數列上下極限的研究

王巖巖，劉偉

（周口師范學院數學系，河南周口466001）

數列上下極限的研究

王巖巖，劉偉

（周口師范學院數學系，河南周口466001）

上下極限概念是極限概念的延伸,它們在正項級數收斂性判別、求極限、證收斂等方面有著重要的作用.本文將給出有界數列與上下極限關系的一種新證法，并且更深層次的研究了上極限與數列極限收斂之間的關系.

數列；上極限；下極限

極限的概念是高等數學的一個最重要的理論組成部分，極限思想在數學中起著非常重要的作用，它是解決數學分析問題的一個強有力的工具.數列上下極限的概念是數列極限概念的延伸，也是數學分析中的重要概念.本文將給出上下極限的三種定義.數列上下極限有許多重要性質，這些性質在解決問題中有著非常廣泛的應用，深入了解這些性質是學習數列上下極限的關鍵，也是解決問題的關鍵，數列上下極限的性質是對數列極限性質的拓展，也給解決問題打開了一個全新的視角.

本文給出數列上下極限的五條性質，這些性質參見文獻[1，2，3，4，5，6]，在文獻[6]中利用區間套定理證明了性質1，然而這種方法較難理解,本文利用致密性定理和確界原理相結合來證明此性質，這種證明方法簡單易懂.文中進一步討論了上極限與數列極限收斂之間的關系.

1 數列上下極限的定義

定義1[5]有界數列{an}的上（下）極限定{an}的最大（小）聚點記

定義2[1]坌ε>0，N>0，當n>N時，總有an＜A+ε；又子列{an}使ank＞A-ε(K∈N)，則有(=A)；坌ε>0，N>0，當n>N時，總有an>a-ε；又子列{ank}使ank＜a＋ε(K∈N)，則有

定義3[1]

2 數列上下極限的性質

性質1[1]：有界數列{xn}必存在上極限和下極限.證因為{xn}為有界數列，由致密性定理：{xn}必存在收斂子列=a，則a為{xn}的聚點，即有界數列{xn}至少有一個聚點.記S為{xn}的聚點集合，坌s∈S,必存在，由于{xn}為有界數列，所以存在M>0,對坌n，有-M

性質2[2]：若{xn}是有界數列，則

推論:若數列{xn}收斂，則

性質3[4]：若有界數列{an}、{bn}滿足：存在N0>0，當n>N0時，有an≤bn，則bn.

性質4[5]：{an}、{bn}是兩列有界數列，若an≥0，bn≥0，n=1,2…則

性質5[2]：{an}為有界數列，若,則

3 上下極限與數列斂散性之間的關系

由性質1知，當有界數列{an}的極限不存在，即有界數列{an}發散時，但數列{an}的上極限與下極限則一定是存在的.而文中推論則說明了當一個數列收斂時，它的極限值與上下極限間的關系.然而能否根據數列本身的結構及其上下極限來判別該數列的斂散性呢？

引理[5]：若an>0，n=1，2，…，則

當0≤a<+∞時，由數列極限定義知，坌ε>0，N>0當k>N時，有任取n>N，令k=N，N+1，…，n-1，將所得n-N個不等式相乘，由于k>N可得(a+ε)n-N圯an

〔1〕王振福，張建軍.數列的上極限與下極限探析[J].包頭職業技術學院學報,2008,3(1):12-14.

〔2〕許萬銀，齊小忠.數列上下極限問題的若干討論[J].隴東學院學報（自然科學版）,2009，13(1):68-71.

〔3〕錢佩玲.數列與上下極限[M].北京：北京師范大學出版社，2000：212-277.

〔4〕宛金龍，楊輝.數列上下極限的注記[J].安慶師范學院學報,2004，8(10):25-26.

〔5〕艾斯卡爾.阿布力米提.數列上下極限性質的推廣應用[J].新疆教育學院學報,2003，11(19):26-34.

〔6〕華東師范大學數學系.數學分析上冊第三版[M].北京：高等教育出版社，2001：23-34.

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A

1673-260X（2011）01-0001-02