kA，u單位為kV。

表1 南陽開關站單相高抗的主要參數

表2 南陽開關站單相高抗的試驗數據

圖6 南陽站高抗i1-u和ir-u瞬時特性曲線

由于ir-u基本為線性，故可使用線性擬合，擬合式為ir=9.984×10-7u，等值電阻值為1.001 6×166Ω。

由于缺少漏阻抗參數，因此忽略漏阻抗，最終建立的南陽站單相高抗仿真模型，如圖7所示。

圖7 南陽開關站單相高抗仿真模型

3.2特高壓交流試驗示范工程高抗特性仿真分析

3.2.1 高抗的非線性特性

由圖8可以看出，當外加額定電壓時，高抗電流畸變程度不大，為正弦波形；當外加1.5倍額定電壓時(已經入飽和區)，電流為尖頂波，其中除了基波分量外，還含有一系列奇次諧波，其中以三次諧波為主。由于模型中使用了隨電壓變化的可變電感，因此當高抗電壓高于拐點電壓時，感抗瞬時值是周期變化的，即當電壓瞬時值低于拐點電壓時，感抗值為高抗的額定值，當高于拐點電壓時，感抗值隨電壓升高而減小。

3.2.2 高抗接入特高壓交流系統的仿真分析

本文以1 000 kV晉東南-南陽-荊門特高壓交流試驗示范工程為背景，采用國際上廣泛使用的電磁暫態仿真軟件PSCAD/EMTDC建立了特高壓系統詳細的仿真模型[14]。

在高抗全投的情況下，通過仿真得到晉-南線吸收容性無功功率約為1 191.5 Mvar，平均100 km的充電功率約為328.24 Mvar。荊-南線吸收容性無功功率約為899.9 Mvar，平均每100 km的充電功率約為309.24 Mvar，晉-南-荊線總平均每100 km的充電功率約為319.79 Mvar。

圖8 南陽站高抗電流波形及感抗值的變化

表3為高抗不同投切狀況下，線路上三站1 000母線的電壓升高情況。可見線路高抗切除后三站電壓都有所升高，當高抗全切后三站線電壓都高于線路允許最高電壓1 100 kV，晉東南、荊門站電壓較高抗全投時升高約1.15倍，南陽站電壓升高最嚴重，約1.21倍。而且可以看出，增設開關站并且投入高抗可以明顯抑制由線路充電效應引起的過電壓。

表3 線路高抗不同投切狀況下三站線電壓的比較

4 結語

在分析了并聯電抗器電磁關系基礎上建立的由非線性電感和非線性電阻并聯表示的并聯電抗器的模型，其計算過程簡單、物理概念清晰、易于仿真實現。仿真分析表明，在1.4倍額定電壓以下，高抗主要諧波電流含有率(HRI)極低，均在0.1%以下，表明高抗在正常電壓工作時的線性度很好。以我國特高壓輸電系統為例的仿真表明，線路接入并聯高抗后，降低了工頻電壓升高。

[1] 劉振亞．特高壓電網[M].北京：中國經濟出版社，2005.

[2] 劉孝為，陳楚羽，王宏(Liu Xiaowei，Chen Chuyu，Wang Hong)．超高壓并聯電抗器的結構特點和運行情況綜述(Probe into the structure character & operation of EHV shunt reactor)[J].陜西電力(Northwest China Electric Power)，2006，34(5)：39-43．

[3] Li Shusen，Chen Xiaoyan， Zhao Zhengjun,etal.The study of 500 kV system harmonics in Central China power network[C]∥8th International Conference on Harmonics and Quality of Power，Athens，Greece: 1998．

[4] 馮寶憶(Feng Baoyi).華東500 kV電網諧波問題初探(Investigation on harmonics in ECPN 500 kV power network)[J].華東電力(East China Electric Power)，1992，20(4)：1-6．

[5] 趙宇紅，王松江，王鳳仁(Zhao Yuhong，Wang Songjiang，Wang Fengren)．非線性電抗器的數學模型與等效電路(Mathematic model and equivalent circuit of nonlinear reactors)[J].哈爾濱電工學院學報(HIET Journal)，1996，19(3)：307-313．

[6] Alexander G W，Hopkinson R H，Welch A U．Design and application of EHV shunt reactors[J].IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1966，85(12)：1247-1258．

[7] Prusty S，Rao M.A direct piecewise linearized approach to convert RMS saturation characteristic to instantaneous saturation curve[J].IEEE Trans on Magnetics，1980，16(1)：156-160．

[8] Neves W L A，Dommel H W．On modeling iron core nonlinearities[J].IEEE Trans on Power Systems，1993，8(2)：417-422．

[9] Wiechowski W，Bak-Jensen B，Bak Claus Leth，etal.Transformer core nonlinearities modeled in harmonic domain[C]∥Power Engineering Society Transmission and Distribution Conference，Dalian， China: 2005．

[10]Hosseinian S H，Vahidi B．Transformer no-load current wave shape considering core loss[C]∥IEEE Region 10 Annual International Conference，Taipei，China: 2007．

[11]Baghzouz Y，Gong X D．Voltage-dependent model for teaching transformer core nonlinearity[J].IEEE Trans on Power Systems，1993，8(2)：746-752．

[12]吳篤貴，徐政(Wu Dugui，Xu Zheng).電力變壓器有源諧波模型(Active harmonic model of power transformer)[J].電網技術(Power System Technology)，1999，23(3)：34-37．

[13]張誠，廖勇，劉刃，等(Zhang Cheng，Liao Yong，Liu Ren，etal).一種考慮飽和的變壓器仿真模型的分析(The analysis of the transformers saturation model)[J].重慶大學學報:自然科學版(Journal of Chongqing University：Natural Science Edition)，2003，26(10)：63-66．

[14]華北電力大學, 國網電力科學研究院.特高壓系統諧波特性分析及潛供電流對重合閘的影響研[R].北京：華北電力大學；武漢：國網電力科學研究院，2009．

[15]殷幼軍, 陸繼明, 毛承雄，等(Yin Youjun，Lu Jiming，Mao Chengxiong，etal).單磁芯飽和電抗器的建模與仿真(Modeling and simulation of saturable reactor with single core using MATLAB)[J].電力系統及其自動化學報(Proceedings of the CSU-EPSA)2006, 18(4) : 9-13.

AnalysisofNonlinearModelofHVShuntReactor

YUE Hao， XU Yong-hai， LIU Ying-ying， ZHU Yong-qiang， XIAO Xiang-ning

(School of Electrical and Electronic Engineering， North China Electric Power University， Beijing 102206， China)

Modeling of accurate nonlinear high voltage(HV) shunt reactor is basis of simulation analysis of EHV(UHV) AC transmission system. Based on the electromagnetic relations of single-phase shunt reactor and the effect of iron core nonlinearity, a new model of single-phase shunt reactor is presented for harmonic analysis and computer simulation. The shunt reactor is composed by a simple equivalent circuit consisting of an impedance representing the leakage flux losses in series with a parallel combination of a nonlinear inductance (accounting for the saturation of the iron core) and a nonlinear resistance(accounting for the iron loss). The nonlinear impedance is calculated by their-uandi1-ucurves which have been used for modeling of transformer excitation impedance. The results of simulation in PSCAD/EMTDC using the parameters of shunt reactor in China's UHV AC Pilot Project have proved that this model accurately reflects the nonlinear characteristics of shunt reactor, which is the prerequisite to complete the simulating model of EHV(UHV) AC transmission system and analyze the harmonic characteristic of the system.

high voltage(HV) shunt reactor； nonlinear model； ultra high voltage； simulation

2009-10-26

2009-12-11

國家電網公司特高壓輸電可行性研究項目(SGTGY2008609)；高等學校學科創新引智計劃(“111”計劃)(B08013)

TM472

A

1003-8930(2011)01-0039-07

岳 昊(1985-)，男，博士研究生，研究方向為電能質量分析與控制。Email:yuehome@163.com 徐永海(1966-)，男，博士，教授，主要從事電力系統諧波、電能質量等方面的教學及研究工作。Email:yonghaixu@263.net 劉穎英(1981-)，女，博士研究生，研究方向為電能質量分析與控制。Email:Liuyy1104@163.com 朱永強(1975-)，男，博士，講師，主要從事電能質量、新能源等方面的教學與研究工作。Email:zyq@ncepu.edu.cn 肖湘寧(1953-)，男，教授，博士生導師，主要從事電力系統諧波、電能質量、現代電力電子技術應用等方面的教學與科研工作。Email:xxn@ncepu.edu.cn