熱傳導方程的C-N格式區域分解方法及其穩定性分析

任麗麗，朱少紅，趙鳳柱

（1.天津師范大學 數學科學學院，天津 300387；2.南開大學 數學科學學院，天津 300071；3.中國人民武裝警察部隊學院，河北 廊坊 065000）

求解熱傳導方程最常用的差分方法有古典顯示、古典隱式和C-N格式[1]。從并行計算的觀點看，古典顯格式計算簡單，便于編程，但這種格式是條件穩定的r≤1/2；古典隱格式和 C-N格式是絕對穩定的，但需要解整體的線性代數方程組，不能直接實現并行計算。有限差分區域分解算法綜合了顯格式和隱格式的優點，是一種高效實用的方法，目前已有很多關于區域分解方法的結果，文獻[2]在內邊界點使用大空間步長H=mh的古典顯格式，在每個子區域內使用古典隱格式求解，發展了有限差分區域分解算法。本研究基于C-N格式，設計了一種新的并行差分格式，能進一步放寬穩定性約束條件，得到穩定性條件為r<1。

1 并行差分格式的構造

考慮熱傳導方程：

為了對初邊值問題(1)作差分逼近，首先對求解區域作網格剖分：取空間步長h=l/J和時間步長τ=T/N，其中J，N都是自然數。用2族平行直線：

將求解區域{0 ≤ x ≤ l; 0 ≤ t ≤ T }分割成矩形網格，網格節點為(xj,tn)。記

易知

定義離散L2范數（Euclid范數）：

其中

將問題(1)的求解區域[0,l]分解為2個子域[0,xk]及其中1

2 穩定性分析

定理若 r=τ/h2＜ 1，則差分方法Ⅰ的數值解按離散L2范數關于初值穩定，即存在正常數c，使方法Ⅰ的任意解，均滿足不等式：

為證明定理，先給出2個引理。

引理1設

則當0

證明由(3)得：

則[(3)+(6)]/2得

利用Mn的表達式，(8)+ (9)可整理為

將(7)代入(10)得：

記

則(11)可整理為：

易知若J1非負定，則 Mn+1≤Mn。

下面討論J1非負定的條件。

直接計算可得當r<1時，矩陣

非負定，從而J1非負定，則當0

證畢。

引理2當0

證明將（3）代入

可得

進一步有：

其中

直接計算可知，當0

非負定，即J2非負定。又因為

故有

于是

另一方面，由于0

所以

從而

證畢。下面給出定理的證明。

由引理1，當0

由引理2知

即當0

取

于是定理成立。