指數分布與其它分布的關系

劉國祥

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

指數分布與其它分布的關系

劉國祥

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

從指數分布的特征出發，通過了討論討論指數分布與其它分布的關系，從而體現了指數分布在概率統計中的作用.

概率統計；指數分布；正態分布；均勻分布；幾何分布

正態分布、均勻分布、指數分布是最常用的三個連續型分布.由于正態分布和均勻分布具有明顯的集合直觀，常見并且易于理解的現實模型，因此在教材[1，2]和文獻中對于它們的討論都比較詳細.而關于指數分布的討論相對就比較少[3，4]，沒有引起人們的足夠認識.

下面從指數分布的特征出發，分幾個方面通過了討論討論指數分布與其它分布的關系，從而體現了指數分布在概率統計中的作用.

1 指數分布及其特征

連續型隨機變量X的分布密度函數

其中λ>0，稱隨機變量X服從參數為λ的指數分布.

指數分布的分布函數為

指數分布的數學期望和方差分別是

指數分布的最大特征就是無記憶性：

文獻[1]指出，指數分布是唯一具有無記憶性的連續型分布.

2 指數分布與幾何分布的關系

如果隨機變量X服從參數為P的幾何分布，則它的概率分布律是：

由于對于任意的正自然數 有

因此幾何分布具有無記憶性的離散型分布.并且，幾何分布是唯一具有無記憶性的離散型分布[1].

幾何分布的數學期望：

它的數學期望與指數分布具有相同的參數的倒數形式.

為什么幾何分布與指數分布有如此多的相同形式呢？服從指數分布的隨機變量表示的是某些“易碎品”的“壽命”，如電子元件、玻璃制品等.雖然它們的“壽命”與多種因素有關，但是有一種因素是決定性的，也就是“致命”的.它正好與“服從正態分布是與多種相互獨立的因素有關，但是沒有一種因素是起決定作用”相反.

而幾何分布是一種“直到……為止”型的概率分布，也是一種“壽命”.

電子元件的“壽命”服從指數分布，如果電子元件是否損壞的決定因素是電壓，在連續使用過程中，雖然有多種因素，但是“直到”電壓達到元件不可承受范圍內，它的“壽命”就“為止”.

相互獨立的射擊，直到擊中為止，射擊次數服從幾何分布.被槍手離散地射擊，直到擊中，它的“壽命”就“為止”了.

從而我們看到，幾何分布與指數分布具有相同的原理，只是其一為離散型，另一個為連續型.所以具有許多相同（或相似）的性質.

3 指數分布與泊松分布的關系

泊松分布是重要的離散型分布，他與社會生活密切相關，如電話交換臺中來到的呼叫次數、公共汽車站來到的乘客數、放射性分裂落到某區域的質點數，甚至母雞下蛋的個數、雞蛋孵化成小雞的個數.

指數分布與泊松分布有如下的關系：

定理1 設隨機變量X服從參數為λt的泊松分布，則時間兩次發生之間的“等待時間”Y服從參數為λ的指數分布.

證明 由于隨機變量X服從參數為λt的泊松分布，則它的分布律為：

設事件前一次發生的時刻為0.

因為Y不可能為負數，所以當

t≤0時顯然有P（Y≤t）=0，

而t>0時，因為在“等待時間”內事件不發生，

則由概率的連續性，Y分布函數

Y服從參數為λ的指數分布.

單位時間內母雞下蛋的個數服從泊松分布，而兩次下蛋的時間間隔服從指數分布.

4 指數分布與均勻分布的關系

指數分布和均勻分布同為連續型分布，它們之間有如下關系：

定理2 隨機變量X服從參數為λ的指數分布的充分必要條件是隨機變量

Y1-e-λX服從（0,1）上的均勻分布.

證明 由于隨機變量X服從參數為λ的指數分布，

則X概率密度函數

則Y概率密度函數

從而Y=1-e-λX服從（0,1）上的均勻分布.

另一方面，如果Y=1-e-λX服從（0,1）上的均勻分布.

則Y概率密度函數

從而，則X概率密度函數

則隨機變量X服從參數為λ的指數分布.

5 指數分布與正態分布的關系

指數分布和正態分布同為連續型分布，正態分布可以說是最重要的一種概率分布.它和指數分布之間有如下關系.

定理3隨機變量X,Y相互獨立，都服從正態分布N（0,λ2）,則Z=X2+Y2服從指數分布.

證明 顯然Z=X2+Y2≥0，

由于隨機變量X,Y相互獨立，則（X,Y）的聯合分布密度函數為

隨機變量Z的分布函數

則Z的分布密度函數為

所以，則Z=X2+Y2服從參數為的指數分布.

6 指數分布的推廣形式

經典教材[1,2]都只介紹了二元均勻分布和二元正態分布而沒有涉及二元指數分布.文獻[3]給出了指數分布的一種推廣形式，并在文獻[4]把它應用到藥物在機體內分布中.文獻[5]介紹了多元Marshll-Olkin型指數分布.

埃爾蘭分布的密度函數為

其中r是正整數，λ>0.

當r=1時，就是指數分布.則埃爾蘭分布就是指數分布的一種推廣形式.

Γ分布的密度函數為

其中r>0，λ>0.

它是埃爾蘭分布的推廣，當然也是指數分布的一種推廣形式.

此外，關于分布的可加性：同泊松分布且相互獨立的n個隨機變量之和仍服從泊松分布，同正態分布且相互獨立的n個隨機變量之和仍服從正態分布，同兩點分布且相互獨立的n個隨機變量之和仍服從二項分布，同正態分布且相互獨立的n個隨機變量的線性組合仍服從正態分布.

Γ分布的的可加性是：如果X1,……Xn相互獨立，Xi,i=1,2,3,…,服從參數為αi,λ的Γ分布，則服從參數為αi,λΓ分布.

但是，它的特殊形式指數分布：同指數分布且相互獨立的n個隨機變量之和服從Γ（n,λ）分布或者χ2（2n）分布.已經不是指數分布.

例如：n=2，α1=α2=1,Z=X1+X2的概率密度為

他不是指數分布.當然χ2分布也具有可加性.

〔1〕李賢平.概率論基礎（第二版）[M].高等教育出版社，1979.4，116，128.

〔2〕魏宗舒，等.概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社，1983.10.

〔3〕劉國祥.廣義指數分布[J].赤峰學院學報，2007，（3）：1-8.

〔4〕劉國祥.藥物在機體內分布的數學模型[J].赤峰學院學報，2008，（3）：15-16.

〔5〕李國安.多元Marshll-O lkin型指數分布的特征及其參數估計[J].工程數學學報，2005,22（6）：1055-1062.

O221.8

A

1673-260X（2011）12-0012-03