主成分回歸的SPSS實(shí)現(xiàn)

郭呈全，陳希鎮(zhèn)

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州325000）

主成分回歸的SPSS實(shí)現(xiàn)

郭呈全，陳希鎮(zhèn)

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州325000）

文章結(jié)合主成分分析和線性回歸分析的原理，利用SPSS15.0的Descriptives、Data Reduction、Linear Regression、Compute Variable模塊的功能，把主成分回歸的每一步計(jì)算過程用SPSS展現(xiàn)出來，并且對(duì)結(jié)果給出SAS驗(yàn)證。這不僅使學(xué)生更好地掌握主成分回歸的相關(guān)知識(shí)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生靈活使用SPSS軟件。

共線性；主成分回歸；特征值；特征向量；SPSS

0 引言

在進(jìn)行多元線性回歸分析時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到自變量之間存在近似線性關(guān)系的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象被稱為共線性[1]。當(dāng)共線性嚴(yán)重時(shí)，用最小二乘法建立的回歸模型將會(huì)增加參數(shù)的方差，使得回歸方程變的很不穩(wěn)定，有些自變量對(duì)因變量影響的顯著性被隱藏起來，某些回歸系數(shù)的符號(hào)與實(shí)際意義不相符[2]，回歸方程和回歸系數(shù)通不過顯著性檢驗(yàn)。處理共線性的主要方法有篩選變量法、嶺回歸法、主成分回歸法、偏最小二乘法等。在文獻(xiàn)[2]中高惠旋使用SAS軟件對(duì)處理共線性的主成分回歸方法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，但是很多人只熟悉SPSS操作，SPSS沒有直接提供主成分回歸的模塊，文獻(xiàn)[3]雖然也提出使用SPSS進(jìn)行主成分回歸，但是他首先使用了篩選變量法，沒能真正體現(xiàn)主成分回歸方法提取主成分的優(yōu)勢(shì)，而且其操作過程非常繁瑣，沒有靈活使用SPSS軟件模塊功能。本文結(jié)合主成分分析和線性回歸分析的原理，巧用SPSS15.0的Descriptives、Data Reduction、Linear Regression、Compute Variable模塊的功能,把主成分回歸的每一步計(jì)算過程用SPSS展現(xiàn)出來，并且對(duì)結(jié)果給出了SAS驗(yàn)證。不但得出了正確結(jié)果,而且把每一步計(jì)算過程完整地呈現(xiàn)出來，這樣既有利學(xué)生掌握有關(guān)方面的知識(shí)，還能加深學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件的靈活使用和掌握。

1 基本原理和計(jì)算步驟

1933年，Hotelling提出主成分分析方法，主成份分析的核心思想就是通過降維，把多個(gè)指標(biāo)化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)，而盡量不改變指標(biāo)體系對(duì)因變量的解釋程度。W.F. Massy于1965年根據(jù)主成份分析的思想提出了主成份回歸。如今主成份回歸方法已經(jīng)被廣泛采用，成為回歸分析中解決多重共線性比較有效的方法。

設(shè)Y=（y1，y2，…，yn），假設(shè)X設(shè)計(jì)矩陣已經(jīng)中心化，記λ1≥λ2≥…≥λp為X'X的特征根，Φ=(φ1，φ2，…，φp)為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量。主成分回歸的計(jì)算步驟是：

（1）為了使結(jié)果不受量綱的影響，先把原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；

（2）求X'X的特征值和對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量；

（3）做回歸自變量選擇。最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即為第一主成分的系數(shù)，第二大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即為第二主成分的系數(shù)，以此類推。取幾個(gè)主成分取決于主成分對(duì)因變量的解釋程度。如果前i個(gè)特征值之和與所有特征值之和的比達(dá)到一定的程度比如85%時(shí)，就可以認(rèn)為這些主分就能代替所有的自變量體系。剔除對(duì)應(yīng)的特征值比較小的那些主成分。

（4）做正交變換Z=XΦ，獲得新的自變量；

（5）將剩余的成分對(duì)因變量進(jìn)行普通最小二乘回歸，再返回到原來的參數(shù)，便得到因變量對(duì)原始變量的主成分回歸。

總結(jié)這些步驟可以看出：主成份回歸解決多重共線性問題是通過求特征值和特征向量達(dá)到降維來實(shí)現(xiàn)的。因?yàn)樵诮稻S前指標(biāo)之間的多重共線性可能是由于某個(gè)指標(biāo)或者少數(shù)指標(biāo)所包含的信息與其他指標(biāo)所包含的信息之間的相關(guān)性引起的，通過降維的處理我們提取出了主成份，就像是把指標(biāo)體系所包含的信息分了類，某一大類由一個(gè)主成份來表現(xiàn)，這樣就消除了產(chǎn)生多重共線性問題的根源：信息的交迭[4]。

2 SPSS對(duì)計(jì)算過程的實(shí)現(xiàn)

利用文獻(xiàn)[1]中的外貿(mào)數(shù)據(jù)：因變量Y為進(jìn)口總額，自變量X1為國內(nèi)總產(chǎn)值，X2為存儲(chǔ)量，X3為總消費(fèi)。為了建立Y對(duì)自變量X1，X2和X3之間的依賴關(guān)系，收集了11組數(shù)據(jù)見表1。

表1

2.1 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

執(zhí)行：Analyze→Descriptives Statistics→Descriptives，將變量y，x1，x2，x3選入Variables的對(duì)話框中，選定Save standardized values as variables，即將標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)作為變量保存。見表2。

表2 描述性統(tǒng)計(jì)量表

描述性統(tǒng)計(jì)量表中顯示各變量的樣本數(shù)（N）、均數(shù)（mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std.Deviation），以便于對(duì)中心化后的自變量進(jìn)行完主成分回歸后還原為原始變量。

2.2 共線性診斷

共線性就是對(duì)自變量觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的矩陣X'X進(jìn)行分析，使用各種指標(biāo)反映自變量間的相關(guān)性。進(jìn)行共線性診斷的方法有很多種，目前較為常用的診斷方法有：條件數(shù)（condition index）、容忍度Tolerance（或方差膨脹因子（VIF））、特征根（Eigen value）分解法。

（1）條件數(shù)：是指X'X的最大特征根與最小特征根之比k=λ1/λp，它刻畫了特征值差異的大小。一般情況下k<100，則認(rèn)為復(fù)共線性很小；100≤k≤1000認(rèn)為存在中等程度的復(fù)共線性；若k>1000則認(rèn)為存在嚴(yán)重共線性。

（2）容忍度：以每個(gè)自變量作為因變量對(duì)其他自變量進(jìn)行回歸分析時(shí)得到殘差比例，用1減去決定系數(shù)來表示(1-R2)，越小說明共線性越重，T<0.1時(shí)共線性非常嚴(yán)重（陳希孺）。由此方差膨脹因子（VIF）：定義VIF=1/T，VIF越大，說明共線性越嚴(yán)重。

（3）特征根分解法：對(duì)自變量進(jìn)行主成分分析，若相當(dāng)多維度的特征根為0，則共線性嚴(yán)重。

本例共線性診斷操作步驟如下：執(zhí)行：Analyze→Regression→Linear，在Dependent中選擇導(dǎo)入，在Independent中導(dǎo)入Zx1，Zx2，Zx3，在statistics中選中Colinearity statistics，其它選項(xiàng)默認(rèn)，得表3。

表3 回歸系數(shù)和共線性統(tǒng)計(jì)量

表3給出線性回歸方程中回歸系數(shù)的估計(jì)值和共線性統(tǒng)計(jì)量，表中ZX1和ZX3容忍度都為0.005<0.1，并且其方差膨脹因子VIF都很大，說明它們之間存在嚴(yán)重的共線性。

表4 共線性診斷指標(biāo)

從表4可以看出，條件數(shù)1.999/0.003≈666.33，故共線性程度較嚴(yán)重。從方差百分比上看，ZX1和ZX3變量間也存在明顯相關(guān)性。

2.3 主成分分析

執(zhí)行：Analyze→Data Reduction→Factor，選定標(biāo)準(zhǔn)化后的變量Zx1，Zx2，Zx3進(jìn)入Variables中，Extraction中的選項(xiàng)，method選用principal components，Analyze選用covariance matrix，在提取主成分的Extract中選用Number of factor并在后面的框中填入3，提取三個(gè)主成分。在Scores中選擇Save as variables；在method中選擇reg；不進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，結(jié)果輸出如表5。

表5 主成分提取匯總表

表5顯示三個(gè)特征值分別為λ1=1.999，λ2=0.998，λ3= 0.003，前兩個(gè)特征值的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到99.91%，因此剔除第三個(gè)主成分，相應(yīng)的因子載荷矩陣如表6。

表6 得分矩陣

2.4 求特征向量和主成分

前兩個(gè)特征值λ1=1.999，λ2=0.998，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量分別為：

下面使用Compute Variable模塊的功能，計(jì)算第一和第二主成分。

執(zhí)行：Analyze→Transform→Compute Variable，在Target Variable中輸入Z1，在Numeric Expression中計(jì)算公式為：Z1=FAC1_1*sprt(1.999)，單擊OK產(chǎn)生新變量Z1，同上得：

Z2=FAC2_1*sqrt(0.998)，于是得：

輸出變量結(jié)果如表7。

表7 主成分表

2.5 線性回歸

對(duì)第一主成分Z1和第二主成分Z2做關(guān)于中心化因變量Zy的最小二乘回歸分析。

執(zhí)行：Analyze→Regression→Linear，在Dependent中選擇Zy導(dǎo)入，在Independent中導(dǎo)入Z1和Z2，做最小二乘回歸。見表8。

表8 回歸系數(shù)

回歸系數(shù)估計(jì)值為：→β1=0.690，→β2=0.191，常數(shù)項(xiàng)近似為零。把上面關(guān)系式代入：

Zy=0.69Z1+0.191Z2+7.07E-017，求得：

因此，Zy=0.4806Zx1+0.2298Zx2+0.4825Zx3。

y=-9.1057+0.0727x1+0.6091x2+0.1062x3。

3 SAS驗(yàn)證

使用SAS的REG過程，對(duì)上述數(shù)據(jù)做主成分分析，SAS程序如下：

Proc reg data=a outset=out1；

Model y=x1-x3/pcomit=1,2 outvif；

Proc print data=out1；

Run后輸出如下結(jié)果：

由SAS運(yùn)行結(jié)果可以看出，這個(gè)主成分回歸中回歸系數(shù)的符號(hào)都是有意義的；各個(gè)回歸系數(shù)的方差膨脹因子均小于1.1；主成分回歸的均方根誤差是：RMSE=0.55001，雖然比最小二乘的均方根誤差（RMSE=0.48887）有所增加，但增加很小。在刪去第三個(gè)主成分（PCOMIT=1）后的主成分回歸方程為：

y=-9.1301+0.7278x1+0.960922x2+0.10626x3

這一結(jié)果與我們SPSS處理結(jié)果近似相等，進(jìn)而互相驗(yàn)證了彼此的正確性。

4 結(jié)束語

本數(shù)據(jù)選自文獻(xiàn)[1]，在文獻(xiàn)[1]中的人工計(jì)算結(jié)果以及文獻(xiàn)[2]通過SAS編程得到的計(jì)算結(jié)果都與此相同,這說明我們利用SPSS的計(jì)算過程與結(jié)果是正確的。另一方面,由計(jì)算過程可以看出,一道題的計(jì)算過程的實(shí)現(xiàn)不只是在一個(gè)操作菜單的命令下就可以完成,本例用SPSS15.0的Descriptives、Data Reduction、Linear Regression、Compute Variable模塊的功能，因此對(duì)軟件SPSS的使用要求就上升到能熟練運(yùn)用的高度。本文說明,如果能在多元統(tǒng)計(jì)教學(xué)的同時(shí)注意有關(guān)軟件的使用，開動(dòng)腦筋，靈活使用，不但能很好地實(shí)現(xiàn)每一步的計(jì)算過程，而且還可用來解決更多新問題。這不但有利于學(xué)生掌握有關(guān)方面的知識(shí),而且加深了對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件的使用和掌握,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS的目的。

[1]王松桂,陳敏,陳立萍.線性統(tǒng)計(jì)模型：線性回歸與方差分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]高惠旋.處理多元線性回歸中自變量共線性的幾種方法[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2000，20(5).

[3]劉潤(rùn)幸，蕭燦培，宮齊等.利用SPSS進(jìn)行主成分回歸分析[J].數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2001,14(2).

[4]周松青.解決多重共線性問題的線性回歸方法[J].江蘇統(tǒng)計(jì)，2000，（11）.

（責(zé)任編輯/易永生）

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A

1002－6487（2011）05-0157-03

國家統(tǒng)計(jì)局資助項(xiàng)目（LX08081）；浙江省精品課程“統(tǒng)計(jì)學(xué)概論”和溫州大學(xué)研究生精品課程“多元統(tǒng)計(jì)學(xué)分析”資助