基于兩種轉換的非正態(tài)過程能力研究的比較

楊潔榮，宋向東，明喆，胡蓓蓓，王樹力

(燕山大學理學院，河北秦皇島066004)

基于兩種轉換的非正態(tài)過程能力研究的比較

楊潔榮，宋向東，明喆，胡蓓蓓，王樹力

(燕山大學理學院，河北秦皇島066004)

文章應用Box-Cox轉換和Johnson轉換對幾種非正態(tài)分布進行了研究，并計算出了其過程能力指數(shù)，通過大量的重復模擬研究了該方法在過程能力分析中的適用性和效果。結果顯示，Johnson轉換比Box-Cox轉換更有效。文章用相應的matlab分析軟件來輔助實現(xiàn)這個方法，具有可操作性，可以用于指導生產(chǎn)實踐。

非正態(tài)；過程能力指數(shù)；Box-Cox轉換；Johnson轉換

0 引言

在許多統(tǒng)計過程控制(SPC)技術的應用中,要求所關心的質量特性服從正態(tài)分布。然而,實際中存在大量不符合正態(tài)假設的質量特性。此時若應用正態(tài)假設下的SPC技術,則會增加第1類風險。研究表明:正態(tài)性的明顯偏離會嚴重影響與控制圖相關的平均運行長度。解決該問題的方法是：一是找到這種質量特性本身的分布函數(shù),則可通過函數(shù)間的轉換將非正態(tài)數(shù)據(jù)轉換為正態(tài)數(shù)據(jù)，即基于非正態(tài)分布的過程能力指數(shù)的計算方法；二是將非正態(tài)數(shù)據(jù)轉換為“正態(tài)分布”的數(shù)據(jù)，然后用傳統(tǒng)方法計算過程能力指數(shù)[1]。

1 主要用到的方法

1.1 Box和Cox提出的冪轉換方法[2]

設X表示的是質量特性，則

這里要求變量取值為正，如果數(shù)據(jù)有負，可同時增加一個常數(shù)使其為正值。λ的估計值采用極大似然估計法。

1.2 Johnson分布曲線族[3]

針對一個具體的非正態(tài)應用場合，如何根據(jù)樣本選擇合適的Johnson曲線類型是首要的問題，其步驟如下：

選擇一個合適的z,通過標準正態(tài)表找出對應于{-SZ,-Z, Z,SZ}的分布概率p-sz、p-z、pz、psz。在樣本數(shù)據(jù)中找出對應的分位數(shù)x-sz、x-z、xz、x3z，并令m=xsz-xz,n=x-z-x-sz,p=xz-x-z定義分位數(shù)比率QR=mn/p2。Bowman和Shenton根據(jù)QR提供了選擇SB、 SU的一般規(guī)則：如果則選擇SB；如果，s≥，則選擇SU。

結果發(fā)現(xiàn)，只有在s=3時才能找到區(qū)分SB、SL和SU的規(guī)則：

當QR＜1時，選擇SB分布；當QR=1時，選擇SL分布，當QR>1時，選擇SU分布。

而在s=3的情況下，只有確定合適的z值，就可以確定需要擬合數(shù)據(jù)的Johnson系統(tǒng)。在轉換后的數(shù)據(jù)基礎上，就可以應用正態(tài)假設下的質量控制技術了。

接下來討論以下三種轉換類型的具體參數(shù)的確定方法：

(1)對于SB曲線：

(2)對于SU曲線：

表1 Johnson分布系統(tǒng)

一旦求得Johnson曲線的位置參數(shù)和標準參數(shù)(ε,γ,λ,η)，便可以求得概率為0.5，0.0135和0.99865所對應的百分位數(shù)x0.5，x0.00135和x0.99865[4]。從而可以求出相應的過程能力指數(shù)。

2 主要的研究過程及結果

2.1 運用兩種轉換比較分析

（1）生成一組服從自由度為10和20的分布的隨機數(shù)（100行1列），求得其0.00135分位數(shù)為0.1188,0.99865分位數(shù)為4.0931,將其分別作為公差下限和公差上限，即其USL=4.0931，LSL=0.1188。

轉換前：其過程能力指數(shù)為0.9019,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.1234，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.0010，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉換后：

其過程能力指數(shù)為0.8838，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0520，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

Johnson轉換后：

其過程能力指數(shù)為0.7482，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0502，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

(2)生成參數(shù)為a=1.5和b=2的Γ分布的隨機數(shù)（100行1列），求得其0.00135分位數(shù)為0.1084,0.99865分位數(shù)為10.9457,將其分別作為公差下限和公差上限，即USL= 10.9457，LSL=0.1084。

轉換前：其過程能力指數(shù)為0.8776,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.1131，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.0031，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉換后：

其過程能力指數(shù)為0.7973，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0469，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

Johnson轉換后：

其過程能力指數(shù)為0.7864，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0429，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

(3)生成自由度為5的χ2分布的隨機數(shù)（100行1列）求得其0.00135分位數(shù)為0.4737,0.99865分位數(shù)為13.9823,將其分別作為公差下限和公差上限，即USL=13.9823，LSL= 0.4737。

轉換前：其過程能力指數(shù)為0.7223,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.1513，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.0010，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉換后：

其過程能力指數(shù)為0.7444，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0614，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.4628，可判斷它服從正態(tài)分布。

Johnson轉換后：

其過程能力指數(shù)為0.7202，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0564，臨界值為0.0890，檢驗的p值為0.5000，可判斷它服從正態(tài)分布。

(4)生成參數(shù)為a=0.5和b=0.6的β分布的隨機數(shù)（100行1列）求得其0.00135分位數(shù)為0.0001,0.99865分位數(shù)為0.9999，將其分別作為公差下限和公差上限，即USL=0.9999，LSL=0.0001。

轉換前：其過程能力指數(shù)為0.4857,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.1602，臨界值為0.0890，其檢驗的p值為0.0010，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Box-Cox轉換后:

其過程能力指數(shù)為0.5659，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0948，臨界值為0.0890，檢驗的p值為0.0275，可判斷它不服從正態(tài)分布。

Johnson轉換后：

其過程能力指數(shù)為0.5937，通過Lilliefors正態(tài)性檢驗，求得檢驗統(tǒng)計量為0.0611，臨界值為0.0890，檢驗的p值為0.4714，可判斷它服從正態(tài)分布。

從上面的四種分布的各自隨機模擬的100個數(shù)據(jù)來看，兩種轉換基本都能實現(xiàn)正態(tài)轉換，但轉換效果不明顯。

2.2 基于隨機模擬的轉換效果評價

下面我們通過多數(shù)據(jù)大量重復試驗:每次產(chǎn)生1000個隨機數(shù)，重復模擬1000次，比較兩種轉換的過程能力指數(shù)Cp的平均值，更接近于1的轉換效果較好。

（1）F分布

通過Box-Cox轉換對應的Cp的平均值為1.0287，Johnson轉換對應的的平均值為1.0244，可見對于F分布，Johnson轉換較好。

（2）Γ分布

通過Box-Cox轉換對應的Cp的平均值為0.9489，Johnson轉換對應的的平均值為1.0040，可見對于F分布，也是Johnson轉換較好。

（3）χ2分布

通過Box-Cox轉換對應的Cp的平均值為0.9712，Johnson轉換對應的的平均值1.0150，可見對于χ2分布，也是Johnson轉換較好。

（4）β分布

對于β分布，通過兩種轉換對應的Cp的平均值都比較小，分別為0.5551和0.6743，與理論值1的差距較大，說明將兩種轉換用于β分布是不合適的。

綜上評價，認為Johnson轉換效果好。

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[9]Zhang Gongxu Editor.Modern Quality Management[M].Beijing: China Financial and Economic Publishing House，1999.

（責任編輯/易永生）

F273．2

A

1002－6487（2011）06－0165-02

楊潔榮（1984-），山西臨汾人，碩士研究生，研究方向：質量控制理論。