運用CAE工具進行兩階段結構優化設計

汪冬生 南京地下工程建筑設計院有限公司，江蘇 南京 210029

運用CAE工具進行兩階段結構優化設計

汪冬生 南京地下工程建筑設計院有限公司，江蘇 南京 210029

本文利用CAE工具，對一受集中荷載作用的矩形板依次進行拓撲優化與尺寸優化的計算與分析，最后得到給定條件下的合理結構。研究結果表明，拓撲優化與尺寸優化相結合的結構系統優化設計方法，是解決具有較少目標的結構優化問題的一種有效方法。

CAE技術；工程結構；拓撲優化；尺寸優化；有效性

CAE Technique; Engineering Structure; Shape Optimization;Size Optimization;Validity

1 前言

CAE(Computer Aided Engineering的縮寫), 是指用計算機輔助求解分析復雜工程和產品的結構力學性能，以及優化結構性能等，它是計算機技術發展的基礎上出現的一門新興學科。采用CAE技術，即使對復雜的工程分析也無須作很多簡化，并且計算速度快、進度高。常見的工程分析包括對質量、體積、強度、應力、變形、穩定等的計算分析，以及對產品的運動精度、動靜態特征等的性能分析。

本文利用CAE工具，結合已有的研究成果，對一典型構件進行了兩階段優化設計，最后得到在滿足各項設計要求下的最優化設計方案。

2 兩階段結構優化設計方法

2.1 結構拓撲優化

拓撲優化即形狀優化，有時也稱為外形優化。從理論上講,廣義的結構拓撲優化是指: 確定結構單元、節點及內部邊界的空間連接方式。拓撲優化的目標是尋找承受單載荷或多載荷的物體的最佳材料分配方案。與傳統的優化設計不同的是，拓撲優化不需要給出參數和優化變量的定義。目標函數、狀態變量和設計變量都是預定義好了的。設計者只需要給出結構的參數（材料特性、模型、載荷等）和要省去的材料百分比，以及一定約束條件（如位移、頻率、穩定性等）。很明顯，拓撲優化的目標是得到物體的最佳形狀。

目前，拓撲、布局優化技術有多種，比較有效的方法有基于連續體結構拓撲優化的均勻化方法[1]、漸近結構拓撲優化法[2]等，后者是通過將無效或低效的材料一步步去掉，結構將逐漸趨于優化。該方法采用已有的有限元分析軟件，通過迭代過程在計算機上實現，通用性很好。漸近結構拓撲優化法不僅可以解決形狀和拓撲優化問題，還可以實現應力、位移（剛度）、振動頻率、響應、臨界壓力等優化。

目前，已有不少國內外軟件能夠處理結構拓撲優化問題（由于拓撲優化的理論尚不成熟，故都還處于發展階段）。需要注意的是，基于CAE技術的拓撲優化的結果對網格劃分密度十分敏感。一般來說，很細的網格可以產生“清晰”的拓撲結果，而較粗的網格會生成“混亂”的結果。但是，較大的有限元模型收斂需要更多的時間。

2.2 結構尺寸優化

為了使設計方案滿足使用上的各項要求，對結構需施加一定的約束，一般分為顯式約束和隱式約束。顯式約束是直接施加于一個或幾個設計變量的限制。而隱式約束即狀態變量，是間接施加于設計變量的限制。基于CAE技術的隱式約束需要通過求解有限元方程間接得到。約束條件在設計空間中構成一個曲面，它代表等式滿足約束條件的設計點的軌跡。對于不同點的設計方案，將具有不同的目標函數值。在該階段的設計中，需要設計者找出使目標函數值最小的點[2]。

對于已知的給定參數，求出滿足全部約束條件并使目標函數取極小值的設計變量。用數學方式表示，就是極小化目標函數 W(x)

滿足約束條件的設計中，關于應力和位移的約束條件，通常都是設計變量的非線性函數[1]。

這是一個數學規劃問題。

結構尺寸優化作為一種數學方法，通常是利用對解析函數求極值的方法來達到尋求最優值的目的。基于數值分析技術的CAE方法，顯然不可能對我們的目標得到一個解析函數，CAE計算所求得的結果只是一個數值。然而，樣條插值技術又使CAE中的優化成為可能，多個數值點可以利用插值技術形成一條連續的可用函數表達的曲線或曲面，如此便回到了數學意義上的極值優化技術上來。樣條插值方法當然是種近似方法，通常不可能得到目標函數的準確曲面，但利用上次計算的結果再次插值得到一個新的曲面，相鄰兩次得到的曲面的距離會越來越近，當它們的距離小到一定程度時，可以認為此時的曲面可以代表目標曲面。那么，該曲面的最小值，便可以認為是目標最優值。以上就是CAE方法中的優化處理過程。一個典型的CAE優化過程通常需要經過以下的步驟來完成：

(1)參數化建立幾何模型：利用CAE軟件的參數化建模功能把將要參與優化的數據（設計變量）定義為模型參數，為以后軟件修正模型提供可能。

(2)求解運算：對結構的參數化模型進行加載與求解（用數值方法求解選定的數學模型）。

(3)提取并指定狀態變量和目標函數。

(4)后處理：把狀態變量（約束條件）和目標函數（優化目標）提取出來供處理。

3 算例與討論

3.1 拓撲優化

問題是求圖1所示的結構在集中荷載F作用下的拓撲優化設計。以漸近拓撲優化理論[3]為基礎，基于應力水平的材料刪除。圖2顯示了刪除率[3]RR為30%時的拓撲優化結果。（這里將設計區城分成 四節點等尺寸的平面應力單元，板的厚度取為50mm，并假設F＝1MPa，L＝1m，H＝2.4m,彈性模量E＝ 100Gpa，泊松比ν＝0.3，比重ρ＝7.85× 103Kg/m3）。

本問題拓撲優化的目標函數是結構總體積，通過對優化前后的數據比較發現結構的總體積從優化前的2.4降低到0.389，如圖3所示，降低量是原設計的85%。另外，拓撲的最終結果顯示H＝2L[3]。

3.2 尺寸優化

條件約束是當荷載P作用于結構時，各桿中的最大拉應力不得超過137MPa，最大壓應力不得大于100Mpa，且不大于縱向屈曲時的臨界應力σcr和局部屈服應力σs；載荷作用點允許的最大豎向位移uy。下面求該構件（見圖4）的最小重量。

圖4 結構計算及尺寸示意圖

根據分析問題的性質，選擇桿的直徑D1、D2和管壁厚t為設計變量(必須是正值,如圖4所示)；狀態變量為桿內的（軸向）應力值、壓桿穩定條件以及集中載荷處的豎向位移，目標函數為構件的最小重量。

綜上所述，該問題的優化數學模型為：

優化結果見下表。

表1 尺寸優化結果表

利用MATLAB優化組件[4]得到的理論解為D1=38.9, D2=6.1和t=18.8。設計變量D1、D2、t和目標函數的大小隨迭代過程的變化規律分別如圖5、6所示。

綜上可得到以下結論：當管子的尺寸分別為D1=37.7, D2=5.9和t=18.5時，整個結構的重量最輕(此時總質量為19. 877kg),也得到了最佳設計。

在靜載荷工況作用下，構件拓撲優化問題中很難處理歐拉失穩問題[5]，如還需要考慮基頻約束，問題會變得較復雜。為此，本例在尺寸設計階段才具體考慮穩定性等問題，這樣使問題容易解決。

4 結論

本文利用CAE工具對一典型結構進行了兩階段優化設計。優化結果顯示，將拓撲優化與尺寸優化相結合的系統優化設計方法，對解決具有較少目標的優化問題，是一種行之有效的新嘗試，具有很好的應用前景。對于應用兩階段優化方法處理多目標的優化問題，今后還需要進一步研究。

[1]XIA Li – juan, Study on Topology Optimum Design of Engineering Structures[J], China. Journal of Ship Mechanics. Dec, 2002～. 6594

[2]朱伯芳.有限單元法原理與應用[M].北京：水利電力出版社.1979.394～400

[3]榮見華,鄭健龍,徐飛鴻編著.結構動力修改及優化設計[M].北京:機械工業出版社.2002. 249～251

[4]飛思科技產品研發中心編著.輔助優化計算與設計[M].北京:電子工業出版社.2003.1. 91～93

[5]童衛華,徐斌,姜節勝.具有頻率約束的結構拓撲優化新方法[J].西北工業大學學報.2002.1. 14～19

Two Stage Construction Optimization Design Method Useing on the CAE Technique

By utilizing the CAE tool, this paper optimizes a typical construction combining the already research results which have been, finally getting the optimum design of construction under satisfying the variously requests. Combining topology optimization with size optimization together, here gets a kind of valid new trial of the construction optimization on the CAE Technique. But for many targets problems, it still need the further research.

Wang Dongsheng Nanjing Underground Engineering & Architectural Design In，stNitaunreji nCgO J.,iLaTnDg su 210029China

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.11.061

汪冬生（1978-），男，國家一級注冊結構工程師、土木（巖土）工程師。主要從事結構、巖土方面的設計和研究工作。