杯形波動陀螺高穩定度正弦驅動技術研究*

謝 笛，吳學忠，蘇劍彬，陶 溢，周澤龍，李 浩

(國防科學技術大學機電工程與自動化學院，長沙 410073)

杯形波動陀螺是一種采用杯形諧振子的固體波動陀螺，具有精度高、穩定性好、啟動快、工作溫度范圍大、線性過載不敏感、機械部件結構簡單等突出特點。在戰術導彈、輕小型飛機甚至于在衛星以及航天飛機上都有極強的適用性，具有十分廣闊的應用前景［1］。

杯形波動陀螺是利用彈性波的慣性效應來檢測外界輸入角速度［2］。美國Innalabs公司和英國Watson公司對這種高性能杯形陀螺都開展了大量研究［3－4］，由于種種原因卻只有很少研究成果公布。陀螺杯形諧振子采用超精密加工技術制造，高品質因數的特性決定了較小的驅動頻率偏差會大幅降低陀螺的檢測靈敏度，還會使諧振子產生正交振動，引起陀螺輸出漂移(也稱為正交漂移)，從而大大降低陀螺性能。

正弦信號的產生方法多種多樣，比如迭代法，級數近似法，CORDIC算法等，而直接數字頻率合成法(DDS)又以精度高和數據運算量小的優點廣泛應用于高精度頻率源設計等領域，然而其結構中的正弦查找表占用存儲空間較大是其主要的缺陷［5］，也限制了這種方法在陀螺測控系統這一類領域的應用。此外，由于實際電路以及數據精度等非理想特性引入的噪聲和抖動造成輸出頻率抖動增加，降低了輸出頻率的穩定度。

因此，首先針對直接數字頻率合成法存儲空間龐大的缺陷給出了一種差分壓縮算法，相對于現有的壓縮算法，如高低查找表等，差分壓縮算法計算簡單，適用于陀螺這類高實時性測控系統。其次重點針對設計的正弦頻率源頻率抖動的問題，采用了一種新的基于統計域的理論對系統中主要抖動源進行分析和估計，衡量其對頻率源的影響，并分析了一種基于功率譜密度(PSD)的抖動分離方法。國內外的研究中關于DDS算法頻率穩定度的優化方法基本都是從DDS算法架構這個角度去實現的，優化算法實現復雜，硬件要求很高，軟件很難實現。因此從整個系統的角度對抖動源進行分析和優化，這種新的角度避開了復雜算法架構分析，大大降低了優化的復雜度，同時也能有效的提高頻率源的頻率穩定度。最后，通過時域和頻域的測試以及記錄的頻率數據進行漂移分析、求解阿倫方差等驗證了這種新方法對頻率短期穩定度的提高，最終的頻率源性能達到了杯形波動陀螺的要求。

1 驅動信號頻率穩定度需求分析

杯形波動陀螺也是利用了哥氏效應和二維諧振子激勵受迫振動的基本原理。首先給諧振子底面相互垂直的四個壓電激勵電極施加激勵電壓信號，從而導致電極振動，振動傳遞到諧振環，激勵出四節點駐波［6］，如圖1(a)所示。當存在角速度輸入時，諧振子產生的駐波幅值與角速度大小呈正比關系，由壓電效應經過信號變換和處理即可得到輸入角速度。

圖1 杯形陀螺諧振子示意圖

為簡化分析陀螺性能與驅動信號穩定度的關系，這種解耦合陀螺模型往往可以描述成簡單的集中參數質量－彈簧－阻尼系統［7］。由于陀螺結構高度對稱，可近似認為其檢測軸與驅動軸特性參數完全一致。于是將陀螺模型表示為兩自由度理想二階線性常微分方程組:

式中m為諧振子等效質量;x1，x2分別為對應軸的位移。

利用壓電方程可推導出壓電電極在頻率ω，幅值為U的正弦電壓下沿其壓電電極長度方向驅動力，可近似表示為:

式中k為和諧振子尺寸結構相關的常數;ε材料彈性系數，d31壓電常數。

由哥氏力計算公式得:fy=2mΩ×1，以及方程(1)和方程(2)可以解得檢測軸位移方程為:

其中:

其中Ω為外加角速度，ωn為陀螺諧振頻率，Q為陀螺的品質因素。

可得陀螺儀機械靈敏度為:

假設陀螺諧振頻率為3 000 Hz，Q值為20 000，理論情況下S0=4×108，而不同穩定度的驅動信號對應不同的機械靈敏度退化率η=1－S/S0，如圖2所示。

圖2 機械靈敏度與頻率穩定度的關系曲線

由上圖知當驅動信號頻率穩定度在5 mHz時，靈敏度降低了約1%。要充分發揮陀螺性能，驅動頻率穩定度至少要大于5 mHz，所以將頻率穩定度設定在1 mHz，以充分發揮陀螺性能。

2 系統實現及優化方法

DDS算法輸出信號的理想頻率為:fo=(N/2Lp)fr，其中fr為參考時鐘頻率，Lp為相位累加器位寬，N為頻率控制字;當N=1時Δf=fr/2Lp則為理想DDS分辨率［8］，輸出信噪比表達式為［8］:S/N≈6.02k－3.92(dB)。

在基于Analog公司ADSP21364數字信號處理器構建的杯形波動陀螺測控平臺上，以軟件方式實現了30位相位累加器，14位相位截斷位數(即正弦查找表深度)的DDS算法。由于DDS算法的基本原理十分成熟，故不再贅述。

為克服傳統DDS算法的缺陷和優化頻率穩定度，接下來給出了查找表的壓縮算法，以及系統中頻率抖動的分析和分離方法。

2.1 查找表壓縮算法

為了解決查找表(LUT)占用巨大的存儲空間的缺陷，下文給出了一種簡單清晰的差分壓縮算法。

將所需要存儲的四分之一周期的正弦值，采用一個函數D(P)來對其進行分解，于是在差分算法中查找表只需存儲誤差項f(P)，從而減小了存儲占用的空間，如式(5):

最簡單的采用直線逼近即取D(P)=P，于是可以得到:

因此，由于存儲幅值的減小，查找表存儲可以減小2位深度，但是存儲空間的減小是以增加一次加法運算為代價的。在正弦相位幅度轉換輸出時，則必須增加一次加法運算，如式(7):

采用雙三角近似的差分算法，將增加兩次加法運算，而正弦查找被壓縮了3位。例如取式(8)所示的差分項。

如果采用更高階的拋物線逼近［9］，可以為正弦查找表壓縮4位有效長度。不同方法在LUT中的數據存儲情況如圖3所示。

圖3 不同逼近算法中查找表的存儲數據幅值

這種近似算法沒有復雜的計算，因此十分適合于運用于DDS算法中。采用三段線性差分壓縮后，體積壓縮4位，查表體積有原來的128 kbyte，減小為4 kbyte。

2.2 頻率源抖動估計與分離方法

由于電路的各種噪聲和非理想因素，帶來的時序抖動和幅度抖動，使得實際輸出的頻率穩定度小于理想情況。因而需要對頻率源進行一定的優化以達到需要的性能指標。

2.2.1 抖動源的機理與建模

在實際的杯形陀螺測控系統中，多重周期性抖動和多重高斯抖動是造成輸出頻率穩定度降低的主要原因，而這兩者又分屬于確定性抖動和隨機抖動［10］。多重周期性抖動是由于頻率參考源精度有限，信道的非理想性，以及周期性調制等眾多因素引起，雖然原因復雜，但是其原理都相似。這里假設單周期性抖動也是正弦型，那么N重周期性抖動可以寫為:

其中Ai，ωi，φi分別為各周期性抖動幅值，角頻率和初相位。

通過上式將所有周期性抖動疊加后的時間Δt(t)對概率分布密度函數(PDF)進行估計:

式中Hist是建立在時間記錄Δt(t)基礎上的直方圖近似函數。

總周期性抖動是依賴于眾多因素，很難得出其通用特征公式，但是可以假設每個周期性抖動是獨立的，其幅度，頻率和相位有界分布［11］，通過蒙特卡羅仿真分析可以研究多周期抖動特征。仿真結果如圖 4 所示［12］。

圖4 不同數目的周期抖動源總概率分布

多重周期性抖動的頻譜是單周期抖動頻譜線性疊加，所以理論上其頻譜線對應多個抖動源。

多重高斯抖動通常對應于電路熱噪聲，閃爍噪聲以及散彈噪聲以及一些高階噪聲共同作用［13］。而單高斯抖動可以描述為:

多高斯抖動是一系列高斯抖動源作用的疊加，由于高斯抖動的功率譜密度(PSD)與白噪聲功率譜密度近似［14］，為分析計算方便，可以采用白噪聲的功率譜來代替高斯噪聲的功率譜:

采用模擬高斯抖動源，運用蒙特卡羅方法進行時域記錄，并采用傅里葉變換獲得其PSD估計，最后獲得其統計域的PDF，如圖5所示，通過數值仿真進而說明了高斯抖動的時域，頻域以及統計域PDF之間的關系［12］。這些抖動分量的PDF模型，是進行抖動分離與分析的基礎和基本單元。

圖5 同一高斯抖動源，在106采樣條件下

2.2.2 基于PSD的抖動分離方法

上節運用統計信號和線性系統理論定量討論了系統中的抖動分量，針對多重周期性抖動和多重高斯抖動兩個導致頻率抖動的主要原因，假設其他非理想條件下產生的抖動和噪聲被忽略，進而簡化周期抖動與高斯抖動的分離。

基于PSD函數，滿足如下條件的譜線都會被識別為周期性抖動［12］:

其中fl表示第l個周期抖動峰的頻率，N為門限量級，一般N≥3，可保證99.97%以上的置信度，σPSD是PSD的均方根。

這樣可以分離出很多周期性抖動源，但是PSD中沒有相位信息，需要對周期性抖動的相位進行假設。由于大量的周期抖動的存在，其相位一般服從于均勻分布［14］，通過下式建立總的周期抖動的PDF:

其中ΔtPJ_l，φl表示第l個周期抖動峰的峰值和相位。

所有被識別的周期抖動移除之后，就得到了總的高斯抖動的PSD，而在所關心的頻率范圍內，可以通過下式來估計多重高斯抖動的均方根［15］:

這是一種可以在一定頻率范圍內準確估計高斯抖動均方根值的方法，通過估計得到的均方根以及分離方法，可以得出不同抖動源以及對頻率穩定度的影響程度?；赑SD的分離方法，可以為整個陀螺測控系統中降低頻率穩定度的抖動源進行修正提供準確的指導，也為穩定度指標的設計提供了一種更準確的方法。

3 測試

通過以上分析，在DDS正弦頻率源軟件實現代碼中，針對特定抖動源進行了簡單的修正優化。掃頻測得陀螺諧振頻率為3 166.785 Hz。最后，對頻率源性能時域測試結果如6所示。

通過頻譜分析，可以得到優化前后信噪比無明顯變化都約為80 dB，如圖7所示。

圖6 左圖：淺色：DDS結構DAC輸出的階梯波信號，深色曲線實為正弦信號；右圖：上部和下部分別是Agilent示波器色彩等級模式和無限余輝模式觀測的正弦信號局部圖。

圖7 輸出信號頻譜

通過Agilent數字多用表3.5 h的測試，獲得優化前后頻率數據分布如圖8所示，圖8(a)中由頻率計測得的數據有大量的數據點超過目標頻率3 166.785 Hz～3 166.786 Hz，而圖8(b)中則明顯少于圖8(a)，由此定性可知優化前后頻率穩定度有明顯提高。

圖8 優化前后頻率采樣記錄

對3.5 h內記錄的數據進行數值分析，得到了測試環境溫度曲線，頻率數據殘差和頻率漂移曲線，如圖9所示。圖9中溫度曲線顯示環境溫度在測試時間段內非恒溫，但殘差曲線和頻漂曲線沒有出現與溫度變化相同的漂移趨勢，說明整個設計對小范圍溫度變化不敏感。

圖9 系統頻率漂移

對比采用修正算法前后頻率源的阿倫方差，可以得到采用修正算法后短期頻率穩定度提高約20%，如圖10所示。

圖10 抖動修正前后阿倫方差

隨著測量時間的延長，由于大量隨機變量的疊加，由中心極限定理可知，和變量最終將服從高斯分布。短期內由于調頻閃爍噪聲使頻率源隨機起伏過程并不平穩，短期內它的概率分布隨時間的延續而改變的。因此頻率短期穩定度用標準方差來表征就不準確，國內外常用阿倫方差代替。此外，對于采用修正后的頻率穩定度的改變，在其他指標上不易體現，而在阿倫方差中可以清楚的表現出來。

國內外普遍采用每組取樣數N=2，取樣周期T等于取樣時間τ的阿倫方差作為短期穩定度的定義［16］，也稱為無間歇阿倫方差，如式(23)所示:

深入對系統中抖動源的研究和分析，采用更精確的分離方法能更有效提高頻率穩定度，這是值得繼續深入的研究工作。

測試過程中應用到的測試系統如圖11所示。其中Tek TDS2012示波器作為時域波形測試工具，Agilent 8104A是主要的頻域性能測試系統，Agilent 34410A是測量信號頻率和記錄頻率數據的主要工具，其記錄的數據為前面試驗測試中頻率穩定度的定性分析和定量計算提供了依據。

圖11 正弦頻率源性能測試系統組合照片

4 結論

首先以DDS算法為基礎產生了杯形波動陀螺的正弦驅動信號。

(1)對于杯形波動陀螺，理想情況下驅動信號穩定度越高越有利于發揮其性能，根據性能需求將頻率穩定度設定在1 mHz。

(2)采用差分壓縮算法減小了4位查找表存儲空間，一定程度彌補了DDS算法的缺陷。

(3)對于周期抖動和高斯抖動為主的頻率源，采用PSD分離算法，可以估計出二者各自對頻率穩定度的影響。通過簡單的修正，對頻率短期穩定度有20%的提高，頻率穩定度優于1 mHz。

(4)該方法適用于杯形陀螺驅動信號的分析和設計，也為其他類似的高Q值振動陀螺驅動信號分析和設計提供了參考。

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