巧用幾何畫板 開展數學實驗教學

張建軍1 陳唐明2

巧用幾何畫板 開展數學實驗教學

張建軍1 陳唐明2

數學實驗教學是指根據教學目標,充分利用實驗手段尤其是運用現代教育技術,創設問題情境,引導學生參與實踐、自主探索、合作交流,從而發現問題、提出猜想進而驗證猜想和創造性解決問題的一種教學方式。在教師的引導下,幾何畫板可以給學生創造一個實際“操作”數學圖形的環境,學生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測和驗證結論,在觀察、探索、發現的過程中增加對各種數學問題的感性認識,形成豐富的數學圖像經驗背景,從而更有助于學生對數學的學習和理解。同時,幾何畫板還能為學生創設一個進行數學“實驗”的環境,有助于學生自主探究活動的開展,促進數學課程的高效學習。本文結合教學實踐,談談如何在教學中借助“幾何畫板”這一平臺開展數學實驗教學。

一、利用“幾何畫板”做數學實驗—在感受數學內在美中升華學習熱情

弗賴登塔爾有句名言：“沒有一種數學思想,以它被發現時的那個樣子發表出來。一個問題被解決以后,相應地發展成一種形式化的技巧,結果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗?！痹诮虒W中,學生往往被“冰冷美麗”的數學所嚇倒,數學成了枯燥的代名詞,學生對數學的學習缺少熱情。利用“幾何畫板”的獨特功能,在做數學實驗過程中適時展現數學獨特的內在美,讓學生在感受數學美的過程中激發學習數學熱情。

教學案例1：雪花曲線(Kock曲線)

利用幾何畫板的迭代功能作一個等邊三角形,三等分每一邊,然后在此等邊三角形的每一邊上向外部作新的等邊三角形,使得新的等邊三角形的兩個頂點正好落在原等邊三角形的三等分點上,此時形成一個六角星,然后,在所得六角星的12條邊上分別重復上述步驟……如此下去所得曲線稱為雪花曲線。

圖1

通過上述“幾何畫板”操作充分展示了數學圖形的美,讓學生看后心曠神怡、浮想聯翩。激發了學生的好奇心和內心探索未知世界的欲望,以飽滿的熱情投入到數學學習中。而在學生親自實踐操作中,不僅能及時鞏固所學知識,還增強了學生發現問題、分析問題、解決問題的能力,同時培養了學生自主探索能力與合作交流意識。真正做到了知識與技能、方法與過程、情感態度與價值觀“三維目標”的和諧統一。

二、利用“幾何畫板”做數學實驗—在體驗知識發生過程中提升思維能力

運用“幾何畫板”開展教學,有利于教師引導學生廣泛開展面向過程學習,以達到對知識形成過程更為深刻地理解,學生能夠主動參與到知識形成過程中去,體現了學生的主體作用。學生在教師的指導下,借助于幾何畫板進行開放性實驗,通過改變問題情境,從變化中尋找規律,挖掘知識間的內在聯系,并通過合理推理等手段發現結論,從而實現知識的有效建構。

教學案例2：雙曲線的概念教學

現場制作：①在平面上,作線段 F1F2,度量其長度,定義為 2c；②作直線,在上取兩點 A,M ,作線段 A M,度量其長度,定義為 r1；③在點M的右側再取一點B,使,度量線段 MB 的長度,定義為2r,度量AB的長度,定義為 2a；④以線段 A M為半徑,以點 F1為圓心,作圓 C1；⑤以線段 B M為半徑,F2為圓心,作圓 C2,如圖2所示。拖動點M在上運動,一定條件下圓 C1和C2就會產生交點(設交點記為P),P的軌跡為橢圓。

圖2

此時,提出問題：⑴兩圓相交的條件是什么?⑵兩半徑之差是多少?⑶怎樣使兩圓相交?⑷點P滿足的幾何條件是什么?⑸怎樣出現雙曲線的兩支?⑹通過上述實驗,你認為如何嚴格定義雙曲線？

從而引導學生發現結論：平面上一個動點到兩個定點的距離的差的絕對值是一個定值,且這個定值小于兩定點問的距離的點的軌跡是雙曲線。

上述案例提供的情境從橢圓開始,通過一系列的變換,讓學生感覺到橢圓與雙曲線的內在聯系。從線段長度的變化引發曲線質的差異,讓學生在感性認識的基礎上經過思維的提煉上升到理性的高度。幾何畫板提供了一個實驗情境,是傳統的方法所無法比擬的。

三、利用“幾何畫板”做數學實驗—在運動與變化中突破靜態思維的束縛

廣泛的應用性與高度的抽象性是數學的特點,也是學生產生興趣與學習的難點所在,解決好數學的抽象性問題,是幫助學生克服難點、提高興趣的關鍵。因此,利用圖像幫助學生理解運用數學知識就顯得非常重要。然而,學生在學習過程中接觸到的書本圖形都是靜態的,久而久之就形成了一種潛在的靜態思維,即比較擅長于用靜態的角度去看待數學問題。而許多數學問題反映的是動態變化中的某些規律。常規的教學手段,往往只能處理一些靜止的問題,給學生的觀察、想象帶來了一定的困難。而借助“幾何畫板”則可以得到截然不同的效果。

教學案例3：函數圖像交點問題的互動研究案例

（讓學生先獨立思考,教師巡視。片刻后,通過實物投影展示生1的解題過程。）

師：（稍作停頓）有沒有同學有不同看法？

片刻沉默之后,有學生舉手,筆者示意他回答。

生2：我覺得有點問題。原方程有唯一解,對方程x2?(a?1)=0來說,應該有兩種可能：無解或解亦為零。故。

師：很好！剛才生1將兩函數圖像有唯一公共點的問題轉化為方程有唯一解的問題,將“形”的問題轉化為“數”的問題,思路正確！美中不足的是考慮問題不全面,生2已經幫他解決了！

師：下面讓我們再來看生1的方法二。噢,他將f (x)和 g (x)進行了求導,(未解完)請你說一下：為什么要進行求導？

生1：我想畫圖。

師：很好的想法！這個問題本來就是研究兩個函數圖像交點的問題么！畫圖應該是很自然的想法！老師事先已經用幾何畫板畫好了 )(xf 和 )(xg 的圖像,請大家看屏幕(如圖3所示)。當 =a –0.35時 )(xf 和 )(xg 的圖像只有一個交點,當a變化時,我們來看一下。（拖動點A,演示函數 )(xf 的圖像隨a值的變化而變化的情況）大家發現什么？（讓a的值在1的附近變動,如圖4所示）

圖3

圖4

師：大家試想一下,在臨界位置處,用幾何畫板畫出的圖像都難以看出交點個數,更何況徒手畫的示意圖！華羅庚先生有句話：“數缺形時少直觀,形缺數時難入微?！?直觀、形象的函數圖像有助我們審題分析,但細微之處亦須用“數”??！

上述案例中,教者借助于幾何畫板精確畫出函數圖像,并通過參數的變化體現圖像的交點變化情況,比學生在書本上畫的靜態圖像更為準確、形象,有助于學生發現該題利用圖像法解題的不足。

四、利用“幾何畫板”做數學實驗—在探索知識的過程中滲透數學思想方法

在數學教學中,有目的地培養學生用數學方法去思考問題、分析問題和解決問題是十分必要的。教師可結合教材的具體內容,依托幾何畫板這一平臺,滲透數學思想方法。

教學案例4：對數函數的圖像和性質教學

圖5

教師可以利用幾何畫板制作含參數函數的課件,如圖5所示。在教學中,只要左右拖動點A時,屏幕上a的值隨之改變,相應的對數函數圖像也發生變化。反復拖動點A,引導學生發現、探索圖像的變化規律。當時無圖像出現；當 0 ＜a ＜1時,函數在區間(0,+∞)上單調減,而且a越小,圖像越靠近x軸；當 a =1時,圖像是一條直線,其方程為 y =1；當 a ＞1時,函數在區間(0,+∞)上單調增,而且a越大,圖像越靠近x軸。通過對參數a的分類討論,使學生理解了對數函數定義中對 a (a ＞ 0且)限制的必要性,極大地提高了教學效果,同時也為學生創造了良好的認知環境,使得教師有更多的時間有意識地滲透數學思想和方法。通過對參數a的討論,學生學會了應用分類討論的思想。在研究數學問題時,把數形知識結合起來,引導學生從數的方面用分析的方法進行抽象思維,從形的方面進行形象思維。數值的變化,導致形的變化,數量關系與圖形如此巧妙的和諧,這里處處閃耀著數學思想的火花。

“幾何畫板”在數學實驗中的合理運用,符合新課程理念,給學生提供了“學會學習、學會探索、學會發現”的平臺,有利于增強學生學習的主動性和積極性,有利于學生思維的發展和數學思想與觀念的提高。另外,從學生認知方式看,讓學生學習“幾何畫板”成為其有力的認知工具,這無異于交給學生一把探索發現數學知識的金鑰匙,是一件特別有意義的事。

[1] 陶維林.幾何畫板實用范例教程[M].北京：清華大學出版社,2001

[2] 張樂良.幾何畫板在高中數學教學中的應用[J].中國現代教育裝備,2007,7

[3] 茍玉德.用幾何畫板把分形幾何帶進高中課堂[J].中學數學雜志(高中),2007,4

稿件編號：P1012067

張建軍，本科，中教高級。陳唐明，本科，中教高級。

1.江蘇省如東縣教育局教研室。2.江蘇省如東縣如東高級中學。